Vidéo : Qui s’intéresse à la topologie (problème du rectangle inscrit)

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Qui s’intéresse à la topologie (problème du rectangle inscrit)

16:29

Transcription de vidéo

J’ai plusieurs choses amusantes pour vous dans cette vidéo. Un problème non résolu, une solution très élégante à une version plus faible du problème, et un peu plus sur la topologie et les raisons pour lesquelles les gens s’y intéressent. Mais avant de nous lancer, il convient de dire quelques mots sur la raison pour laquelle je suis ravi de partager la solution.

Quand j’étais enfant, j’aimais les mathématiques et cherchais diverses choses en mathématiques. Je me trouvais parfois dans une conférence ou un séminaire où les gens voulaient susciter l’intérêt des jeunes sur des choses qui intéressent les mathématiciens. Un sujet très fréquent pour emballer notre imagination était la topologie. On pourrait nous montrer quelque chose comme une bande de Möbius, peut-être en papier de construction en tordant un rectangle et en collant ses extrémités. « Regardez »! On nous dirait qu’on nous demande de tracer une droite le long de la surface, « C’est une surface avec un seul côté »! On pourrait aussi nous dire que les topologistes considèrent les tasses à café et les beignets comme étant la même chose, puisqu’ils n’ont qu’un seul trou.

Mais ce genre de démos a toujours laissé une question en suspens. Comment est cette mathématique ? Comment cela aide-t-il réellement à résoudre les problèmes ? Ce n’est que lorsque j’ai vu le problème que je vais vous montrer avec sa solution élégante et surprenante que j’ai commencé à comprendre pourquoi les mathématiciens s’intéressaient réellement à certaines de ces formes et à leurs propriétés.

Donc, il y a ce problème non résolu appelé le problème du carré inscrit. Si vous avez une boucle fermée, ce qui signifie que vous faufilez une ligne dans l’espace d’une manière potentiellement folle et que vous finissez par revenir à votre point de départ. La question est de savoir si vous pourrez toujours trouver quatre points sur cette boucle qui forment un carré. Si votre boucle fermée était un cercle, par exemple, il serait assez facile de trouver un carré inscrit, ils sont infiniment nombreux, en fait. Si votre boucle était plutôt une ellipse, il serait toujours assez facile de trouver un carré inscrit. La question est de savoir si toutes les boucles fermées possibles, peu importe à quel point, ont au moins un carré inscrit. Très intéressant, non ?

Je veux dire, le fait que ce soit non résolu est intéressant. Que les outils mathématiques actuels ne peuvent ni confirmer ni infirmer l’existence d’une boucle sans carré inscrit. Maintenant, si nous affaiblissons un peu la question et posons des questions sur les rectangles inscrits au lieu de carrés inscrits, c’est quand même assez difficile. Mais il existe une belle solution digne d’une vidéo qui pourrait bien être mon calcul préféré. L’idée est de déplacer l’attention des points individuels de la boucle vers des paires de points. Nous allons utiliser la propriété suivante sur les rectangles.

Étiquetons les sommets de certains rectangles 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Ensuite, la paire de points 𝑎, 𝑐 a quelques points communs avec la paire de points 𝑏, 𝑑. La distance entre 𝑎 et 𝑐 est égale à la distance entre 𝑏 et 𝑑, et le milieu de 𝑎 et 𝑐 est le même que le milieu de 𝑏 et 𝑑. En fait, chaque fois que vous avez deux paires séparées de points dans l’espace, 𝑎, 𝑐 et 𝑏, 𝑑. Si vous ne pouvez garantir qu’ils partagent un point médian et que la distance entre 𝑎, 𝑐 est égale à la distance entre 𝑏 et 𝑑. Il suffit de garantir que ces quatre points forment un rectangle. Nous allons donc essayer de le prouver pour toute boucle fermée. Il est toujours possible de trouver deux paires de points distincts sur cette boucle qui partagent un point central et qui sont à la même distance. Prenez un moment pour vous assurer que c’est clair. Nous trouvons deux paires distinctes de points qui partagent un point central commun et qui sont à la même distance.

