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Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment convertir une équation exponentielle en équation logarithmique et vice-versa. Nous allons commencer par identifier à quoi ressemblent ces deux types d’équation.
Une fonction logarithme est la réciproque d’une fonction exponentielle. Cela signifie que toutes les équations exponentielles peuvent être écrites sous forme logarithmique et inversement. Pour tout 𝑥 supérieur à zéro et 𝑎 supérieur à zéro tel que 𝑎 est différent de un, 𝑦 égale logarithme de base 𝑎 de 𝑥 est équivalent à 𝑎 puissance 𝑦 égale 𝑥. Toute équation logarithmique a une équation exponentielle équivalente. Nous allons maintenant voir un exemple où nous devons convertir une équation exponentielle en une équation logarithmique.
Exprimez quatre puissance moins deux égale un sur 16 sous la forme d’une équation logarithmique équivalente.
Notre équation initiale est écrite sous forme exponentielle. Cela signifie qu’elle est de la forme 𝑎 puissance 𝑥 égale 𝑦. Mais nous savons que si 𝑎 puissance 𝑥 est égal à 𝑦, alors 𝑥 est égal au log de base 𝑎 de 𝑦. Car toute équation exponentielle a une équation logarithmique équivalente. Dans cette question, la valeur de 𝑎 est quatre, 𝑥 égale moins deux et 𝑦 égale un sur 16. Nous pouvons donc conclure que moins deux est égal au log de base quatre de un sur 16. La forme logarithmique équivalente à l’équation exponentielle quatre puissance moins deux égale un sur 16 est moins deux égale log de base quatre de un sur 16.
Dans la prochaine question, nous allons convertir une équation logarithmique en sa forme exponentielle équivalente.
Exprimez log de base 20 de 𝑧 égale un sur deux sous la forme d’une équation exponentielle équivalente.
Cette question nous donne une équation sous forme logarithmique. C’est-à-dire de la forme log de base 𝑎 de 𝑦 égale 𝑥. Et nous savons que toute équation logarithmique a une équation exponentielle équivalente telle que si log de base 𝑎 de 𝑦 égale 𝑥, alors 𝑦 égale 𝑎 puissance 𝑥. Dans cette question, la base 𝑎 est égale à 20, 𝑦 est égale à 𝑧 et 𝑥 est égal à un sur deux. L’équation peut donc être reformulée par 𝑧 égale 20 puissance un sur deux. Il s’agit de l’équation exponentielle équivalente à log de base 20 de 𝑧 égale un sur deux.
Bien que cela ne soit pas requis dans cette question, on rappelle que 𝑥 puissance un sur deux est égal à racine carrée de 𝑥. Cela signifie que 20 puissance un sur deux est égal à racine carrée de 20, ce qui se simplifie par deux racine carrée de cinq d’après les propriétés des racines. 𝑧 est donc égal à deux racine carrée de cinq. Mais comme il est simplement demandé de donner la réponse sous forme exponentielle, nous concluons que 𝑧 égale 20 puissance un sur deux.
Dans les deux prochaines questions, nous allons nous pencher sur le logarithme de base 10. Que l’on appelle également le logarithme décimal.
Exprimez 10 au cube égale 1 000 comme une équation logarithmique équivalente.
L’équation donnée dans cette question est écrite sous forme exponentielle du type 𝑎 puissance 𝑥 égale 𝑦. Et nous savons que toute équation exponentielle a une équation logarithmique équivalente. Si 𝑎 puissance 𝑥 égale 𝑦, alors 𝑥 égale log de base 𝑎 de 𝑦. Dans cette question, la base 𝑎 est égale à 10, l’exposant 𝑥 est égal à trois et 𝑦 égale 1 000. Cela signifie que l’on peut reformuler l’équation par trois égale log de base 10 de 1 000.
