Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer la loi de conservation de la quantité de mouvement pour étudier les collisions sur un axe et différencier les collisions élastiques et non élastiques. Nous commencerons par examiner quelques définitions et formules clés dont nous aurons besoin dans cette vidéo.
Nous rappelons que la quantité de mouvement d’un objet est égale à sa masse multipliée par son vecteur vitesse. Cela nous amène à la formule est égal à 𝑚 multiplié par 𝑣, où est la quantité de mouvement d’un objet. Dans cette vidéo, la masse sera mesurée en kilogrammes ou en grammes. Le vecteur vitesse d’un objet sera mesurée en mètres par seconde ou en centimètres par seconde. Les unités de quantité de mouvement seront donc des kilogrammes-mètres par seconde ou des centimètres-grammes par seconde. L’impulsion d’une force est égale à la variation de la quantité de mouvement d’un objet. Elle est également égale à l’intensité de la force multipliée par la durée pendant laquelle la force est appliquée.
Cela nous donne la formule suivante. L’impulsion est égale à la force multipliée par le temps qui est égale à la masse multipliée par le vecteur vitesse final moins la masse multipliée par le vecteur vitesse initial. Ces quantités sont des scalaires et non des vecteurs. Cette variation de la quantité de mouvement est souvent appelée la quantité de mouvement après la collision moins la quantité de mouvement avant collision. Les unités d’impulsion sont les secondes newton ou les secondes dyne. Celles-ci sont des unités équivalentes aux unités de quantité de mouvement. Cela signifie que newton secondes et kilogramme mètres par seconde sont interchangeables. Il en va de même pour la dyne seconde et le gramme centimètres par seconde. Un newton seconde correspond à une force de un newton appliquée pendant une seconde.
Nous allons maintenant voir la conservation de la quantité de mouvement et comment elle peut être appliquée aux collisions élastiques et non élastiques sur un axe. La conservation de la quantité de mouvement indique que la quantité de mouvement totale de deux objets avant la collision est égale à la quantité de mouvement totale des objets après la collision. Nous pouvons le démontrer en utilisant les schémas avant et après la collision. Supposons que nous avons deux sphères de masse 𝑚 un et 𝑚 deux se déplaçant dans la même direction avec des vecteurs vitesses 𝑢 un et 𝑢 deux. Les deux sphères entrent en collision et, après la collision, se déplacent avec des vecteurs vitesses 𝑣 un et 𝑣 deux, respectivement. Nous savons que la quantité de mouvement avant la collision doit être égale à la quantité de mouvement après. Comme la quantité de mouvement est égale à la masse multipliée par le vecteur vitesse, 𝑚 un 𝑢 un plus 𝑚 deux 𝑢 deux doit être égal à 𝑚 un 𝑣 un plus 𝑚 deux 𝑣 deux. Nous utiliserons cette formule pour calculer des vitesses ou des masses inconnues dans des problèmes impliquant des collisions.
Avant de passer à quelques questions, nous allons brièvement examiner la différence entre les collisions élastiques et non élastiques. Une collision élastique est une collision où il n’y a pas de perte nette d’énergie cinétique à la suite de la collision. En réalité, les exemples de collisions parfaitement élastiques ne font pas partie de notre expérience quotidienne. Cependant, il existe quelques exemples de collisions en mécanique où l’énergie perdue peut être négligeable. Ces collisions peuvent être considérées comme élastiques, même si elles ne sont pas parfaitement élastiques. Les exemples incluent les collisions de boules de billard ou les billes dans un pendule de Newton. Lorsque deux boules de billard entrent en collision, la conservation de la quantité de mouvement est maintenue. La quantité de mouvement avant la collision est égale à la quantité de mouvement après la collision.
Une collision non élastique est une collision où il y a une perte d’énergie cinétique. Lorsque deux objets fusionnent, ce qui signifie qu’ils se rejoignent pour former un seul objet, la collision est parfaitement non élastique. Alors que dans le monde réel, la plupart des collisions sont quelque part entre parfaitement élastiques et parfaitement non élastiques, dans cette vidéo, nous allons traiter les deux cas extrêmes. Dans notre première question, nous allons trouver le vecteur vitesse d’une sphère après une collision.
Deux sphères 𝐴 et 𝐵 de masse égale ont été projetées l’une vers l’autre le long d’une droite horizontale respectivement à 19 centimètres par seconde et 29 centimètres par seconde. Suite à l’impact, la sphère 𝐵 a rebondi à 10 centimètres par seconde. Trouvez le vecteur vitesse de la sphère 𝐴 après la collision étant donné que sa direction initiale est la direction positive.
Afin de répondre à cette question, nous allons dessiner deux schémas modélisant la situation avant et après la collision. Avant la collision, les deux sphères de masse 𝑚 égale se rapprochent l’une de l’autre, la sphère 𝐴 à 19 centimètres par seconde et la sphère 𝐵 à 29 centimètres par seconde. On nous dit qu’après la collision, la sphère 𝐵 rebondit à 10 centimètres par seconde. Et nous devons calculer le vecteur vitesse de la sphère 𝐴. On nous dit aussi que la sphère 𝐴 se déplaçait initialement dans le sens positif. Pour répondre à cette question, nous utiliserons la conservation de la quantité de mouvement. Cela indique que la quantité de mouvement avant est égale à la quantité de mouvement après.