Pour ce faire, nous allons définir une fonction qui prend des paires de points sur la boucle et génère un seul point dans un espace 3D. Quel type de code pour les informations de point milieu et de distance. Ce sera un peu comme un graphique. Considérez la boucle fermée comme incluse dans le plan 𝑥𝑦 dans un espace 3D. Pour une paire de points, étiquetez leur milieu 𝑀, qui sera un point sur le plan 𝑥𝑦 et étiquetez la distance entre eux avec 𝑑. Tracez le point, ce qui est exactement 𝑑 unités au-dessus de ce milieu 𝑀, dans la direction des 𝑧. Lorsque vous effectuez cette opération pour plusieurs paires de points possibles, vous allez effectivement dessiner dans un espace 3D. Et si vous le faites pour toutes les paires de points possibles de la boucle, vous allez dessiner une sorte de surface au-dessus du plan. Maintenant, regardez la surface et remarquez comment elle semble embrasser la boucle elle-même. Ca va être important plus tard. Alors réfléchissons à la raison pour laquelle cela se produit.

Au fur et à mesure que la paire de points de la boucle se rapproche, le point tracé devient plus bas car sa hauteur est, par définition, égale à la distance entre les points. De plus, le point milieu se rapproche de plus en plus de la boucle lorsque les points se rapprochent. Une fois que la paire de points coïncide, ce qui signifie que l’entrée de notre fonction ressemble à 𝑥, 𝑥 pour un point 𝑥 sur la boucle. Le point tracé de la surface sera exactement sur la boucle au point 𝑥. Ok, alors souvenez-vous de ça. Un autre fait important est que cette fonction est continue. Et tout ce que cela signifie vraiment, c’est que si vous ajustez légèrement une paire de points donnée. Ensuite, la sortie correspondante dans l’espace 3D n’est que légèrement ajustée également. Il n’y a jamais un saut discontinu soudain.

Notre objectif est donc de montrer que cette fonction a une collision. Que deux paires distinctes de points se retrouvent chacune au même endroit dans un espace 3D. Parce que la seule façon pour que cela se produise est qu’ils partagent un point central commun. Et si leur distance, 𝑑, mis à part, est la même. Donc, dans un certain sens, trouver un rectangle inscrit revient à montrer que cette surface doit se croiser elle-même.

Pour avancer à partir de là, nous devons établir une relation avec l’idée de paires de points sur une boucle. Pensez à la façon dont nous représentons des paires de nombres réels en utilisant un plan de coordonnées en deux dimensions. De manière analogue, nous allons rechercher une certaine surface 2D, qui représente naturellement toutes les paires de points de la boucle. Comprendre les propriétés de cette surface aidera à montrer pourquoi la courbe que nous venons de définir doit se couper. Maintenant, quand je dis deux points, il y a deux choses dont je pourrais parler. La première est un couple de points, ce qui signifierait une paire comme 𝑎, 𝑏 serait considérée comme distinct de la paire 𝑏, 𝑎. C’est-à-dire qu’il y a une certaine idée de quel point est le premier.

La deuxième idée concerne les points non ordonnés, où 𝑎, 𝑏 et 𝑏, 𝑎 seraient considérés comme la même chose. Là où tout ce qui compte vraiment, ce sont les points et où il n’y a pas de sens. En fin de compte, nous voulons comprendre les paires de points non ordonnés. Mais pour y arriver, nous devons emprunter un chemin de pensée passant par des paires ordonnées.

Nous allons commencer par redresser la boucle, la couper en un endroit et la déformer en un intervalle. Par exemple, supposons qu’il s’agisse de l’intervalle sur la droite numérique de zéro à un. En suivant où chaque point se termine, chaque point de la boucle correspond à un nombre unique sur cet intervalle. À l’exception du point où la coupure s’est produite, ce qui correspond simultanément aux deux extrémités de l’intervalle, c’est-à-dire les nombres zéro et un. Maintenant, l’avantage de redresser cette boucle comme ceci est que nous pouvons commencer à penser à des paires de points de la même façon que nous pensons à des paires de nombres.

