Vidéo : Intégration par parties

Dans cette vidéo, nous apprendrons à utiliser l’intégration par parties pour trouver l’intégrale d’un produit de fonctions.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser l’intégration par parties pour trouver l’intégrale d’un produit de fonctions. En raison du théorème fondamental de l’analyse, nous pouvons intégrer une fonction si nous connaissons sa primitive. Et à ce stade, vous devriez avoir confiance en l’évaluation de l’intégrale des fonctions polynomiales ainsi que des fonctions trigonométriques et exponentielles. Il n’est pas entièrement nécessaire d’avoir confiance dans l’application de l’intégration par changement de variable pour accéder à cette vidéo. Mais ce serait bénéfique.

Chaque règle de dérivation a une règle d’intégration correspondante. Par exemple, l’intégration par changement de variable est la règle qui correspond à la règle de chaîne pour la dérivation. Nous allons maintenant examiner l’intégration par parties. Cette règle d’intégration correspond à la règle de produit de dérivation. La règle du produit stipule que, pour deux fonctions dérivables 𝑓 et 𝑔, la dérivée de leur produit est 𝑓 fois 𝑔 prime plus 𝑔 fois 𝑓 prime. Autrement dit, 𝑓 fois la dérivée de 𝑔 plus 𝑔 fois la dérivée de 𝑓. En intégrant les deux côtés de cette équation, nous obtenons 𝑓 fois 𝑔 égal à l’intégrale de 𝑓 fois 𝑔 prime plus 𝑓 prime fois 𝑔, évaluée par rapport à 𝑥.

Nous savons maintenant que l’intégrale de la somme de deux fonctions est égale à la somme de l’intégrale de chaque fonction. Et nous pouvons réécrire 𝑓 fois 𝑔 comme indiqué. Nous réorganisons. Et nous obtenons la formule d’intégration par parties. On voit que l’intégrale indéfinie de 𝑓 fois 𝑔 prime est égale à 𝑓 fois 𝑔 moins l’intégrale indéfinie de 𝑓 prime fois 𝑔, évaluée par rapport à 𝑥. Ceci est parfois écrit alternativement en utilisant les fonctions 𝑢 et 𝑣 et la notation de Leibniz. Telle que l’intégrale de 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 évaluée par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢𝑣 moins l’intégrale de 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 évaluée par rapport à 𝑥. Nous commencerons par considérer un exemple assez simple d’application de cette formule.

Utilisez l’intégration par parties pour évaluer l’intégrale de 𝑥 fois sin 𝑥 par rapport à 𝑥.

La fonction que nous cherchons à intégrer est le produit de deux fonctions. C’est 𝑥 et le sin 𝑥. Cela indique que nous pourrions avoir besoin d’utiliser l’intégration par parties pour évaluer notre intégrale. Rappelez-vous que la formule ici dit que l’intégrale de 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 est égale à 𝑢𝑣 moins l’intégrale de 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Si nous comparons cette formule à notre intégrale, nous voyons que nous allons devoir décider quelle fonction est 𝑢. Et quelle fonction est d𝑣 sur d𝑥. Alors, comment décidons-nous cela ? Eh bien, notre objectif va être de faire en sorte que la deuxième intégrale que nous obtenons ici soit un peu plus simple. Nous voulons donc que 𝑢 soit une fonction qui soit devient plus simple lorsqu’elle est dérivée, soit aide à simplifier l’intégrande lorsqu’elle est multipliée par la fonction 𝑣. Il devrait être bien clair que, sur 𝑥 et sin 𝑥, la fonction qui devient plus simple une fois dérivée est 𝑥. On laisse donc 𝑢 égal à 𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 égal à sin 𝑥. La dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 est un. Et que faisons-nous de d𝑣 sur d𝑥 ? Eh bien, nous allons devoir trouver 𝑣. Nous trouvons donc la primitive du sin de 𝑥, qui est bien sûr le cos moins 𝑥.

Remplaçons ce que nous avons dans notre formule. Nous voyons que notre intégrale est égale à 𝑥 fois cos moins 𝑥 moins l’intégrale de cos moins 𝑥 fois un d𝑥. Cela se simplifie en moins 𝑥 cos de 𝑥. Et puis nous prenons le facteur négatif en dehors de notre intégrale. Et nous voyons que nous ajoutons l’intégrale de cos de 𝑥 évaluée par rapport à 𝑥. La primitive de cos de 𝑥 est le sin de 𝑥. Et bien sûr, comme il s’agit d’une intégrale indéfinie, il faut ajouter cette constante d’intégration 𝑐. Et nous voyons que la solution est moins 𝑥 cos de 𝑥 plus sin de 𝑥 plus 𝑐. Maintenant, il est utile de se rappeler que nous pouvons vérifier notre réponse en dérivant. Si nous le faisons, nous obtenons en effet 𝑥 fois sin 𝑥 comme requis.

Nous allons maintenant examiner un exemple courant. C’est l’intégrale du logarithme naturel de 𝑥.

Intégrer le logarithme naturel de 𝑥 d𝑥 par parties en utilisant 𝑢 est égal au logarithme naturel de 𝑥 et d𝑣 est égal à d𝑥.

Eh bien, c’est super. On nous a dit d’utiliser l’intégration par parties. Et on nous a également dit de poser 𝑢 égal au logarithme naturel de 𝑥 et d𝑣 égal à d𝑥. Nous rappelons donc la formule d’intégration par parties. L’intégrale de 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 est égale à 𝑢𝑣 moins l’intégrale de 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Maintenant, nous pouvons réécrire d𝑣 est égal à d𝑥 légèrement. Et nous pouvons dire que si d𝑣 est égal à d𝑥, alors d𝑣 sur d𝑥 doit être égal à un. Notre travail va être de trouver les parties manquantes de la formule. d𝑢 sur d𝑥 est assez simple. La dérivée du logarithme naturel de 𝑥 est un sur 𝑥. Et si nous intégrons les deux côtés de l’équation d𝑣 est égal à d𝑥, nous obtenons 𝑣 comme étant égal à 𝑥. En substituant tout dans la formule, on obtient 𝑥 fois le logarithme naturel de 𝑥 moins l’intégrale de 𝑥 fois un sur 𝑥 d𝑥.

