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Vidéo de la leçon : Représentation de grandes valeurs de grandeurs physiques Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la notation scientifique et les préfixes des unités pour multiplier et diviser les valeurs de quantités physiques par différentes puissances de dix.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous traitons de la représentation de grandes valeurs de grandeurs physiques. En étudiant le monde physique, certains des nombres que nous rencontrons sont vraiment très grands. Par exemple, le nombre d’atomes dans notre galaxie. Dans cette leçon, nous allons apprendre une façon d’écrire des valeurs si grandes comme celles-là en utilisant une notation abrégée. En même temps, nous allons apprendre quelques préfixes qui nous aideront à décrire les très grands et les très petits nombres.

Pour commencer, considérons un autre grand nombre. Nous considérerons nombre d’étoiles qui se trouvent dans l’univers observable. Dans cet espace, dans la partie de l’univers que nous pouvons observer, nous comptons environ 10 milliards de galaxies. Et nous estimons que chaque galaxie a environ 100 milliards d’étoiles. Si nous multiplions ces deux nombres ensemble, 10 milliards de galaxies et 100 milliards d’étoiles par galaxie. Nous obtenons un résultat qui est un suivi d’un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 zéros.

Alors, faisons quelques remarques sur ce nombre. Peut-être que la chose la plus impressionnante à propos de ce nombre est le nombre de zéros qu’il possède. Afin de nous assurer que le nombre a été écrit correctement, nous avons dû bien compter chacun des zéros. Cela a pris du temps. Et il serait facile de faire une erreur en comptant et d’écrire accidentellement le mauvais nombre. Donc, la deuxième chose que nous remarquons est que ce nombre est facile à écrire incorrectement. Il faut bien regarder pour nous assurer que nous avons le bon nombre de zéros. D’ailleurs on peut remarquer que ce nombre occupe beaucoup de place à l’écran. Nous avons dû faire de la place pour tous ces zéros. Donc, si nous voulions écrire ce nombre plusieurs fois sur notre écran, disons, dans le cadre d’un calcul, nous devrions faire attention à lui laisser suffisamment de place pour pouvoir le faire.

De plus, il convient de souligner que ce nombre, comme nous l’avons écrit, est écrit en ce qu’on appelle la notation décimale. Cette façon de compter est basée sur le système décimal. Dans ce système, comme nous l’avons vu auparavant et que nous connaissons bien, les chiffres que nous pouvons écrire dans une certaine position du nombre, disons cette position ici, peuvent aller de zéro à neuf. Pour être un peu plus clair à ce sujet, considérons ce nombre-ci, 1234,56. Dans ce nombre, nous savons que chacun des chiffres occupe un certain rang dans le nombre. Par exemple, le quatre est au rang des unités de notre nombre. Le trois est au rang des dizaines. Le deux est au rang des centaines, et le un est au rang des milliers.

En réalisant cela, il existe une autre façon d’écrire ces nombres individuels. Nous pourrions écrire le chiffre au rang des unités, le quatre, comme quatre fois 10 élevé à la puissance zéro. Rappelons que tout nombre élevé à la puissance zéro est égal à un. Donc, cela équivaut à quatre fois un. Et quatre fois un, nous le savons, est égal à quatre. C’est le chiffre que nous avons au rang des unités. Si nous considérons ensuite le chiffre au rang des dizaines, le trois, nous pouvons représenter ce nombre comme trois fois 10 non pas puissance zéro mais puissance un.

Alors, pourquoi est-ce le cas? Pourquoi utilisons-nous trois fois 10 à la puissance un au lieu de trois fois 10 à la puissance zéro ? La raison est que notre trois n’est pas au rang des unités comme le quatre. Mais il est au rang des dizaines. Et donc, nous le multiplions par un facteur de 10. 10 à la puissance un est égal à 10. Avoir un trois à la place des dizaines représente une valeur de trois fois 10 ou 30. Une façon de penser à cela est que si nous ajoutions ce nombre, 30, au nombre occupant le rang des unités, quatre, nous obtiendrions un résultat de 34. Et en effet, si nous ne regardons que les chiffres des dizaines et des unités dans notre nombre global, nous voyons que c’est bien la valeur représentée, 34.

