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Vidéo de la leçon : Racines 𝑛-ièmes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la racine 𝑛-ième d’un nombre entier, où 𝑛 est un entier supérieur ou égal à 2.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la racine 𝑛-ième d’un nombre entier, où 𝑛 est un entier supérieur ou égal à 2. Par exemple, nous apprendrons à calculer la racine sixième de 64, ou encore la racine quatrième de 81. Prendre la racine 𝑛-ième d’un nombre est l’opération réciproque d’élever à la puissance 𝑛. Commençons par rappeler quelques-unes des puissances les plus communes.

Voyons tout d’abord ce qu’il se passe si on élève un nombre à la puissance un. Par exemple, deux à la puissance un correspond simplement à un deux. Deux au carré signifie qu’on multiplie deux deux ensemble. On a donc deux fois deux, ce qui est égal à quatre. Deux puissance trois signifie qu’on multiplie trois deux ensemble. Ici, une erreur très courante consiste à écrire que deux puissance trois est égal à six, mais cela correspondrait en fait à trois deux additionnés ensemble. Ici, on peut multiplier les deux premiers deux pour obtenir quatre, puis multiplier quatre par le dernier deux pour obtenir huit. Deux à la puissance quatre est équivalent à quatre deux multipliés entre eux. On sait déjà que deux au cube est égal à huit. En multipliant huit par le dernier deux, on obtient 16.

Quel est le lien avec le fait de prendre la racine d’un nombre? Pour le comprendre, considérons l’opération réciproque d’élever au carré : prendre la racine carrée. On a ici la racine carrée de quatre. On rappelle que lorsqu’on écrit la racine carrée, il n’est pas nécessaire d’écrire ce deux en indice, car un symbole radical sans indice correspond à la racine carrée. La racine carrée de quatre est le nombre qui donne quatre quand on le multiplie par lui-même. Il s’agit bien sûr de deux, car deux fois deux font quatre.

Ensuite, la racine cubique de huit est le nombre qui donne huit quand on l’écrit trois fois et qu’on multiplie le tout. Il s’agit de deux, car deux multiplié par deux multiplié par deux est égal à huit. Enfin, la racine quatrième de 16 est également deux, car deux fois deux fois deux fois deux font 16.

On peut appliquer ce même principe aux puissances de trois. Trois au carré est équivalent à trois multiplié par trois, ce qui est égal à neuf. Trois à la puissance trois correspond à trois multiplié par trois multiplié par trois, ce qui fait 27. Trois à la puissance quatre nous donnerait 81. On en déduit que la racine carrée de neuf, la racine cubique de 27 et la racine quatrième de 81 sont égales à trois.

Plus généralement, on peut penser à la racine 𝑛-ième, 𝑟, d’un nombre 𝑥 comme à la valeur qui donne 𝑥 lorsqu’on la multiplie 𝑛 fois. Par exemple, la racine quatrième de 81 est égale à trois, car trois puissance quatre est égal à 81.

Avant de passer aux questions, prenons note d’une astuce. Il est très utile de se familiariser avec les premières puissances de deux, trois, quatre et même cinq. Cela permet d’identifier beaucoup plus rapidement les différences racines et donc de gagner du temps en examen. On peut maintenant passer à la première question.

Calculez la racine carrée de quatre.

Tout d’abord, rappelons que lorsque le symbole radical n’est accompagné d’aucun indice, c’est qu’il s’agit de la racine carrée. Lorsqu’on cherche à déterminer la racine carrée de quatre, on se pose en fait la question : quel nombre donne quatre quand on le multiplie par lui-même? On peut utiliser la lettre de notre choix pour écrire cette question mathématiquement. Ici, j’ai choisi la lettre 𝑦. Ainsi, on a 𝑦 fois 𝑦 égale quatre. On en déduit que 𝑦 doit être égal à deux, car deux fois deux font quatre. Par conséquent, notre réponse est que la racine carrée de quatre est deux.

Passons à une autre question.

Calculez la racine quatrième de 81.

