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Vidéo de la leçon: Rapport entre trois nombres Mathematics

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à simplifier et à utiliser le rapport entre trois nombres pour résoudre des problèmes.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à simplifier et à utiliser le rapport entre trois nombres pour résoudre des problèmes. Nous allons commencer par rappeler ce que nous entendons par rapport. Un rapport indique la taille relative de deux ou plusieurs valeurs. Dans cette vidéo, nous examinerons les questions comportant trois valeurs. Les rapports peuvent être montrés de différentes façons, premièrement, en utilisant une colonne pour séparer des valeurs, deuxièmement, en les écrivant sous forme de fractions pour séparer une valeur du total. Toute fraction peut être convertie en un nombre décimal en divisant le numérateur par le dénominateur, dans ce cas, en divisant une valeur par le total. Enfin, on peut convertir un nombre décimal en pourcentage en multipliant le nombre décimal par 100.

Par exemple, imaginons que nous avons un garçon et trois filles. Cela peut s’écrire comme un rapport de un à trois, où le premier nombre représente les garçons et le deuxième nombre les filles. Lorsqu’on parle de rapport, il est important que l’ordre soit correct. Si nous voulions le rapport des filles aux garçons, ce serait trois à un. Comme il y a quatre enfants au total et un garçon, un quart des enfants sont des garçons et trois quarts sont des filles. On peut les convertir en nombre décimal en divisant un par quatre et trois par quatre, ce qui nous donne 0.25 et 0.75. Cela signifie que 25 pour cent des enfants sont des garçons et 75 pour cent sont des filles. La première question que nous allons voir concerne la simplification d’un rapport.

Exprimez le rapport 72 : 54 : 81 sous sa forme la plus simple.

Pour simplifier un rapport, nous devons diviser chacun des nombres par la même valeur. Cela signifie que nous recherchons un diviseur commun de 72, 54 et 81. Bien qu’il soit plus rapide de choisir le plus grand commun diviseur, tout diviseur commun nous permettra de commencer la question. 72, 54 et 81 sont tous dans la table de multiplication de neuf. Par conséquent, ils sont tous divisibles par neuf. 72 divisé par neuf est huit, 54 divisé par neuf est six, et 81 divisé par neuf est neuf. Cela signifie que le rapport simplifié est huit à six à neuf. Ces trois nombres n’ont pas de diviseur commun à part un. Cela signifie que le rapport est dans sa forme la plus simple. Alors que huit et six sont divisibles par deux, neuf ne l’est pas. De même, six et neuf sont divisibles par trois, mais huit ne l’est pas. Le rapport 72 : 54 : 81 exprimé sous sa forme la plus simple est huit : six : neuf.

Notre prochaine question consiste à combiner deux rapports pour trouver le rapport entre trois nombres.

Déterminez le rapport entre les trois nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑐 étant donné que le rapport de 𝑎 à 𝑏 est 10 à un, et que le rapport de 𝑏 à 𝑐 est deux à un.

On nous demande de calculer le rapport entre 𝑎, 𝑏 et 𝑐. On nous dit dans la question que le rapport de 𝑎 à 𝑏 est 10 à un. On nous dit aussi que le rapport de 𝑏 à 𝑐 est deux à un. 𝑏 est présent dans les deux rapports. Nous devons donc utiliser des rapports équivalents pour que la valeur de 𝑏 reste la même. Nous pouvons trouver des rapports équivalents en multipliant toutes nos valeurs par le même nombre. Cela signifie que le rapport 20 à deux est équivalent au rapport 10 à un, car nous avons multiplié les deux valeurs par deux. Le rapport de 𝑎 à 𝑏 peut donc être réécrit comme 20 à deux. Comme la valeur de 𝑏 est maintenant la même, le rapport de 𝑎 à 𝑏 à 𝑐 est 20 : deux : un.

Nos deux prochaines questions sont des problèmes de rapport dans un contexte.

Le rapport entre les hauteurs des trois bâtiments A, B et C est de 10 : quatre : trois. Si la hauteur du bâtiment A est de 60 mètres, alors trouvez les hauteurs du bâtiment B et du bâtiment C.

On nous dit dans la question que le rapport entre les hauteurs est de 10 : quatre : trois. On nous dit aussi que la hauteur du bâtiment A est de 60 mètres. Nous pouvons trouver des rapports équivalents en multipliant chacune de nos valeurs par le même nombre. 10 multiplié par six égale 60. Cela signifie que, pour trouver un rapport équivalent, nous devons également multiplier quatre et trois par six. Quatre multiplié par six est 24, et trois multiplié par six est 18. Cela signifie que le rapport 10 : quatre : trois est équivalent au rapport 60 : 24 : 18. Nous pouvons donc conclure que la hauteur du bâtiment B est de 24 mètres et que la hauteur du bâtiment C est de 18 mètres.

Le nombre total des élèves de la première, deuxième et troisième année dans une école primaire est de 285 dans le rapport sept : quatre : huit. Calculez le nombre d’élèves dans chaque classe.