Nous pouvons continuer le raisonnement avec notre chiffre au rang des centaines, le deux. Cette valeur est représentée par deux, le chiffre à cet endroit, multiplié par 10 à la puissance deux. Et nous pouvons nous rappeler que 10 à la puissance deux est égal à 10 fois 10 ou 100. Deux multiplié par cela est alors égal à 200. Et puis, passons à notre rang des milliers où notre chiffre est un. Cette valeur peut être représentée par un fois 10 à la puissance trois. 10 à la puissance trois est égal à 10 fois 10 fois 10, ce qui est égal à 1000. Donc, cette valeur globale est égale à un fois 1000 ou 1000.

Remarquez la tendance générale que nous voyons ici. Pour le chiffre au rang des unités, dans notre cas il s’agissait de quatre, nous le multiplions par 10 puissance zéro. Ensuite, pour la valeur au rang des dizaines, nous la multiplions par 10 à la puissance un. Ensuite, pour notre valeur au rang des centaines, nous la multiplions par 10 à la puissance deux. Et puis 10 à la puissance trois pour notre valeur au rang des milliers. Et d’ailleurs, si nous avions fait la même chose pour nos valeurs cinq et six qui sont après la virgule, nous aurions vu une tendance similaire. Dans cette position, le cinq peut être écrits comme cinq fois 10 à la puissance moins un. Et nous pouvons exprimer le six comme six fois 10 à la puissance moins deux. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons un résultat de 0,06. Et cinq fois 10 à la puissance moins un est égal à 0.5.

Donc, avec tout ça noté à l’écran, concentrons-nous un instant sur les nombres multipliés par 10 élevé à une certaine puissance. Nous allons donc regarder cette expression-ci, cette expression-ci, celle-ci, celle-ci, celle-ci, et celle-ci. En considérant ces six expressions ensemble, que pouvons-nous remarquer à leur sujet ? Une chose que nous remarquons est que ces six nombres commencent par un nombre compris entre un et 10. Et quand on dit le chiffre par lequel ils commencent, on fait référence au chiffre un ici, au deux ici, au trois ici, au quatre ici et ainsi de suite. Ce nombre de départ est toujours supérieur ou égal à un et inférieur à 10.

Une autre chose à noter est que chacun de ces chiffres est multiplié par 10 élevé à une puissance entière. 10 à la puissance un, 10 à la puissance deux, 10 à la puissance moins deux, 10 à la puissance plus trois. Nous les avons tous vu dans cet exemple. Maintenant, voilà où les choses deviennent plus intéressantes. Jusqu’à présent, nous avons appelé tout cela de « observations », mais et si nous les considérions comme des règles pour la notation des nombres ? Et si nous disions que tout nombre que nous voulions écrire devait commencer par un chiffre supérieur ou égal à un et inférieur à 10. Et puis qu’il fallait le multiplier par 10 élevé à une puissance entière. Nous pouvons voir des exemples de comment cela fonctionnerait à partir de notre nombre initial ici, 1234,56.

Disons, par exemple, que nous voulions écrire le nombre 1000 en utilisant cette recette, en utilisant ces deux règles. Nous avons vu comment cela fonctionnerait. 1000 s’écrit de cette façon comme un fois 10 à la puissance trois. Nous avons commencé avec un chiffre supérieur ou égal à un et inférieur à 10. Et puis on a multiplié ce chiffre par 10 élevé à une puissance entière. Si nous regardons cet exemple un peu plus attentivement, nous pouvons voir que nous commençons par le chiffre un. Celui-là est ici. Et nous pourrions représenter celui-ci comme un suivi d’une virgule. Ce faisant, nous suivons la première règle de notre recette. Et puis, nous appliquons la deuxième règle.