Notons tout d’abord qu’il faut bien faire la différence entre un signe radical accompagné d’un petit quatre, comme ici, et un signe radical accompagné d’un grand quatre. Dans la question, il s’agit de la racine quatrième de 81. En revanche, l’expression de droite correspond à quatre multiplié par racine carrée de 81. Donc, lorsqu’on écrit une racine 𝑛-ième à la main, il faut faire bien attention à noter le degré de la racine sous forme d’indice sur le signe radical. Ici, ce n’est pas la valeur de quatre fois racine carrée de 81 qu’on cherche à calculer.

Pour déterminer la racine quatrième de 81, on se pose la question : quelle valeur de 𝑦 (par exemple) donne 81 quand on l’élève à la puissance quatre? Pour élever un nombre à la puissance quatre, on écrit quatre fois ce nombre et on multiplie le tout. On peut généralement trouver la solution à ce type de question par tâtonnement. Si on commençait par tester la valeur 𝑦 égale un, on obtiendrait un fois un fois un fois un, ce qui est égal à un et non à 81. Donc, on va plutôt essayer avec 𝑦 égale deux. Deux fois deux font quatre. Quatre fois deux font huit. Huit fois deux font 16. Mais 16 n’est pas la valeur qu’on cherche à obtenir.

Donc, on va maintenant essayer avec la valeur trois. On peut procéder de différentes façons pour trouver combien font trois fois trois fois trois fois trois. Par exemple, on peut calculer le produit des deux premiers trois, ce qui nous donne neuf, puis multiplier cela par trois et encore par trois. Soit on peut remarquer que le produit des deux derniers trois nous donne également neuf. Puis multiplier neuf par neuf pour obtenir 81. Ce qui signifie qu’on a trouvé la valeur qu’on cherchait. On a déterminé que trois à la puissance quatre est égal à 81 et on en déduit que la racine quatrième de 81 est trois. Donc, notre réponse à la question est trois.

Passons à une autre question.

Complétez ce qui suit : la racine cubique de 27 est égale à la racine carrée de...

Pour répondre à cette question, on commence par essayer de simplifier le membre de gauche, la racine cubique de 27. On rappelle que pour déterminer la racine cubique de 27, on se pose la question suivante : quelle valeur de 𝑦 (par exemple) donne 27 quand on l’élève à la puissance trois? Pour élever un nombre à la puissance trois, on écrit le nombre trois fois et on multiplie le tout. On peut résoudre les questions de ce type par tâtonnement.

Ici, on a commencé par écrire un fois un fois un, mais on peut facilement voir que cela n’était pas vraiment nécessaire, car multiplier plusieurs un entre eux donne toujours un. Qu’en est-il de deux fois deux fois deux? Bien, soit on fait le calcul pour obtenir huit, soit on se contente de rappeler que multiplier un nombre pair par un nombre pair donne toujours un nombre pair. Or, le nombre qu’on cherche à obtenir, 27, est impair. On en déduit qu’il n’est pas nécessaire de calculer combien font deux à la puissance trois pour savoir que ce n’est pas la bonne réponse.

On passe alors à trois fois trois fois trois. Trois fois par trois font neuf, qu’on multiplie par le dernier trois pour obtenir 27. Donc, on a obtenu la valeur qu’on recherchait. On a déterminé que trois multiplié par trois multiplié par trois est égal à 27, ce qui signifie que trois à la puissance trois est égal à 27. Par conséquent, l’opération réciproque, c’est-à-dire la racine cubique de 27, nous donne trois.

Doit-on en déduire que la valeur manquante sous le radical du membre de droite est la valeur trois? En fait, non. La valeur qu’on recherche est le nombre qui donne trois si on prend sa racine carrée. Afin de trouver le nombre dont la racine carrée est égale à trois, on doit faire l’inverse de prendre la racine carrée. C’est-à-dire qu’on doit élever au carré. Ainsi, la valeur qu’on recherche est trois au carré. Trois au carré est équivalent à trois multiplié par trois. Ce qui est égal à neuf. Ainsi, notre réponse à la question est neuf. On peut vérifier notre réponse des deux côtés de l’équation. On avait calculé que la racine cubique de 27 était égale à trois et la racine carrée de neuf est égale à trois elle aussi.

