Transcription de la vidéo
Déterminez l’équation générale du plan qui passe par le point cinq, un, moins un et qui est parallèle aux deux vecteurs de coordonnées : neuf, sept, moins huit et moins deux, deux, moins un.
On nous demande dans cette question de déterminer l'équation générale d'un plan. On nous dit que ce plan passe par le point de coordonnées cinq, un, moins un. On nous donne également deux vecteurs parallèles au plan, le vecteur neuf, sept, moins huit et le vecteur moins deux, deux, moins un. Alors pour répondre à cette question, rappelons d'abord ce que nous entendons par l'équation générale d'un plan. On sait que l'équation générale d'un plan est de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 est égale à zéro, où 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont des constantes. Et plus particulièrement, le vecteur 𝑎, 𝑏, 𝑐 sera un vecteur normal au plan.
Ainsi, pour déterminer l'équation générale du plan, nous allons devoir trouver un vecteur normal à ce plan. On note que l'on nous donne deux vecteurs parallèles au plan. Et comme ces deux vecteurs ne sont pas des multiples scalaires l'un de l'autre, on peut déterminer un vecteur normal à ces deux vecteurs en utilisant le produit vectoriel. Bien entendu, si un vecteur est normal à deux vecteurs parallèles au plan qui ne sont pas des multiples scalaires l'un de l'autre, alors il sera également un vecteur normal au plan. Donc on va définir notre vecteur 𝐧 comme étant égal au produit vectoriel de ces deux vecteurs. Et on se rappelle que pour trouver le produit vectoriel de deux vecteurs en trois dimensions, il faut trouver le déterminant d'une matrice trois-trois
Sur la première ligne de cette matrice, nous avons mis les vecteurs directionnels unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Puis, dans la deuxième et la troisième ligne, on écrit les composantes des deux vecteurs dont on cherche le produit vectoriel. On doit trouver le déterminant de la matrice 𝐢, 𝐣, 𝐤, neuf, sept, moins huit, moins deux, deux, moins un. On peut alors calculer ce déterminant en développant sur la première ligne. Nous obtenons 𝐢 fois le déterminant de la matrice sept, moins huit, deux, moins un moins 𝐣 fois le déterminant de la matrice neuf, moins huit, moins deux, moins un plus 𝐤 fois le déterminant de la matrice neuf, sept, moins deux, deux.
Nous devons maintenant évaluer le déterminant de chaque matrice deux-deux. On se rappelle que l'on le fait en trouvant la différence du produit des diagonales. En calculant ces déterminants, nous obtenons 𝐢 fois moins sept plus 16 moins 𝐣 fois moins neuf moins 16 plus 𝐤 fois 18 plus 14. On peut alors évaluer et simplifier cette expression. On obtient neuf 𝐢 plus 25𝐣 plus 32𝐤. Et tous les multiples non nuls de ce vecteur sont des vecteurs normaux au plan. On a donc trouvé les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐.
Il nous reste encore à déterminer la valeur de 𝑑. On peut le faire en utilisant le fait que le point de coordonnées cinq, un, moins un se trouve dans le plan. À cette fin, nous devons d'abord substituer nos valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans l'équation générale de notre plan. On obtient neuf 𝑥 plus 25𝑦 plus 32𝑧 plus 𝑑 doit être égal à zéro. Si le point cinq, un, moins un est situé dans le plan, alors il doit satisfaire l'équation du plan. On peut donc substituer ses coordonnées dans cette équation. Ceci nous donne alors neuf fois cinq plus 25 multiplié par un plus 32 fois moins un plus 𝑑 égale à zéro.
On peut ensuite faire le calcul et résoudre cette équation pour déterminer 𝑑. On obtient 45 plus 25 moins 32 plus 𝑑 égale à zéro, ce qui nous donne 38 plus 𝑑 égale à zéro. En soustrayant 38 des deux côtés de l'équation, on obtient 𝑑 égale à moins 38. Il ne nous reste plus qu'à substituer nos valeurs pour 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 dans l'équation générale du plan. On obtient alors notre réponse finale. L'équation générale du plan qui passe par le point cinq, un, moins un et qui a pour vecteurs parallèles : neuf, sept, moins huit et moins deux, deux, moins un est l'équation neuf 𝑥 plus 25𝑦 plus 32𝑧 moins 38 égale zéro.