Nous multiplions ce un par 10 à la puissance trois. Cela entraîne un déplacement de notre virgule. Il commence à se déplacer vers la droite. Il se déplace d’un, deux, trois rangs, un rang pour chaque puissance de 10 par laquelle on multiplie un. Et c’est ainsi que nous nous retrouvons avec le nombre 1000. Nous prenons notre nombre de départ initial. Nous mettons une virgule après. Et puis, nous déplaçons cette virgule du nombre de rangs qui correspond au nombre de puissances de 10 par lesquelles nous multiplions notre nombre de départ.

Et au fait, si notre puissance entière est négative, comme dans l’exemple de six fois 10 à la puissance moins deux, ce raisonnement vaut toujours. Nous pouvons toujours commencer en écrivant notre nombre de départ, dans ce cas un six, et en le suivant avec une virgule. Mais cette fois-là, parce que notre entier est négatif, au lieu de déplacer la virgule vers la droite, lorsque nous multiplions six par 10 élevé à cette puissance, nous la déplaçons vers la gauche. Et en particulier, nous le déplaçons d’un, deux rangs. Cela nous donne le nombre 0,06.

Très bien, jusqu’à présent, nous avons utilisé cette méthode en deux étapes pour écrire des nombres allant jusqu’à 1000. Mais et si nous pouvions utiliser la même méthode pour écrire une notation abrégée pour des nombres beaucoup plus grands. Considérons le nombre représentant la quantité d’étoiles dans l’univers observable pour voir comment cela pourrait fonctionner. Nous pouvons voir qu’un tel nombre commence par une valeur supérieure ou égale à un et inférieure à 10. En particulier, cela commence par le chiffre un. Et puis, ce un, comme nous l’avons vu précédemment, est suivi de 21, nous les avons comptés, zéros. Donc, si nous devions mettre une virgule dans ce nombre, cette virgule irait ici. Ensuite, si nous écrivons notre nombre de départ, un, comme un suivi de la virgule. Nous pouvons voir que pour que ce nombre ici représente le nombre réel que nous voulons qu’il représente, nous devrons déplacer cette virgule de 21 rangs vers la droite.

Alors, bien sûr, si nous écrivions cela, tout ce que nous aurions serait ce nombre écrit une fois de plus. Mais si nous considérons notre exemple précédent, une fois 10 à la puissance trois égal 1000, nous pouvons nous appuyer sur cet exemple pour écrire ce nombre en notation abrégée. A notre chiffre de départ, un , nous voulions ajouter un, deux, trois zéros. Et donc, nous avons multiplié notre nombre de départ par 10 à la puissance trois. Ce qui signifie qu’avec notre très grand nombre représentant le nombre d’étoiles dans l’univers. Si nous voulons 21 zéros, alors nous voudrons multiplier notre chiffre de départ, un, par 10 à la puissance 21. Cela équivaudrait à un suivi d’un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, et ainsi de suite jusqu’à 21 zéros.

Alors, en utilisant cette méthode en deux étapes, nous avons exprimé un très grand nombre de manière abrégée. Et remarquez, contrairement au nombre écrit au départ, celui-ci n’a pas beaucoup de zéros à gérer. Et cela ne prend pas trop de place à l’écrit. C’est un très grand nombre exprimé de manière assez courte et compacte. Écrire un nombre de cette manière est connu sous le nom de notation scientifique. Et en travaillant avec un nombre aussi grand, nous pouvons facilement voir la différence entre l’écrire en notation décimale ou en notation scientifique.

Écrire un nombre en notation scientifique implique de l’exprimer de cette façon, en utilisant ces deux règles. Une bonne chose à propos de cette notation est que nous pouvons l’appliquer à n’importe quel nombre. Nous n’avons pas besoin d’un nombre commençant par un, puis suivi d’une série de zéros, comme dans le cas présent. Pour voir que nous pouvons en effet écrire n’importe quel nombre en notation scientifique, faisons-le pour cette valeur d’origine que nous avions, 1234,56.

