Vidéo : Discuter de l’existence de la limite d’une fonction définie par morceaux en un point

Discute de l’existence de lim_ (𝑥 → −15) 𝑓(𝑥) étant donnée 𝑓(𝑥) = −15𝑥 − 15 si 𝑥 < −15, 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 15 si 𝑥 ≥ −15. [A] La limite n’existe pas car lim_ (𝑥→ −15⁺) 𝑓 (𝑥) existe, mais lim_ (𝑥 → −15⁻) 𝑓(𝑥) n’existe pas. [B] La limite n’existe pas car lim_ (𝑥→ −15⁻) 𝑓(𝑥) existe, mais lim_ (𝑥 → −15⁺) 𝑓(𝑥) n’existe pas. [C] La limite n’existe pas parce que lim_ (𝑥→ −15⁻) 𝑓(𝑥) et lim_ (𝑥 → −15⁺) 𝑓(𝑥) existent, mais ne sont pas égaux. [D] La limite existe et est égale à 210. [E] La limite existe et est égale à −15.

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Transcription de vidéo

Discute de l’existence de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de 15 si 𝑓 de 𝑥 est égal à 15 𝑥 moins 15 si 𝑥 est strictement inférieur à 15 et 𝑥 au carré moins 15 si 𝑥 est supérieur à 15.

Nous avons cinq options de choix parmi A, B, C et D. L’option A dit que la limite n’existe pas car la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de 15 à partir de la droite existe, mais la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de moins 15 à gauche n’existe pas. Option B : la limite n’existe pas car la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de moins 15 à gauche existe, mais la limite de 𝑓 de 𝑥 de lorsque 𝑥 se rapproche de moins 15 à droite. Option C : la limite n’existe pas car la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de moins 15 à gauche et la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche de moins 15 à droite existent, mais ne sont pas égales. Option D : la limite existe et est égale à 210. Et l’option E : la limite existe et est moins 15.

Il y a pas mal de choses à prendre ici. Mais, fondamentalement, la question concerne la limite d’une fonction par morceau lorsque 𝑥 se rapproche de la valeur pour laquelle la règle définissant la fonction change. Nous sommes invités à en discuter et les options qui s’offrent à nous indiquent clairement ce que cela signifie. Si la limite existe, nous devrions le dire et lui donner une valeur. Et si la limite n’existe pas, nous devons expliquer pourquoi la limite n’existe pas - quel critère manque.

Avec cette idée à l’esprit, nous pouvons effacer les options de l’écran, ce qui nous donnera de la place pour répondre à la question. Alors que faut-il faire pour que cette limite existe ? Eh bien, pour une fonction générale 𝑓, la limite de 𝑓 de 𝑥 au fur et à mesure que 𝑥 s’approche de 𝑎 existe si les limites à gauche et à droite existent et sont égales. Donc, il y a trois choses qui doivent être vraies : la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de 𝑎 par la gauche doit exister, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de 𝑎 par la droite doit exister, et ces deux limites doivent être égales.

En repensant aux options, trois d’entre elles indiquent que nos limites n’existent pas. Et la raison invoquée pour que les limites n’existent pas, c’est que l’une de ces trois choses était fausse, une chose différente pour chaque option. Pour répondre à notre question, nous allons donc appliquer cette définition à notre fonction, définie comme ci-dessus, avec la valeur limite égale à 15. Nous allons voir si les limites à gauche et à droite existent. Et si elles existent, sont-elles égales ? Et la manière de le faire est d’essayer d’évaluer ces limites.

Nous choisissons de commencer par la limite à gauche, où 𝑓 de 𝑥 est défini comme ci-dessus. Ce signe moins en exposant nous indique qu’il s’agit d’une limite à gauche. Il s’agit donc de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de moins 15 par la gauche avec des valeurs de 𝑥 inférieures à moins 15, mais se rapprochant de plus en plus de moins 15. Et lorsque 𝑥 est inférieur à moins 15, 𝑓 de 𝑥 est moins 15𝑥 moins 15. Ainsi, nous pouvons remplacer 𝑓 de 𝑥 à l’intérieur de la limite par un moins 15𝑥 moins 15. Nous pouvons évaluer cette limite, qui est simplement la limite d’une fonction linéaire par substitution directe.

En substituant moins 15 à 𝑥, nous obtenons moins 15 fois moins 15 moins 15, ce qui correspond à 210. Nous faisons quelque chose de très similaire pour trouver la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de moins 15 à droite. Rappelez-vous ce signe plus en exposant, il nous dit que 𝑥 est supérieur à 15 alors qu’il se rapproche de 15. Et nous pouvons voir de la définition de 𝑓, lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à 15 et donc certainement lorsque 𝑓 est juste plus grand que moins 15, 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins 15.

Par conséquent, à l’intérieur de cette limite, 𝑓 de 𝑥 vaut 𝑥 au carré moins 15. Et comme c’est la limite d’un polynôme, nous pouvons trouver sa valeur par substitution directe. En substituant 15 à 𝑥 et en évaluant cette expression pour obtenir 210, nous avons montré en les évaluant qu’il existe à la fois des limites à gauche et à droite. Et on peut aussi voir qu’elles sont égales. Les deux valent 210. La limite à gauche existe, la limite à droite existe et les valeurs de ces deux éléments sont égales. Et donc, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche de moins 15 existe.

Et lorsque la limite existe, sa valeur est la valeur des limites à gauche et à droite, qui sont bien sûr égales. La limite de 𝑓 de 𝑥 définie ci-dessus lorsque 𝑥 se rapproche de moins 15 existe et vaut 210. C’était l’option D parmi les options que nous avions au début.

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