Vidéo de la leçon: Mouvement d’un projectile Physique

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, notre sujet est le mouvement des projectiles. Plus précisément, nous allons apprendre quelques équations moins connues qui décrivent ce mouvement. Nous les utiliserons pour calculer la portée d’un projectile donné, son altitude maximale et son temps de vol.

Lorsque nous parlons de mouvement de projectiles, nous parlons d’objets qui se déplacent sous l’influence d’une seule force, la gravité. Ainsi, par exemple, admettons que nous avons un lanceur de pommes de terre qui tire une pomme de terre en l’air. Si nous négligeons la résistance de l’air, alors nous pouvons dire que cette pomme de terre ne se déplace que sous l’influence de l’accélération de la pesanteur. Et donc, cette pomme de terre est un projectile. Cela signifie que le mouvement de cette pomme de terre est décrit par ce qu’on appelle les équations du mouvement. Il y a quatre équations de ce type, et elles décrivent les propriétés de notre projectile, telles que sa vitesse finale, sa vitesse initiale, son accélération, son déplacement et le temps écoulé après son lancement. En général, les équations du mouvement peuvent être appliquées à tout objet qui subit une accélération constante. Autrement dit, tant que 𝑎 est toujours la même, ces équations s’appliquent. Dans le cas de notre pomme de terre lancée et de tout autre objet en vol, son accélération est constante, et c’est l’accélération de la pesanteur 𝑔.

Alors, en considérant la trajectoire globale de notre pomme de terre, nous pourrions calculer certaines grandeurs différentes. La première chose que nous voudrions savoir, c’est la distance parcourue horizontalement par notre pomme de terre. C’est ce qu’on appelle la portée de notre projectile. Nous pourrions également vouloir connaître l’altitude maximale atteinte par notre projectile. Nous pouvons appeler cela symboliquement ℎ indice max. Et enfin, nous pourrions vouloir connaître le temps total pendant lequel notre pomme de terre est dans l’air. Nous appellerons cela son temps de vol et le représenterons comme 𝑡 indice v.

Il s’avère que pour calculer ces trois quantités : la portée, l’altitude maximale et le temps en vol, nous pouvons utiliser les équations du mouvement. Pour ce faire, cependant, nous devrons connaître les conditions initiales de notre projectile lancé. Disons que nous regardons de très près notre lanceur de pommes de terre au moment où il lance cette pomme de terre. Sur cet intervalle de temps très court, la trajectoire de la pomme de terre serait essentiellement une ligne droite à partir du lanceur. Et on pourrait nous dire que la pomme de terre se déplace initialement avec une vitesse que nous appellerons 𝑣 indice 𝑖 et qu’elle est lancée selon un angle que nous appellerons 𝜃 au-dessus de l’horizontale. Si nous connaissons ces deux choses, la vitesse initiale et l’angle initial de notre projectile, alors en manipulant les équations du mouvement, nous avons tout ce dont nous avons besoin pour calculer la portée, l’altitude maximale et le temps de vol.

Pour voir cela, commençons par calculer 𝑡 indice v. Eh bien, selon notre première équation du mouvement, la vitesse finale de notre objet, dans ce cas une pomme de terre, est égale à sa vitesse initiale plus son accélération fois son temps. Si nous séparons les composantes horizontale et verticale du mouvement de notre projectile, alors nous pouvons appliquer cette équation du mouvement à chacune des dimensions, verticale ou horizontale. Admettons que nous nous concentrons ici sur la composante verticale du mouvement de notre objet, et nous verrons dans une minute pourquoi nous avons fait ce choix. Dans ce cas, notre équation du mouvement nous dirait que la vitesse finale dans la direction 𝑦 est égale à la vitesse initiale de notre objet dans la direction 𝑦 plus son accélération dans la direction 𝑦 fois 𝑡 indice 𝑓.

Utiliser ce temps 𝑡 indice 𝑓 revient à dire que la vitesse finale de notre projectile est sa vitesse juste au moment où elle revient sur la surface de la Terre. Lorsque nous examinons sa vitesse initiale dans la direction 𝑦, sa vitesse juste au moment où elle quitte le lanceur de pommes de terre, nous l’indiquer en nous servant des variables dans notre croquis en vue rapprochée. Si nous disons que la trajectoire initiale de notre pomme de terre est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, alors la vitesse verticale initiale ou vitesse en 𝑦 initiale de notre pomme de terre est représentée par cette hauteur ici, dont la magnitude est égale à 𝑣 indice 𝑖 fois le sinus de l’angle 𝜃.

