Transcription de la vidéo
Si 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝑂 est un hexagone régulier de côtés de six centimètres, où des forces d’intensités 20 newtons, 20 newtons, 13 newtons, 13 newtons et 20 racines trois newtons agissent respectivement le long de 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝑂, 𝐸𝐷 et 𝐶𝐴, et ce système est équivalent à un couple, trouvez la norme du moment du couple.
D’accord, disons que c’est un hexagone régulier avec des sommets 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝑂. En ce qui concerne les forces agissant sur cet hexagone, on nous dit qu’il existe une force qui agit le long de la ligne de 𝐴 à 𝐵. C’est une force de 20 newtons. Ensuite, le long de la ligne de 𝐵 à 𝐶, il y a une autre force de 20 newtons. De 𝐶 à 𝑂, le long de cette ligne pointillée, il y a une force de 13 newtons. Ensuite, de 𝐸 à 𝐷, dans cette direction, il y a une autre force de 13 newtons. Et puis de 𝐶 à 𝐴, le long de cette ligne pointillée, il y a une force de 20 fois racine de trois newtons.
En considérant toutes ces forces comme un système, on veut trouver la norme du moment, c’est-à-dire la valeur absolue du moment que ces forces créent autour du centre de notre hexagone. Ce centre se trouve à un point juste ici. Et surtout, la ligne de 𝐶 à 𝑂 se situe le long de ce point central. Cela importe car lorsque l’on calcule le moment dû à une force, il est égal à cette force multipliée par la distance perpendiculaire entre le point où la force est appliquée et l’axe de rotation. Dans le cas de cette force de 13 newtons de 𝐶 à 𝑂, cette distance perpendiculaire 𝑑 est nulle. La ligne d’action de cette force passe par l’axe de rotation. Et par conséquent, cela ne contribue pas au moment autour du point central. Toutes les autres forces, cependant, contribuent à ce moment car aucune d’entre elles n’a de ligne d’action passant par le centre.
Pour calculer notre moment global, il y a deux distances que l’on veut calculer dans cette figure. On a appelé l’un de ces distances 𝑑 un et l’autre 𝑑 deux. Ces distances sont, d’une part, la distance perpendiculaire entre l’un des côtés de notre hexagone et le point central, c’est 𝑑 un, puis la distance perpendiculaire entre cette ligne droite de 𝐶 à 𝐴 et notre point central ; c’est 𝑑 deux. 𝑑 un et 𝑑 deux sont les valeurs que l’on va substituer au lieu de 𝑑 dans cette équation pour calculer le moment global. Alors calculons les, en commençant par 𝑑 un.
Si on commence à la ligne en pointillé représentant 𝑑 un et on se déplace tout autour de notre point central jusqu’à ce que l’on arrive à cette ligne de nouveau, on fait bien sûr un déplacement angulaire de 360 degrés. Si l’on divise cet angle en six parties égales, l’une de ces parties va couvrir tout un côté de notre figure. La mesure de cet angle est alors de 360 sur six degrés. Et puis, si l’on divise cet angle en deux pour qu’il devienne 360 sur 12 degrés, alors on a un triangle rectangle dont la hauteur est la distance que l’on veut calculer, soit 𝑑 un. Et dans ce triangle, on connait la mesure de cet angle ici, 360 sur 12 degrés ou 30 degrés.
Non seulement cela, on peut également déterminer la longueur de ce côté. Rappelez-vous, on nous dit que chacun des côtés de l’hexagone a une longueur de six centimètres. Ce côté de notre triangle rectangle sera donc la moitié de cela, trois centimètres. Sachant tout cela, on peut ensuite écrire une relation entre cet angle connu, cette longueur de côté connue et notre longueur de côté inconnue 𝑑 un. La tangente de notre angle de 30 degrés est égale à trois divisé par 𝑑 un ou de manière équivalente 𝑑 un est égal à trois sur la tan de 30 degrés. Puisque la tan de 30 est égal à la racine carrée de trois sur trois, on peut simplifier l’expression pour 𝑑 un et montrer qu’elle est égale à trois fois la racine carrée de trois.
Sachant cela, on passe au calcul de cette autre distance 𝑑 deux. Encore une fois, on trace un petit triangle rectangle de sorte que 𝑑 deux soit égal à la hauteur du triangle. Maintenant, regardez notre figure initiale, et notez que si l’on éteint ce côté de notre triangle rectangle, il va atteindre le sommet 𝐵 de notre hexagone. Cela nous dit que cet angle ou cet angle ici dans notre figure plus grande est égal à 360 degrés divisé par six ou 60 degrés. Pour calculer 𝑑 deux, on doit connaître la longueur d’un autre côté de ce triangle rectangle. On peut calculer la longueur de l’hypoténuse en reconnaissant que l’hypoténuse du triangle que l’on travaille avec a la même longueur que l’hypoténuse de l’autre triangle précédent que l’on a utilisée pour calculer 𝑑 un.
Si l’on prend ce triangle encore, où ici on n’a pas dessiné les deux triangles à l’échelle, alors on peut utiliser le fait que cette longueur de côté est trois et cette longueur de côté 𝑑 un est trois racine de trois, avec le théorème de Pythagore, pour dire que la longueur de cette hypoténuse est la racine carrée de trois au carré plus trois racine de trois au carré. Cela équivaut à la racine carrée de 36, soit six. Comme on l’a mentionné, la longueur de cette hypoténuse est la même que celle de celle-ci. Donc, dans le triangle dont la hauteur est 𝑑 deux, cette hypoténuse est égale à six.
On utilise notre angle de 60 degrés et la longueur de notre hypoténuse pour calculer 𝑑 deux. Le cosinus de cet angle de 60 degrés est égal à 𝑑 deux sur six. En rappelant que le cos de 60 degrés est égal à un demi, on peut dire que cette équation implique que 𝑑 deux est égal à six fois un demi, soit trois. Donc on a les valeurs de 𝑑 un et 𝑑 deux, et on est prêt à appliquer cette équation à toutes les forces. Définissons la convention selon laquelle tout moment dans le sens antihoraire est positif. Par conséquent, un moment dans le sens horaire est négatif. En regardant les quatre forces pour lesquelles on veut calculer les moments, on voit que les moments créés par les deux forces de 20 newtons sont positifs, tandis que ceux créés par nos forces de 13 newtons et 20 fois racine de trois newtons sont négatifs.
Voici ce que l’on peut écrire alors. Le moment total autour du centre de notre hexagone est égal à 20 fois 𝑑 un plus 20 fois 𝑑 un moins 13 fois 𝑑 un moins 20 fois racine de trois fois 𝑑 deux. Si l’on substitue ensuite les valeurs 𝑑 un et 𝑑 deux dans cette expression, on voit que l’on peut factoriser trois fois racine de trois de tous ces termes. Lorsque l’on calcule ce qui est entre parenthèses, on obtient que plus 20 s’annule avec moins 20. Et il nous reste trois fois racine de trois fois sept ou 21 fois la racine carrée de trois. C’est une valeur positive, et on sait qu’elle a des unités de newtons fois centimètres. La norme du moment de ces forces est alors égale à 21 fois la racine carrée de trois newton-centimètres.