Comme la quantité de mouvement est égale à la masse multipliée par le vecteur vitesse, notre équation est 𝑚 un 𝑢 un plus 𝑚 deux 𝑢 deux est égale à 𝑚 un 𝑣 un plus 𝑚 deux 𝑣 deux. En utilisant les vitesses initiales, nous avons 𝑚 multiplié par 19 plus 𝑚 multiplié par moins 29. C’est parce que la sphère 𝐵 se déplace dans la direction négative. C’est égal à 𝑚 multiplié par 𝑣, le vecteur vitesse de la sphère 𝐴 après la collision, plus 𝑚 multiplié par 10.
Comme la masse des deux sphères est la même et ne peut pas être égale à zéro, nous pouvons diviser par la variable 𝑚. 19 plus moins 29 est égal à moins 10. Cela nous laisse avec moins 10 est égal à 𝑣 plus 10. Nous pouvons alors soustraire 10 des deux côtés de cette équation ce qui nous donne 𝑣 est égal à moins 20. Le vecteur vitesse de la sphère 𝐴 après la collision est moins 20 centimètres par seconde. Cela signifie qu’il se déplace à une vitesse de 20 centimètres par seconde dans le sens négatif.
Dans notre prochaine question, nous devons trouver l’impulsion exercée sur une sphère.
Deux sphères de masses 200 grammes et 350 grammes se déplacent l’une vers l’autre le long d’une même droite horizontale. La première se déplace à 14 mètres par seconde et la seconde à trois mètres par seconde. Les deux sphères se sont percutées. En conséquence, la première sphère a rebondi à sept mètres par seconde dans la direction opposée. Étant donné que la direction positive est la direction du mouvement de la première sphère avant l’impact, déterminez l’impulsion 𝐼 de la deuxième sphère exercée sur la première et la vitesse 𝑣 de la deuxième sphère après l’impact.
Pour répondre à cette question, nous allons dessiner deux schémas montrant ce qui se passe avant et après l’impact. Nous devons être prudents ici lorsque nous regardons les unités. Les masses sont données en grammes et les vecteurs vitesses en mètres par seconde. Lorsque nous sommes en mètres par seconde, nous avons besoin que les masses soient en kilogrammes. De même, si les vecteurs vitesses étaient en centimètres par seconde, nous aurions besoin que les masses soient en grammes. Nous savons que 1000 grammes est égal à un kilogramme. Cela signifie que les masses des deux sphères sont respectivement de 0,2 kilogramme et 0,35 kilogramme. Il est important de noter que la première sphère se déplace dans le sens positif. Cela signifie que la deuxième sphère se déplace dans le sens négatif quand elle se déplace vers la première.
Après la collision, on nous dit que la première sphère rebondit à sept mètres par seconde dans la direction opposée. La vitesse de la deuxième sphère après impact est 𝑣. La première partie de notre question veut que nous calculions l’impulsion que la deuxième sphère a exercée sur la première. Nous savons que l’impulsion est égale à la variation de la quantité de mouvement. Cela nous amène à l’équation 𝐼 égale 𝑚𝑣 moins 𝑚𝑢 car la quantité de mouvement est égale à la masse multipliée par le vecteur vitesse. Cela peut également s’écrire comme 𝑚 multiplié par 𝑣 moins 𝑢 en factorisant la masse.
Nous savons que la masse de la sphère 𝐴 est de 0,2 kilogramme. Le vecteur vitesse après la collision est de moins sept car le déplacement se fait à une vitesse de sept mètres par seconde dans le sens négatif. Le vecteur vitesse initial avant la collision était de 14 mètres par seconde. L’impulsion est donc égale à 0,2 multipliée par moins 21. Cela nous donne une réponse de moins 4,2. L’impulsion que la deuxième sphère exerce sur la première est de moins 4,2 newton-secondes. Nous rappelons que les unités de l’impulsion sont le newton-seconde lorsque la masse est en kilogrammes et que le vecteur vitesse est en mètres par seconde.
La deuxième partie de cette question veut que nous calculions la vitesse 𝑣. En utilisant la conservation de la quantité de mouvement, nous savons que la quantité de mouvement avant est égale à la quantité de mouvement après. Cela nous amène à l’équation 𝑚 un 𝑢 un plus 𝑚 deux 𝑢 deux égale 𝑚 un 𝑣 un plus 𝑚 deux 𝑣 deux. En utilisant nos valeurs pour les masses et les vitesses, cela nous donne 0,2 multiplié par 14 plus 0,35 multiplié par moins trois est égal à 0,2 multiplié par moins sept plus 0,35 multiplié par 𝑣. Le côté gauche se simplifie en 1,75. Et à droite, nous avons moins 1,4 plus 0,35𝑣. En ajoutant 1,4 aux deux côtés nous donne 3,15 est égal à 0,35𝑣. Enfin, en divisant les deux côtés par 0,3, on obtient 𝑣 égale neuf. La vitesse de la deuxième sphère après impact est de neuf mètres par seconde. Il convient également de noter que cette sphère se déplace dans le sens positif.