Ainsi, 𝑣 indice 𝑖𝑦 est égal à 𝑣 indice 𝑖 fois le sinus de 𝜃, et ce résultat peut en fait nous aider à calculer 𝑣 indice 𝑓𝑦 aussi. Voici comment y faire. Lorsque notre pomme de terre traverse les airs, si nous considérons uniquement son mouvement dans la dimension verticale, nous pouvons l’imaginer comme se déplaçant vers le haut puis revenant directement vers le bas. Tout au long de son vol, il est soumis à l’accélération de la pesanteur 𝑔. Comme il s’agit de la seule force qui régit son mouvement, cela nous indique que la vitesse de notre projectile au moment où il quitte le lanceur est la même que sa vitesse juste avant son atterrissage sur la surface de la Terre. En montant, de la même sorte qu’il passe de sa vitesse verticale initiale et décélère jusqu’à zéro, il accélère et atteint finalement sa vitesse verticale initiale juste avant l’atterrissage. Cela signifie que lorsque nous considérons le vecteur vitesse de notre particule, qui est un vecteur, nous pouvons dire que la valeur de 𝑣 indice 𝑓𝑦 est la même que celle de 𝑣 indice 𝑖𝑦. Mais le signe est opposé. En d’autres mots, 𝑣 indice 𝑓𝑦 vaut moins 𝑣 indice 𝑖 fois sin 𝜃.

Et finalement, la seule chose qui reste à remplir dans cette équation est une valeur pour l’accélération de notre projectile dans la direction 𝑦. Mais nous savons déjà que c’est 𝑔, l’accélération de la pesanteur. Par contre, voici quelque chose d’important à garder à l’esprit. Parce que nous avons défini le sens vertical vers le haut comme le sens en 𝑦 positif, cela signifie que notre accélération en direction 𝑦 devra être négative car elle agit vers le bas. Donc, si 𝑔 est de 9,8 mètres par seconde au carré, alors 𝑎 indice 𝑦 vaut moins 𝑔.

Notez que maintenant nous sommes à un stade où si nous connaissons 𝑣 indice 𝑖 et 𝜃, nous pouvons réorganiser cette équation pour calculer 𝑡 indice 𝑓. Si nous soustrayons d’abord 𝑣 indice 𝑖 fois le sinus de 𝜃 des deux côtés, alors nous obtenons moins deux 𝑣 indice 𝑖 sinus 𝜃 égale moins 𝑔 fois 𝑡 indice 𝑓. En divisant les deux côtés par moins 𝑔, ce facteur s’annule à droite et les signes négatifs s’annulent à gauche. Et donc, nous constatons que deux fois 𝑣 indice 𝑖 fois le sinus de 𝜃 sur 𝑔 est égal à 𝑡 indice 𝑓, le temps de vol de notre projectile.

Enregistrons ce résultat à droite. Et puis, essayons de calculer l’altitude maximale atteinte par notre projectile. Encore une fois, cela a plus à voir avec la composante verticale du mouvement de notre objet que l’horizontale. L’équation du mouvement que nous choisirons d’appliquer est la deuxième ici. Nous choisissons celle-là parce qu’elle contient la variable que nous voulons calculer - rappelez-vous que 𝑠 représente le déplacement - alors que nous connaissons les valeurs des autres variables impliquées, dans ce cas l’accélération verticale, la vitesse verticale initiale et la vitesse verticale finale.

En ce qui concerne la vitesse verticale finale de notre objet, nous l’avons appelée 𝑣 indice 𝑓𝑦, nous savons que lorsque notre pomme de terre atteint son altitude maximale, sa position sera juste ici et qu’à ce moment-là, sa vitesse verticale sera nulle. Lorsque la pomme de terre est à son point culminant, sa vitesse dans la direction 𝑦 est nulle. Ainsi, le côté gauche de cette équation devient zéro. Tout comme auparavant, la vitesse initiale de la pomme de terre dans la direction 𝑦 est 𝑣 indice 𝑖 fois le sinus de 𝜃 et son accélération dans la direction 𝑦 est moins 𝑔. Cela nous donne cette équation. Et rappelez-vous que c’est ℎ max que nous voulons calculer.

Ce que nous allons faire alors est de soustraire 𝑣 indice 𝑖 sinus 𝜃 le tout au carré des deux côtés. Et à partir de là, nous divisons les deux côtés de notre équation par moins deux fois 𝑔. Cela annule ce facteur sur le côté droit et élimine les signes négatifs à gauche. Ainsi, en termes de la vitesse et de la direction initiales de notre projectile, l’altitude maximale qu’il atteindra est égale à la quantité 𝑣 indice 𝑖 fois le sinus de 𝜃 au carré sur deux fois 𝑔. Et notez qu’une autre façon d’écrire ceci est 𝑣 indice 𝑖 au carré fois sinus au carré de 𝜃 sur deux 𝑔.