D’accord, en regardant la première règle de notre méthode, nous voyons que nous devons commencer avec un chiffre supérieur ou égal à un et inférieur à 10. Comme il est écrit en ce moment, notre nombre ne remplit pas cette condition. Nous devons donc le changer pour le faire. Comment pourrions-nous faire cela ? Eh bien, nous pourrions le faire en déplaçant la virgule dans ce nombre. Si nous déplaçons la virgule d’un, deux, trois rangs vers la gauche, alors après ce changement, notre nombre serait 1,23456. Ce nombre est supérieur ou égal à un et inférieur à 10. Donc, cela est conforme à notre première règle. Mais alors, si nous comparons notre nombre initial avec le nombre que nous avons maintenant, nous voyons qu’ils ne sont pas les mêmes. Mais nous pouvons les rendre identiques en appliquant la deuxième règle de notre processus.

En multipliant notre nombre de départ par 10 élevé à une puissance entière, nous pouvons appeler cet entier 𝑏, nous voulons faire en sorte que ce nombre global soit égal à notre nombre d’origine. Pour ce faire, nous pouvons voir que cette valeur de 𝑏 devra faire en sorte que notre virgule se déplace d’un, deux, trois rangs vers la droite. En d’autres mots, cela compense en pratique le changement que nous avons fait en déplaçant la virgule vers la gauche pour obtenir notre nombre de départ. La valeur de 𝑏, l’entier, qui fera cela est de trois. Et maintenant, on peut dire que ces deux nombres sont égaux. Et nous pouvons le voir en remarquant ce qui se passerait si nous multiplions notre nombre de départ par 10 puissance trois. Cela déplacerait notre virgule de trois rangs vers la droite, ce qui nous donnerait notre valeur initiale de 1234,56.

Alors, n’importe quel nombre à n’importe quel niveau de précision peut être écrit en notation scientifique. C’est une façon courante dans la communauté scientifique d’écrire des valeurs très grandes ou très petites. Considérant de tels nombres, ceux qui sont très grands ou très petits, une façon de les décrire est d’utiliser ce qu’on appelle des préfixes. Alors, même si le nom n’est pas familier, les préfixes sont quelque chose que nous avons vu et travaillé auparavant. Admettons que nous mesurons la masse d’un objet. Nous pourrions écrire la masse de l’objet en grammes. Mais une autre façon tout à fait légitime de le faire est d’écrire la masse de l’objet en kilogrammes. Ici kilo est un préfixe à gramme. Il nous dit que nous ne parlons pas de grammes individuels, mais plutôt de groupes de milliers de grammes.

De même, milli peut être un préfixe pour gramme, ce qui nous indique que nous travaillons avec des millièmes de grammes plutôt que des grammes en soi. Kilo et milli sont des exemples de préfixes que nous utilisons pour décrire les grands et les petits nombres. Et bien sûr, il y en a d’autres. Considérons cette liste plus longue. Ici, dans ce tableau, nous avons ces deux colonnes. Dans la première colonne, nous avons les préfixes ainsi que leurs abréviations. Et dans la deuxième colonne, nous avons la puissance 10 à laquelle ce préfixe correspond. Donc, si nous utilisons tera comme préfixe, symbolisé par un T majuscule, cela implique de multiplier une valeur par 10 à la puissance 12. C’est le chiffre un suivi de 12 zéros.

Ensuite, en suivant ces colonnes vers le bas, nous arrivons aux petites valeurs indiquées par un préfixe comme micro. L’utilisation de ce préfixe pour décrire une quantité signifie que nous prenons cette quantité initiale et la multiplions pratiquement par 10 puissance moins six. En d’autres mots, en le divisant par un million. Eh bien, une chose importante à retenir à propos des préfixes est qu’ils doivent s’appliquer à une unité. Ils ne peuvent pas exister seuls. Si nous disons un giga ou un centi ou un nano et sans préciser à quoi ces préfixes s’appliquent, cela n’aurait aucun sens. Admettons cependant que nous avions une quantité et que cette quantité était en volts. Dans ce cas, il serait logique de parler de gigavolts ou de centivolts ou de nanovolts. Le préfixe peut changer, et il change en fonction de la grandeur du nombre que nous voulons décrire.