La prochaine question sera un peu plus complexe et impliquera un calcul avec des racines de degrés différents.

Sachant que 𝑥 est égal à la racine cinquième de 32 moins la racine quatrième de 625 plus la racine carrée de 64, déterminez 𝑥.

Dans cette question, pour déterminer 𝑥, on va devoir calculer la valeur de chacun des trois termes du membre de droite de l’équation. Prenons chacun de ces termes à tour de rôle pour essayer de calculer leurs valeurs.

Pour déterminer la racine cinquième de 32, on se pose la question : quelle valeur de 𝑎 donne 32 si on l’écrit cinq fois et qu’on multiplie le tout? On sait déjà que ce n’est pas un, car peu importe combien de un on multiplie entre eux, on obtiendra toujours un. Essayons avec deux : le produit des deux premiers deux nous donne quatre et celui des deux suivants nous donne quatre également, puis on multiplie quatre par quatre pour obtenir 16 et 16 par le dernier deux pour obtenir 32. Donc, deux à la puissance cinq est égal à 32. Par conséquent, la racine cinquième de 32 est deux.

Essayons maintenant de calculer la racine quatrième de 625. Cette fois-ci, on cherche un nombre, qu’on note 𝑏, tel que quatre 𝑏 multipliés entre eux font 625. On sait que 𝑏 ne peut pas être égal à un. On note également que 𝑏 ne peut pas être égal à deux, car 625 est un nombre impair. Or, peu importe combien de deux on multiplie, on obtiendra toujours un nombre pair. Essayons alors avec la valeur trois. Trois fois trois font neuf. Puis on a à nouveau trois fois trois, qui font neuf. Neuf multiplié par neuf est égal à 81. Ainsi, trois n’est pas la valeur qu’on recherche.

Plutôt que de tester ensuite la valeur quatre, on se contente de noter que quatre est pair, alors que 625, la valeur qu’on recherche, est impaire. Pour tester la valeur cinq, on commence par noter que cinq fois cinq font 25. Puis on multiplie par cinq, ce qui nous donne 125. Et on multiplie une dernière fois par cinq pour obtenir 625. Il s’agit de la valeur qu’on cherchait à obtenir. Ainsi, on sait à présent que la racine quatrième de 625 est cinq.

Enfin, calculons la racine carrée de 64. On rappelle que pour déterminer la racine carrée de 64, on se pose la question suivante : quel nombre donne 64 quand on le multiplie par lui-même? Il s’agit du nombre huit, car huit multiplié par huit est égal à 64. On a trouvé une forme simplifiée de chacun des termes du membre de droite et on peut maintenant essayer de déterminer la valeur de 𝑥.

On a que 𝑥 est égal à la racine cinquième de 32, qui est égale à deux, moins la racine quatrième de 625, qui est égale à cinq, plus la racine carrée de 64, qui est égale à huit. Ce calcul ne comporte qu’une addition et une soustraction, donc on peut simplement réaliser les opérations de gauche à droite. Deux moins cinq font moins trois. Puis on additionne huit pour obtenir cinq. Ainsi, la réponse à la question est que 𝑥 est égal à cinq.

Résolvons une dernière question.

Sachant que 𝑥 est égal à la racine sixième de 64 plus la racine carrée de 81 plus la racine cubique de moins 27 moins la racine quatrième de 16, déterminez 𝑥.

Pour déterminer la valeur de 𝑥, on va devoir simplifier chacun des termes du membre de droite. L’un d’eux nous est familier, la racine carrée de 81. Lorsqu’on cherche la racine carrée d’un nombre, on se demande : quel nombre donne cette valeur quand on le multiplie par lui-même ? On sait que neuf au carré est égal à 81. Donc, la racine carrée de 81 est neuf.