D’accord, nous avons donc vu le temps de vol et l’altitude maximale atteinte. Maintenant, regardons comment calculer la portée d’un projectile. Nous ferons cela un peu différemment qu’avant, car la vitesse horizontale de notre projectile est importante dans ce cas. En regardant notre vue rapprochée initiale, nous savons que la vitesse horizontale initiale de notre projectile vaut 𝑣 indice 𝑖 fois le cosinus de 𝜃. Et même si nous avons appelé cela la vitesse horizontale initiale, cela ne change pas avec le temps en fait. Parce qu’il n’y a pas d’accélération sur notre projectile dans la direction horizontale, sa vitesse horizontale est constante. C’est pourquoi nous avons choisi tout à l’heure d’utiliser la direction verticale pour examiner cette équation du mouvement plutôt que l’horizontale.

Dans un plan horizontal, l’accélération est nulle. Donc, nous avons simplement une équation qui dit 𝑣 indice 𝑖 fois le cosinus de 𝜃 égale 𝑣 indice 𝑖 fois le cosinus de 𝜃. Ce n’est pas si utile. Et donc, c’est pourquoi nous n’avons pas choisi cette direction. Mais dans ce cas, nous devons travailler avec la vitesse dans cette direction car nous pouvons voir que cela aura un impact sur la portée de notre projectile. Pour commencer à comprendre cela, choisissons une équation du mouvement qui répondra à nos besoins.

Tout d’abord, nous voulons utiliser une équation du mouvement qui contient la variable 𝑠 ; cela comprend trois parmi ces quatre. Deuxièmement, il sera avantageux de profiter du fait que dans la direction horizontale 𝑎 est nul; en d’autres mot, tout terme contenant 𝑎 prendra la valeur zéro. Cela nous laisse avec cette équation du mouvement et celle-ci. En regardant de plus près, cependant, nous pouvons voir qu’en fait, cette équation du mouvement n’est pas possible dans ce cas. Parce que si 𝑎 est nul, alors cela annule le terme qui contient le facteur que nous voulons calculer, 𝑠. Cela règle le problème ; nous allons nous servir de cette équation du mouvement pour calculer la portée.

L’équation que nous pouvons écrire est que la portée de notre projectile est égale à sa vitesse initiale dans la direction 𝑥 fois le temps total de vol 𝑡 indice 𝑓 plus la moitié de son accélération dans la direction 𝑥 fois le temps de vol au carré. Comme nous l’avons mentionné, 𝑎 indice 𝑥 est nul car il n’y a pas d’accélération dans la direction horizontale. Nous avons également vu que 𝑣 indice 𝑖 dans la direction 𝑥 vaut 𝑣 indice 𝑖 fois le cosinus de 𝜃. Et puis pour 𝑡 indice 𝑓, nous pouvons faire référence à l’équation que nous avons dérivée plus tôt. C’est deux fois 𝑣 indice 𝑖 fois le sinus de 𝜃 sur 𝑔. Ainsi, l’intervalle parcouru par notre projectile est égal à ce produit, qui est égal à deux fois 𝑣 indice 𝑖 au carré fois le cosinus de 𝜃 fois le sinus de 𝜃 le tout sur 𝑔.

Alors, nous avons finalement des équations pour la portée, l’altitude maximale et le temps de vol d’un projectile étant donné sa vélocité initiale, c’est-à-dire sa vitesse initiale et la direction du trajet. Sachant tout cela, entraînons-nous avec un exemple.

Un projectile a une vitesse initiale de 25 mètres par seconde et est lancé à un angle de 48 degrés au-dessus de l’horizontale. Combien de temps s’écoule entre le départ du projectile et son retour au sol à la même hauteur?

D’accord, admettons que cella-là est la trajectoire que suit notre projectile. On nous dit qu’au moment où il est lancé, il a une vitesse de 25 mètres par seconde et qu’il est lancé selon un angle que nous appellerons 𝜃 de 48 degrés. Sachant cela, nous voulons calculer le temps nécessaire pour que ce projectile revienne à la surface de la Terre. En d’autres mots, combien de temps son trajet complet prend-il ? Nous appellerons ce temps 𝑡 indice 𝑓. Et puisque nous traitons d’un projectile, nous pouvons rappeler l’équation qui donne ce temps.

Étant donné un objet en mouvement sous l’influence unique de la force de la pesanteur, si cet objet est lancé depuis le sol avec une vitesse initiale 𝑣 indice 𝑖 selon un angle 𝜃, alors son temps de vol total est donné par cette expression. Puisque nous connaissons la vitesse initiale de notre objet et son angle de lancement, et nous savons également que 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde au carré, nous pouvons mettre ces valeurs dans notre équation qui donne 𝑡 indice 𝑓. Lorsque nous entrons cette expression dans notre calculatrice, à deux chiffres significatifs, nous trouvons le résultat de 3,8 secondes. C’est le temps total pendant lequel ce projectile est en vol.