Pour voir comment ces préfixes fonctionnent, imaginons que nous ayons un certain nombre de nanovolts. Et en passant, nous pouvons abréger cela n minuscule V majuscule. Disons que nous avons, oh, 17 nanovolts. La question peut se poser, à combien de volts cela correspond-il? Pour déterminer cela, nous pouvons voir que le préfixe nano implique de prendre quelle que soit notre unité d’origine, dans ce cas, des volts, et de la multiplier par 10 puissance moins neuf. Cela équivaut à dire qu’un nanovolt ou un nano quoi que ce soit, l’unité n’a pas d’importance, égale 10 à la puissance moins neuf fois moins cette unité d’origine. Alors, pour déterminer combien de volts font 17 nanovolts, nous pourrions multiplier les deux côtés de cette équation par 10 à la puissance 17. Lorsque nous faisons cela, nous voyons que 17 nanovolts est égal à 17 fois 10 puissance moins neuf volts. Cela nous montre comment l’utilisation de préfixes - tels que, dans ce cas, nano - nous aide à écrire des nombres sous une forme un peu plus courte.

En parlant d’écrire des nombres sous une certaine forme, voici une question. Ce nombre est-il en notation scientifique? Nous pouvons voir que cela implique de multiplier un nombre par 10 élevé à une puissance entière. De cette manière, elle satisfait à l’une des deux conditions pour écrire un nombre en notation scientifique. Mais notez que notre nombre de départ, 17, n’est pas compris entre un et 10. C’était l’autre condition que nous avions. Donc, écrit tel quel, ce nombre en volts n’est pas en notation scientifique, mais nous pourrions le faire. Nous pourrions le faire en remarquant que pour le moment, notre virgule est en pratique déjà présente. Et nous aimerions la déplacer d’un rang vers la gauche. Pour compenser ce déplacement, nous devons ajuster notre exposant. Nous devrons changer ce nombre.

Une question est de savoir si nous l’augmentons ou si nous le diminuons. Est-ce que cela devient moins 10 ou moins huit ? Eh bien, quoi que nous fassions à notre exposant, nous voulons qu’il annule ce changement provoqué par le déplacement de la virgule vers la gauche. La tâche de notre exposant, pourrait-on dire, est de ramener la virgule là où elle se trouvait auparavant. Pour ce faire, pour déplacer la virgule vers la droite, notre exposant devra grandir.

Maintenant, dans ce cas, comprendre ce que signifie grandir est un peu délicat parce que notre exposant est négatif. Nous devons donc rappeler que 10 à la puissance moins huit est en fait un nombre plus élevé que 10 à la puissance moins neuf. Et si ce fait est surprenant, cela revient au fait que notre exposant est négatif. Nous décalons donc notre décimale de sorte que maintenant notre premier nombre soit compris entre un et 10. Et pour compenser cela, nous ajustons notre exposant à moins huit. Et après avoir fait cela, nous avons maintenant une expression en notation scientifique pour le nombre de volts équivalent à 17 nanovolts.

Prenons un instant pour résumer ce que nous avons appris sur la représentation de grandes valeurs de quantités physiques. En commençant, nous avons vu que lorsque les grands nombres sont écrits en notation décimale, ils prennent beaucoup de place. Et ils sont faciles à écrire de manière inexacte. En notation scientifique, en revanche, les grands nombres sont plus compacts et plus faciles à écrire correctement. Il y a beaucoup moins besoin de gérer un grand nombre de zéros et de nous assurer que nous les avons tous écrit.

Pour écrire un nombre en notation scientifique, nous suivons deux règles. Tout d’abord, le nombre doit commencer par une valeur supérieure ou égale à un et inférieure à 10. Et puis, cette valeur est multipliée par 10 élevée à une puissance entière. En fin de compte, nous obtenons un nombre qui ressemble à ceci, où 𝑎 est notre nombre de départ et 𝑏 est notre puissance entière. Et enfin, dans cette leçon, nous avons vu que les préfixes nous aident à désigner rapidement les grands et les petits nombres à l’oral et à l’écrit.

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