Dans la dernière question de cette vidéo, nous traiterons une collision non élastique.
Deux sphères se déplacent le long d’une ligne droite. L’une a une masse 𝑚 et se déplace à la vitesse 𝑣, tandis que l’autre a une masse de 10 grammes et se déplace à 36 centimètres par seconde. Si les deux sphères se déplaçaient dans la même direction lors de leur collision, elles se regrouperaient en un seul corps et se déplaceraient à 30 centimètres par seconde dans la même direction. Cependant, si elles se déplaçaient dans des directions opposées, elles se regrouperaient en un seul corps, qui se déplacerait à six centimètres par seconde dans la direction dans laquelle la première sphère se déplaçait. Trouvez 𝑚 et 𝑣.
Il y a deux scénarios dans cette question, et dans les deux cas, les corps fusionnent. Cela signifie qu’ils se rejoignent et que la collision est non élastique. Dans le premier scénario, les deux corps se déplacent dans la même direction. Dans cette situation, ils se rassemblent et se déplacent à une vitesse de 30 centimètres par seconde. Dans le deuxième scénario, les sphères se déplaçaient l’une vers l’autre à l’origine. Et elles finissent par se déplacer dans la même direction que la première sphère avec une vitesse de six centimètres par seconde. Pour répondre à cette question, nous utiliserons la conservation de la quantité de mouvement. Cela indique que la quantité de mouvement avant la collision est égale à la quantité de mouvement après. La formule que nous utiliserons est 𝑚 un 𝑢 un plus 𝑚 deux 𝑢 deux est égale à 𝑚 un 𝑣 un plus 𝑚 deux 𝑣 deux.
Nous allons maintenant libérer de l’espace pour répondre à la question. Comme les sphères se rejoignent, nous n’aurons qu’un seul produit du côté droit. Dans notre premier scénario, nous avons 𝑚𝑣 plus 10 multiplié par 36 est égal à 𝑚 plus 10 multiplié par 30. La distribution des parenthèses nous donne 30𝑚 plus 300. On peut alors soustraire 360 des deux côtés pour que 𝑚𝑣 soit égal à 30𝑚 moins 60. Nous répétons cela pour le deuxième scénario. Les seules différences sont que le 36 est maintenant négatif car la deuxième sphère se déplace dans la direction opposée et le vecteur vitesse final est de six. Cela se simplifie à 𝑚𝑣 moins 360 est égal à six 𝑚 plus 60. Cette fois, nous pouvons ajouter 360 des deux côtés, 𝑚𝑣 est donc égal à six 𝑚 plus 420.
Nous avons maintenant deux équations simultanées avec 𝑚𝑣 du côté gauche pour les deux. Cela signifie que 30𝑚 moins 60 doit être égal à six 𝑚 plus 420. Ajouter 60 et soustraire six 𝑚 des deux côtés nous donne 24𝑚 égale à 480. Nous pouvons alors diviser les deux côtés par 24, ce qui nous donne 𝑚 est égal à 20. La masse de la première sphère est de 20 grammes. Nous pouvons maintenant utiliser cela dans l’une de nos équations. Nous allons choisir l’équation un. Cela nous donne 20𝑣 est égal à 30 multiplié par 20 moins 60. Le côté droit se simplifie en 540. Nous pouvons alors diviser les deux côtés de l’équation par 20, ce qui nous donne 𝑣 est égal à 27. Le vecteur vitesse initial de la première sphère est de 27 centimètres par seconde. Nous avons maintenant trouvé la masse et la vitesse de la première sphère qui entraîneraient la fusion des deux sphères lors de la collision.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Dans cette vidéo, nous avons vu que la quantité de mouvement est égale à la masse multipliée par le vecteur vitesse. Nous avons également vu qu’à partir de la conservation de la quantité de mouvement, la quantité de mouvement avant une collision est égale à la quantité de mouvement après. Cela nous a conduit à l’équation suivante : 𝑚 un 𝑢 un plus 𝑚 deux 𝑢 deux est égal à 𝑚 un 𝑣 un plus 𝑚 deux 𝑣 deux, où 𝑚 un et 𝑚 deux sont les masses des deux corps. 𝑢 un et 𝑢 deux sont les vecteurs vitesses avant la collision et 𝑣 un et 𝑣 deux sont les vecteurs vitesses après la collision.
Nous avons également vu que l’impulsion est égale à la variation de la quantité de mouvement. Cela nous a donné l’équation 𝐼 égale 𝑚𝑣 moins 𝑚𝑢. C’est la quantité de mouvement après la collision moins la quantité de mouvement avant. Pour les questions de cette vidéo, nous avons modélisé la situation parfaitement élastique et la situation parfaitement non élastique. Cela signifie qu’aucune énergie n’a été perdue lors de la collision. Dans une collision parfaitement non élastique, nous savons que les deux corps fusionnent ou se rejoignent.