Voyons maintenant un autre exemple.

Un projectile est lancé selon un angle de 32 degrés au-dessus de l’horizontale avec une vitesse initiale de 44 mètres par seconde. Quel est le déplacement maximal vertical vers le haut du projectile à partir de sa position de lancement ?

Bon, disons que voilà le niveau du sol et que cette ligne orange nous montre la trajectoire de ce projectile. Le projectile est lancé à une vitesse initiale que nous appellerons 𝑣 indice 𝑖 et selon un angle que nous appellerons 𝜃. Nous voulons calculer le déplacement vertical vers le haut maximal atteint par le projectile, c’est-à-dire ce déplacement-ci. Nous l’appellerons ℎ indice max.

Puisqu’il s’agit d’un projectile et que nous connaissons sa vitesse initiale et la direction de sa trajectoire, nous pouvons rappeler une équation pour la hauteur maximale atteinte par un projectile en fonction de sa vitesse et direction initiales. Puisqu’on nous donne 𝑣 indice 𝑖 et 𝜃 et que nous savons également que l’accélération de la pesanteur est de 9,8 mètres par seconde au carré, nous pouvons méttre ces valeurs dans notre équation pour ℎ indice max. Lorsque nous entrons cette expression sur notre calculatrice, à deux chiffres significatifs, nous trouvons un résultat de 28 mètres. C’est le déplacement maximal vertical de notre projectile vers le haut.

Voyons maintenant un dernier exemple.

Un projectile est lancé selon un angle de 66 degrés au-dessus de l’horizontale. Le temps qui s’écoule entre départ du projectile et son retour au sol à la même hauteur est de 2,9 secondes. Quelle était la vitesse initiale du projectile ?

D’accord, admettons celui-là le chemin que suit notre projectile. L’angle de lancement initial de ce projectile, nous l’appellerons 𝜃, est de 66 degrés. Et le temps nécessaire à notre projectile pour parcourir ce chemin complet, nous l’appellerons 𝑡 indice 𝑓, est de 2,9 secondes. Sachant cela, nous voulons calculer la vitesse initiale du projectile. Nous l’appellerons 𝑣 indice 𝑖. Puisqu’il s’agit d’un projectile, un corps se déplaçant sous l’influence unique de la pesanteur, nous pouvons rappeler que le temps total nécessaire pour une trajectoire qui commence et se termine à la même hauteur est égal à deux fois la vitesse initiale du projectile multiplié par le sinus de son angle de lancement, le tout divisé par 𝑔.

Dans notre situation, ce n’est pas 𝑡 indice 𝑓 que nous voulons calculer, mais 𝑣 indice 𝑖. Pour commencer à faire cela, nous pouvons multiplier les deux côtés de cette équation par 𝑔 sur deux fois le sinus de 𝜃. Sur le côté droit, les facteurs de deux, 𝑔 et sinus 𝜃 s’annulent, nous laissant avec 𝑣 indice 𝑖. Et nous voyons alors que 𝑣 indice 𝑖 est égal à 𝑔 fois 𝑡 indice 𝑓 sur deux fois le sinus de 𝜃.

En considérant ce qui nous est donné dans notre énoncé du problème, nous connaissons 𝜃 ainsi que 𝑡 indice 𝑓, et nous pouvons rappeler de plus que 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde au carré. Si nous insérons ensuite ces valeurs dans notre équation pour 𝑣 indice 𝑖, à deux chiffres significatifs, nous obtenons un résultat de 16 mètres par seconde. C’est la vitesse initiale que notre projectile devrait avoir selon cet angle de lancement donné afin qu’il soit en l’air pendant 2,9 secondes.

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette leçon en quelques points clés. Nous avons vu ici que pour un projectile qui atterrit à la même hauteur à partir de laquelle il a été lancé, si nous connaissons sa vitesse de lancement initiale 𝑣 indice 𝑖 et son angle de lancement initial 𝜃, alors son temps de vol total 𝑡 indice 𝑓 est égal à deux fois sa vitesse initiale multipliée par le sinus de 𝜃 divisé par 𝑔. De même, la hauteur maximale au-dessus du sol qu’il atteint, ℎ indice max, est égale à sa vitesse initiale au carré multipliée par le sinus de cet angle 𝜃 au carré divisé par deux fois 𝑔. Et enfin, la portée du projectile, sa distance horizontale totale parcourue, est égale à deux fois 𝑣 indice 𝑖 au carré fois sinus 𝜃 fois cosinus 𝜃 le tout sur 𝑔.