Nous pouvons partager un total, dans ce cas, 285 élèves, dans un rapport donné en suivant trois étapes. Tout d’abord, nous trouvons la somme des rapports. Sept plus quatre plus huit égale 19. Notre deuxième étape consiste à diviser le total par cette réponse. 285 divisé par 19 égale 15. Cela équivaut à une partie du rapport.

Notre dernière étape consiste à multiplier la valeur d’une partie par chacun des rapports. 15 fois sept est 105. 15 fois quatre égale 60. 15 fois huit égale 120. Comme le sept correspond au nombre des élèves de la première année, alors il y a 105 élèves en première année, 60 élèves en deuxième année et 120 élèves en troisième année. Il est toujours utile de vérifier nos réponses en additionnant les valeurs pour s’assurer que cela fait le total. 105 plus 60 plus 120 est égal à 285. Cette méthode permet de partager un total entre n’importe quel nombre de rapports.

Les deux dernières questions que nous allons voir sont des problèmes plus compliqués impliquant de l’algèbre.

Si 10𝑥 est égal à 11𝑦 qui est égal à 12𝑧, alors trouvez le rapport de 𝑥 à 𝑦 à 𝑧.

Il existe plusieurs façons de résoudre ce problème. L’une d’elles consiste à trouver d’abord des valeurs qui résolvent différentes parties de l’équation. Commençons par considérer que 10𝑥 égale 11𝑦. En substituant dans les valeurs 𝑥 égale 11 et 𝑦 égale 10, cela signifierait que cette équation est vraie. 10 multiplié par 11 et 11 multiplié par 10 égalent tous deux 110. Cela signifie que le rapport de 𝑥 à 𝑦 pourrait s’écrire 11 à 10. Considérons maintenant le fait que 10𝑥 est aussi égal à 12𝑧. Dans cette équation, 𝑥 égale 12 et 𝑧 égale 10 est une solution. 10 multiplié par 12 et 12 multiplié par 10 égalent tous deux 120. Cela signifie que le rapport entre 𝑥 et 𝑧 est de 12 à 10.

Nous avons maintenant deux rapports, un rapport de 𝑥 à 𝑦 et un rapport de 𝑥 à 𝑧. Afin de combiner ces rapports, nous devons utiliser des rapports équivalents pour nous assurer que la valeur de 𝑥 est la même. Le plus petit multiple commun de 11 et 12 est 132. Nous pouvons donc multiplier le rapport du haut par 12 et le rapport du bas par 11. Le rapport 11 à 10 est équivalent au rapport 132 à 120. De même, le rapport 𝑥 à 𝑧 de 12 à 10 est équivalent à 132 à 110. Comme notre valeur de 𝑥 est la même, nous pouvons maintenant combiner les rapports. Le rapport de 𝑥 à 𝑦 à 𝑧 est 132 : 120 : 110.

Ce rapport peut être simplifié car toutes nos valeurs sont égales et sont donc divisibles par deux. 132 divisé par deux égale 66. 120 divisé par deux égale 60. Et 110 divisé par deux égale 55. Le rapport de 𝑥 à 𝑦 à 𝑧 dans sa forme la plus simple est 66 : 60 : 55, car ces trois nombres n’ont pas de diviseur commun à part un.

Si le rapport entre 𝑥, 𝑦 et 𝑧 est trois : quatre : huit, alors quelle est la valeur de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré divisé par 𝑦 fois 𝑥 plus 𝑧 ?

Nous pouvons voir à partir du rapport que notre valeur de 𝑥 est égale à trois, notre valeur de 𝑦 est égale à quatre et notre valeur de 𝑧 est égale à huit. Nous pouvons substituer ces valeurs directement dans notre expression. Trois au carré est neuf, quatre au carré est 16 et huit au carré est 64. Le numérateur est donc simplifié à neuf plus 16 plus 64. Nous pouvons simplifier le dénominateur en utilisant l’ordre d’opérations connu sous le nom de PEMDAS. Nous faisons d’abord les parenthèses, ce qui nous laisse quatre fois 11. Neuf plus 16 plus 64 égale 89. Quatre fois 11 égale 44.

La valeur de l’expression 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré divisé par 𝑦 fois 𝑥 plus 𝑧 est égale à 89 sur 44. Cette fraction ne peut pas être simplifiée car 89 et 44 n’ont pas de diviseur commun à part un.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons rappelé au début de la vidéo qu’un rapport montre les tailles relatives de deux ou plusieurs valeurs. Dans cette vidéo, nous avons vu des problèmes impliquant trois valeurs, où les rapports étaient écrits sous la forme 𝑥 à 𝑦 à 𝑧. Les questions auxquelles nous avons répondu comprenaient la simplification des rapports, la division d’une quantité à l’aide d’un rapport et les problèmes algébriques. Parmi les sujets importants qui nous aident à résoudre les problèmes impliquant des rapports, on trouve les diviseurs, les multiples et l’arithmétique de base.

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