On rappelle que le logarithme de base 10 s’appelle le logarithme décimal. Et lorsqu’un logarithme est écrit sans base, il est supposé être de base 10. Le bouton log qui se trouve sur certaines calculatrices scientifiques représente en effet le logarithme de base 10. Il n’est donc pas nécessaire de préciser la base quand elle est égale à 10. Par conséquent, log de 1 000 égale trois. Il s’agit de l’équation logarithmique équivalente à 10 au cube, ou 10 puissance trois, égale 1 000.
Exprimez log d’un million égale six sous sa forme exponentielle équivalente.
L’équation qui nous est donnée est sous forme logarithmique, c’est-à-dire de la forme log de base 𝑎 de 𝑦 égale 𝑥. Et nous savons que toute équation logarithmique a une équation exponentielle équivalente. Si log de base 𝑎 de 𝑦 égale 𝑥, alors 𝑦 égale 𝑎 puissance 𝑥. On remarque que la base n’est pas indiquée dans cette question. Lorsqu’un logarithme est écrit sans base, il est supposé être de base 10. Il s’agit du logarithme décimal. On a donc 𝑎 égale 10, 𝑦 égale un million et 𝑥 égale six.
En réécrivant l’équation sous forme exponentielle, on obtient un million égale 10 puissance six. Nous savons que cette réponse est correcte car 10 fois 10 fois 10 fois 10 fois 10 fois 10 égale un million. Lorsque l’on élève 10 à une puissance, l’exposant correspond au nombre de zéros.
Dans les deux dernières questions, nous allons étudier le logarithme népérien.
Écrivez l’équation exponentielle 𝑒 de 𝑥 égale cinq sous forme logarithmique.
Pour répondre à cette question, nous devons rappeler la définition du logarithme népérien. Si 𝑒 de 𝑦 égale 𝑥, alors le logarithme de base 𝑒 de 𝑥, que l’on écrit ln de 𝑥, égale 𝑦. La fonction du logarithme népérien est la réciproque de la fonction exponentielle de base 𝑒. Dans cette question, nous avons l’équation exponentielle 𝑒 de 𝑥 égale cinq. En la réécrivant sous forme logarithmique, on obtient 𝑥 égale logarithme népérien de cinq. L’équation exponentielle 𝑒 de 𝑥 égale cinq sous forme logarithmique est donc 𝑥 égale ln de cinq.
Écrivez l’équation logarithmique huit égale ln de 𝑥 sous forme exponentielle.
Dans cette question, on a le logarithme népérien ln de 𝑥. Nous savons que le logarithme népérien ln de 𝑥 est égal à log de base 𝑒 de 𝑥. Nous savons également que ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base 𝑒. Si 𝑦 égale ln de 𝑥, alors 𝑒 de 𝑦 égale 𝑥. Dans cette question, huit égale ln de 𝑥. Cela signifie que 𝑒 puissance huit ou 𝑒 de huit égale 𝑥. L’équation logarithmique huit égale ln de 𝑥 sous forme exponentielle est donc 𝑒 de huit égale 𝑥.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons commencé cette vidéo en rappelant qu’une fonction logarithme est la réciproque d’une fonction exponentielle. Cela signifie que chaque équation logarithmique a une équation exponentielle équivalente. Si 𝑥 est égal à log base 𝑎 de 𝑦, alors 𝑎 à la puissance 𝑥 est égal à 𝑦. Cela nous permet de convertir une équation logarithmique en une équation exponentielle, et inversement. Nous avons également vu qu’un logarithme écrit sans base est supposé être de base 10. On l’appelle le logarithme décimal.
Et nous avons enfin appris que le logarithme népérien est noté ln de 𝑥. Il correspond au logarithme de base 𝑒 de 𝑥. La fonction logarithme népérien est la réciproque de la fonction exponentielle de base 𝑒. Cela signifie que 𝑦 égale ln de 𝑥 est équivalent à 𝑒 de 𝑦 égale 𝑥.