Tracez un axe des 𝑦 en utilisant un second intervalle, puis associez chaque paire de valeurs de l’intervalle à un seul point de ce carré unique qu’elles définissent. Chaque point du carré correspond naturellement à une paire de points de la boucle. Car ses coordonnées 𝑥 et 𝑦 sont des nombres compris entre zéro et un. Qui sont, à leur tour, associées à un point unique de la boucle. N’oubliez pas que nous essayons de trouver une surface qui représente naturellement l’ensemble de toutes les paires de points de la boucle. Et ce carré est la première étape pour le faire.

Le problème, c’est qu’il y a une certaine ambiguïté sur les bords du carré. Rappelez-vous que les points zéro et un de l’intervalle correspondent vraiment au même point de la boucle. Comme pour dire que ces extrémités doivent être collées ensemble si nous voulons les associer fidèlement à la boucle. Ainsi, tous les points sur le bord gauche du carré sont comme zéro, 0.1 ; zéro 0.2 ; et ainsi de suite représentent vraiment la même paire de points sur la boucle que les coordonnées correspondantes sur le bord droit du carré. Un, 0.1 ; un 0.2 ; Encore et encore.

Donc, pour que ce carré représente les paires de points de la boucle d’une manière unique, nous devons coller ce bord gauche au bord droit. Je vais marquer chaque bord avec des flèches pour rappeler comment les bords doivent être alignés. De même, le bord inférieur doit être collé au bord supérieur. Puisque les coordonnées 𝑦 de zéro et un représentent vraiment le même deuxième point dans une paire de points donnée de la boucle. Si vous pliez le carré pour effectuer le collage. Tout d’abord en le roulant dans un cylindre pour coller les bords gauche et droit. Ensuite, coller les extrémités de ce cylindre, qui représentent les bords supérieur et inférieur. Nous obtenons un tore, mieux connu sous le nom de surface d’un beignet.

Chaque point de ce tore correspond à une paire de points unique sur la boucle. De même, chaque paire de points de la boucle correspond à un point unique sur ce tore. Le tore est à des paires de points sur la boucle ce que le 𝑥𝑦 plan est à des paires de points sur la droite numérique. La principale propriété de cette association est qu’elle est continue dans les deux sens. En d’autres termes, si vous déplacez un petit point sur le tore, cela ne correspond qu’à un très léger coup de pouce de la paire de points de la boucle et inversement.

Donc, si le tore est la forme naturelle des paires ordonnées de points sur la boucle, quelle est la forme naturelle des paires non ordonnées ? Après tout, notre objectif est de montrer que deux paires de points distincts sur la boucle partagent un point médian et se trouvent à la même distance. Mais si nous considérons une paire 𝑎, 𝑏 distincte de 𝑏, 𝑎, cela donnerait trivialement deux paires distinctes, qui ont le même point milieu et la même distance. Cela revient à dire que vous pouvez toujours trouver un rectangle aussi longtemps que vous considérez une paire de points comme un rectangle. Inutile! Alors réfléchissons à cela. Réfléchissons à la façon de représenter des paires de points non ordonnées en regardant en arrière notre carré unité.

Nous devons dire que les coordonnées 0.2, 0.3 représentent la même paire que 0.3, 0.2. Ou que 0.5, 0.7 représente vraiment la même chose que 0.7, 0.5. Et en général, toutes les coordonnées 𝑥, 𝑦 doivent représenter la même chose que 𝑦, 𝑥. Une fois encore, nous capturons cette idée en collant des points alors qu’ils sont censés représenter la même paire. Ce qui, dans ce cas, nécessite de replier le carré en diagonale. Maintenant, remarquez cette ligne diagonale, le pli du pli. Il représente toutes les paires de points qui ressemblent à 𝑥, 𝑥. Ce qui veut dire, les paires qui ne sont en réalité qu’un seul point écrit deux fois. À l’heure actuelle, elle est marquée d’une ligne rouge et vous devriez vous en souvenir. Il deviendra important de savoir où toutes ces paires comme 𝑥, 𝑥 se situent.

Mais nous avons encore quelques flèches à coller ensemble ici. Nous devons coller ce bord inférieur au bord droit. Et l’orientation avec laquelle nous faisons cela va être importante. Les points situés à gauche du bord inférieur doivent être collés aux points situés au bas du bord droit. Et les points vers la droite du bord inférieur doivent être collés aux points vers le haut du bord droit. C’est bizarre d’y penser, non ? Allez de l’avant. Faites une pause et réfléchissez-y un instant.

