Vidéo question :: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète Mathématiques

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Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs moins deux, moins un, 𝑀 et deux. Sachant que 𝑋 a une distribution de probabilité 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 plus quatre sur 16, déterminez la variance de 𝑋.

La variance d'une variable aléatoire discrète est la mesure de la dispersion avec laquelle les valeurs de la variable diffèrent de l’espérance. Elle se calcule à l'aide de la formule suivante : la variance de 𝑋 est égale à l'espérance de 𝑋 au carré moins l'espérance de 𝑋 le tout au carré. On peut voir cela comme l'espérance des carrés moins le carré de l'espérance.

On trouve l'espérance de 𝑋 en multipliant chaque valeur 𝑥 de l'ensemble image de la variable aléatoire discrète par sa probabilité, notée 𝑓 de 𝑥, et ensuite en calculant la somme de ces valeurs, alors que l'espérance de 𝑋 au carré est calculée en mettant au carré chaque valeur 𝑥, en la multipliant par la probabilité, et ensuite en calculant la somme de ces valeurs.

La distribution de probabilité 𝑓 de 𝑥 nous a été donnée. Elle est égale à 𝑥 plus 4 sur 16. Et il existe quatre valeurs dans l'ensemble image de cette variable aléatoire discrète : moins deux, moins un, la valeur inconnue 𝑀 et deux. Pour pouvoir calculer l'espérance de 𝑋 et l'espérance de 𝑋 au carré, il est nécessaire de déterminer la valeur de cette inconnue 𝑀. Il suffit de se rappeler que la somme de toutes les probabilités d'une distribution de probabilité doit être égale à un. On peut donc trouver les probabilités pour 𝑥 égale moins 2, 𝑥 égale moins 1 et 𝑥 égale 2 ainsi qu'une expression pour la probabilité lorsque 𝑥 égale 𝑀, puis formuler une équation.

En substituant 𝑥 égale moins deux dans la distribution de probabilité d'abord, on trouve 𝑓 de moins deux est moins deux plus quatre sur 16, soit deux sur 16. 𝑓 de moins un est moins un plus quatre sur 16, ce qui donne trois sur 16. 𝑓 de 𝑀 est 𝑀 plus quatre sur 16. Et finalement 𝑓 de deux est deux plus quatre sur 16, soit six sur 16. En faisant la somme de ces quatre valeurs, on obtient l'équation deux sur 16 plus trois sur 16 plus 𝑀 plus quatre sur 16 plus six sur 16 égale un. En additionnant les termes du côté gauche, on obtient 𝑀 plus 15 sur 16 égale à un. On peut alors multiplier chaque côté de cette équation par 16 pour obtenir 𝑀 plus 15 égale 16. En soustrayant ensuite 15 de chaque côté, on trouve que 𝑀 est égale à un. La probabilité 𝑓 de 𝑀 ou 𝑓 de un sera alors égale à cinq sur 16.

On a donc trouvé la valeur de l'inconnue 𝑀. Il nous sera peut-être utile d'écrire maintenant la distribution de probabilité de 𝑋 dans un tableau. Dans la première ligne, nous écrivons les valeurs 𝑥 que peut prendre la variable aléatoire, puis dans la deuxième ligne les probabilités, que nous avons trouvées : deux seizièmes, trois seizièmes, cinq seizièmes et six seizièmes. Afin de calculer l'espérance de 𝑋, nous devons multiplier chaque valeur 𝑥 par sa valeur 𝑓 de 𝑥. Pour cela, on ajoute une autre ligne à notre tableau. Nous obtenons ainsi les valeurs moins quatre seizièmes, moins trois seizièmes, cinq seizièmes et douze seizièmes. Et nous conserverons chacune de ces valeurs avec un dénominateur commun de 16. L'espérance de 𝑋 est donc la somme de ces quatre valeurs, soit dix seizièmes. Et on simplifiera ça à cinq sur huit.

Nous devons ensuite calculer l'espérance de 𝑋 au carré. On ajoute donc une ligne à notre tableau pour trouver les valeurs 𝑥 au carré, qui sont quatre, un, un et quatre. Étant donné qu'il y a des valeurs répétées pour 𝑥 au carré, nous pourrions créer une nouvelle distribution de probabilité pour 𝑥 au carré en combinant les probabilités pour les valeurs 𝑥 qui mènent à chaque valeur répétée de 𝑥 au carré. Cependant, si nous voulons utiliser le même tableau que celui sur lequel nous travaillons déjà, nous n'avons pas besoin de faire cela. Il suffit de créer une nouvelle ligne dans ce tableau, où on multiplie les valeurs 𝑥 au carré par 𝑓 de 𝑥, ce qui donne huit sur 16, trois sur 16, cinq sur 16 et 24 sur 16. L'espérance de 𝑋 au carré correspond à la somme de ces quatre valeurs, soit 40 sur 16. Ce qui se simplifie en cinq sur deux.

Pour calculer la variance de 𝑋, on prend l'espérance de 𝑋 au carré moins le carré de l'espérance de 𝑋. Nous avons donc cinq sur deux moins cinq sur huit au carré. Ça fait cinq sur deux moins 25 sur 64. Si on multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction cinq sur deux par 32, on obtient la fraction équivalente 160 sur 64. En soustrayant 25 sur 64 de cette valeur, on obtient 135 sur 64.

Donc, en déterminant d'abord la valeur de l'inconnue 𝑀, ce qui a été fait en rappelant que la somme de toutes les probabilités dans une distribution de probabilité doit être égale à un, on a trouvé que la variance de cette variable aléatoire discrète 𝑋 est égale à 135 sur 64.