Essayons maintenant de calculer la racine sixième de 64. Pour cela, on essaie de penser dans le sens inverse. C’est-à-dire qu’on se demande quelle valeur de 𝑎 donne 64 quand on l’élève à la puissance six. 𝑎 à la puissance six est équivalent à six 𝑎 multipliés entre eux. Essayons une petite valeur. Par exemple, voyons ce qu’on obtient pour 𝑎 égale deux. On sait que deux fois deux font quatre. On réalise qu’on a quatre multiplié par quatre multiplié par quatre. Quatre fois quatre font 16. 16 multiplié par quatre est égal à 64. Il s’agit de la valeur qu’on cherchait à obtenir. Ainsi, la valeur élevée à la puissance six est deux. En effet, deux à la puissance six est égal à 64. Par conséquent, la racine sixième de 64 est deux.

Passons maintenant au troisième terme du membre de droite, la racine cubique de moins 27. Il est possible qu’on soit un peu déconcerté par ce terme. On nous a sûrement déjà dit qu’on ne pouvait pas déterminer la racine carrée d’un nombre négatif, mais c’est différent dans le cas d’une racine cubique. Ici, on se pose la question suivante : quelle valeur de 𝑏 donne moins 27 quand on l’élève au cube, c’est-à-dire à la puissance trois ? Dans un tel cas, on sait que 𝑏 doit être négatif, car si on multiplie un nombre négatif par un nombre négatif, on obtient un nombre positif et si on multiplie ce nombre positif par un nombre négatif, on obtient un nombre négatif.

Donc, on pourrait essayer de remplacer 𝑏 par moins deux. Cela nous donne moins deux fois moins deux fois moins deux. Le produit des deux premiers moins deux nous donne quatre. Quatre multiplié par moins deux est égal à moins huit. Mais la valeur qu’on cherche à obtenir est moins 27. Donc 𝑏 n’est pas égal à moins deux.

Essayons la valeur moins trois. On sait que moins trois fois moins trois font neuf et que neuf multiplié par moins trois est égal à moins 27. Il s’agit de la valeur qu’on cherchait à obtenir. Cela signifie que la valeur de 𝑏 élevée au cube est moins trois. Ainsi, la racine cubique de moins 27 est moins trois.

Il ne nous reste plus qu’un terme à examiner, la racine quatrième de 16. Cette fois-ci, on se pose la question suivante : quelle valeur de 𝑐 donne 16 quand on l’élève à la puissance quatre? Commençons par essayer avec deux. Deux fois deux font quatre, quatre fois deux font huit et huit fois deux font 16. On a donc trouvé la valeur de 𝑐. Puisque deux à la puissance quatre est égal 16, alors la racine quatrième de 16 est deux.

On peut maintenant combiner tous ces termes simplifiés pour déterminer la valeur de 𝑥. Cela nous donne 𝑥 égale racine sixième de 64, c’est-à-dire deux, plus racine carrée de 81, c’est-à-dire neuf, plus racine cubique de moins 27, c’est-à-dire moins trois, moins racine quatrième de 16, c’est-à-dire deux. On sait qu’additionner moins trois revient à soustraire trois. On peut effectuer les additions et la soustraction dans l’ordre. Ainsi, on va effectuer les opérations de gauche à droite. Deux plus neuf est égal à 11, puis on soustrait trois pour obtenir huit et on soustrait deux pour trouver six. Aisni, notre réponse est que 𝑥 est égal à six.

Résumons à présent ce qu’on a appris dans cette vidéo. La racine 𝑛-ième, 𝑟, d’un nombre 𝑥 est la valeur qui donne 𝑥 lorsqu’on la multiplie 𝑛 fois. Par exemple, la racine quatrième de 81 est trois, car si on multiplie quatre trois entre eux, on obtient 81. Il faut bien faire la différence entre trois multiplié par quatre, qui est égal à 12, et quatre trois multipliés entre eux, qui est égal à 81.

On peut trouver la racine 𝑛-ième d’un nombre négatif sous la forme d’un réel si la valeur de 𝑛 est impaire. Ainsi, comme on a pu le voir dans l’une des questions, la racine cubique de moins 27 est égale à moins trois. Enfin, notons qu’il est utile de connaître les premières puissances de deux, trois et quatre. Cela nous permet de déterminer beaucoup plus facilement les racines 𝑛-ièmes de ces valeurs.

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