Le truc, assez astucieux, consiste à faire une coupe en diagonale, ce dont nous devons nous rappeler de la coller dans un instant. Après cela, nous pouvons coller le bas à droite comme ça. Mais remarquez l’orientation des flèches ici. Pour recoller ce que nous venons de couper, nous ne connectons pas simplement les bords de ce rectangle pour obtenir un cylindre. Nous devons effectuer une torsion. En faisant cela dans l’espace 3D, la forme que nous obtenons est une bande de Möbius. N’est-ce pas génial ?! Évidemment, la surface représentant toutes les paires de points non ordonnées de la boucle est la bande de Möbius. Et remarquez, le bord de la bande, ici en rouge, représente les paires de points qui ressemblent à 𝑥, 𝑥. Ceux qui ne sont en réalité qu’un seul point énumérés deux fois.

La bande de Möbius est pour les paires non ordonnées de points sur la boucle ce que le plan 𝑥𝑦 est pour les paires de nombres réels. Cela m’a totalement bouleversé la première fois que je l’ai vu. Maintenant, avec le fait qu’il existe une association continue un à un entre des paires de points non ordonnées sur la boucle et des points individuels sur cette bande de Möbius, nous pouvons résoudre le problème du rectangle inscrit. Rappelez-vous, nous avions défini ce type particulier de courbe dans l’espace 3D, où la boucle était incluse dans le plan 𝑥𝑦. Pour chaque paire de points, on considère leur milieu 𝑀 qui se situe sur le plan 𝑥𝑦 et leur distance 𝑑 en dehors. Et vous tracer un point qui est exactement 𝑑 unités au-dessus de 𝑀. En raison de l’association un à un continue entre les paires de points de la boucle et la bande de Möbius. Cela nous donne une carte naturelle de la bande de Möbius sur cette surface dans un espace 3D. Pour chaque point de la bande Möbius, considérez la paire de points de la boucle qu’elle représente, puis associez cette paire de points dans la fonction spéciale.

Et voici le point clé. Lorsque des paires de points de la boucle sont extrêmement proches les unes des autres, la sortie de la fonction se trouve juste au-dessus de la boucle elle-même. Et dans le cas extrême de paires de points comme 𝑥, 𝑥, la sortie de la fonction est exactement sur la boucle. Étant donné que les points de ce bord rouge de la bande de Möbius correspondent à des paires comme 𝑥, 𝑥. Lorsque la bande de Möbius est associée à la surface, cela doit être fait de telle manière que le bord de la bande soit associé à droite sur cette boucle dans le plan 𝑥𝑦.

Mais si vous prenez du recul et que vous y réfléchissez un instant. Vu la forme étrange de la bande de Möbius, il n’y a aucun moyen de coller son bord à quelque chose en deux dimensions sans forcer la bande à se croiser elle-même. Puisque les points de la bande de Möbius représentent des paires de points sur la boucle. Si la bande se coupe elle-même pendant cette association, cela signifie qu’il existe au moins deux paires de points distincts qui correspondent à la même sortie sur cette surface. Ce qui signifie qu’ils partagent un point central et se trouvent à la même distance. Ce qui, à son tour, signifie qu’ils forment un rectangle. Et c’est la preuve ! Ou du moins, si vous êtes prêt à me faire confiance en vous disant que vous ne pouvez pas coller le bord d’une bande de Möbius à un plan sans le forcer à se croiser. Alors, c’est la preuve.

Ce fait est intuitivement clair en regardant la bande de Möbius. Mais pour le rendre rigoureux, vous devez commencer par développer le domaine de la topologie. En fait, pour tous ceux qui ont un cours de topologie dans leur avenir. Essayer de justifier cela est un bon moyen de comprendre pourquoi les topologistes choisissent de définir certaines choses. Et je veux que vous preniez note de quelque chose ici. La raison pour laquelle nous avons parlé du tore et de la bande de Möbius n’était pas due au fait que nous jouions avec du papier de construction. Ou parce que nous rêvions de déformer une tasse de café. Ils sont apparus comme un moyen naturel de comprendre des paires de points sur une boucle. Et c’est quelque chose dont nous avions besoin pour résoudre un problème concret.

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