Eh bien, cette intégrale simplifie vraiment bien. Nous allons en fait en intégrer un par rapport à 𝑥. L’intégrale de l’un est, bien sûr, simplement 𝑥. Et bien sûr, comme il s’agit d’une intégrale indéfinie, nous devons nous rappeler d’ajouter cette constante d’intégration 𝑐. On obtient donc l’intégrale du logarithme naturel de 𝑥 d𝑥 comme étant 𝑥 fois le logarithme naturel de 𝑥 moins 𝑥 plus 𝑐. Et l’intégration par parties était vraiment efficace pour intégrer le logarithme naturel de 𝑥. Parce que la dérivée du logarithme naturel de 𝑥 est beaucoup plus simple que la fonction d’origine du logarithme naturel de 𝑥.

Dans notre exemple suivant, nous allons examiner comment l’intégration par parties peut être utilisée pour trouver l’intégrale d’un quotient.

Déterminer l’intégrale indéfinie de deux 𝑒 à la puissance 𝑥 fois 𝑥 plus de trois fois 𝑥 plus une tout au carré, évaluée par rapport à 𝑥.

Il n’est peut-être pas immédiatement évident comment nous allons évaluer cela. Cependant, nous ne pouvons faire aucun changement de variable claire. Et ce n’est certainement pas quelque chose que nous pouvons évaluer dans nos têtes. Cela nous indique donc que nous pourrions avoir besoin d’utiliser l’intégration par parties. Rappelez-vous, cela dit que l’intégrale de 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 est égale à 𝑢𝑣 moins l’intégrale de 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Maintenant, si nous comparons cette formule à notre intégrale, nous voyons que nous devons décider quelle fonction est 𝑢. Et quelle fonction est d𝑣 sur d𝑥. Alors, comment décidons-nous cela ? Eh bien, notre objectif est de nous assurer que la deuxième intégrale que nous obtenons ici est un peu plus simple. Nous voulons donc que 𝑢 soit une fonction qui soit devient plus simple lorsqu’elle est dérivée, soit nous aide à simplifier l’intégrande lorsqu’elle est multipliée par ce 𝑣. Maintenant, il est extrêmement évident que nous devrions choisir 𝑢. Donc, un petit essai et erreur pourrait être de mise.

Réécrivons notre intégrande en deux tiers 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑥 fois un sur 𝑥 plus un carré. Et en fait, prenons le facteur constant des deux tiers en dehors de l’intégrale. Essayons 𝑢 est égal à 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 comme étant un sur 𝑥 plus un tout au carré, que j’ai écrit comme 𝑥 plus un à la puissance moins deux. Pour trouver d𝑢 sur d𝑥, nous allons devoir utiliser la règle du produit. Si nous le faisons, nous voyons que d𝑢 sur d𝑥 est égal à 𝑥 fois la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 plus 𝑒 à la puissance 𝑥 fois la dérivée de 𝑥. Eh bien, la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 est 𝑒 à la puissance 𝑥. Et la dérivée de 𝑥 est un. Nous avons donc obtenu que d𝑢 sur d𝑥 soit égal à 𝑥𝑒 à la puissance 𝑥 plus 𝑒 à la puissance 𝑥. Nous pouvons utiliser l’inverse de la règle de la chaîne pour déterminer la primitive de 𝑥 plus un à la puissance moins deux. C’est moins 𝑥 plus un à la puissance moins un. On réécrit 𝑥 plus un à la puissance moins un comme un sur 𝑥 plus un. Et nous pouvons remplacer tout ce que nous avons dans notre formule pour l’intégration par parties.

Maintenant, ici, cette prochaine étape est importante. Nous factorisons par 𝑒 la puissance de 𝑥. Et puis nous pouvons voir que nous pouvons diviser par 𝑥 plus un. Et notre deuxième intégrale devient moins 𝑒 de 𝑥. Nous supprimons ce facteur moins un. Et nous savons que l’intégrale de 𝑒 de la puissance de 𝑥 est simplement 𝑒 à la puissance 𝑥. Et donc nous avons les deux tiers de 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑥 sur moins 𝑥 plus un plus 𝑒 à la puissance 𝑥 plus 𝑐. Nous réécrivons légèrement cette première fraction puis multiplions le numérateur et le dénominateur de 𝑒 à la puissance 𝑥 par 𝑥 plus un. Afin que nous puissions ajouter ces fractions. Et nous voyons que la somme de ces fractions est moins 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑥 plus 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑥, qui est zéro, plus 𝑒 à la puissance 𝑥 sur 𝑥 plus un.

Notre dernière étape consiste à distribuer les parenthèses. Et nous obtenons deux 𝑒 à la puissance 𝑥 plus de trois fois 𝑥 plus un. Et j’ai changé notre constante d’intégration en capital 𝐶. Depuis notre constante d’intégration d’origine a été multipliée par les deux tiers.

Maintenant, dans cet exemple, il était un peu difficile à comprendre ce que nous avions besoin 𝑢 d’être. Mais il y a un petit truc qui peut nous aider à identifier comment choisir la fonction pour 𝑢. Ce sont les lettres L-I-A-T-E ou LIATE. Essentiellement, vous définissez 𝑢 sur le premier terme que vous voyez dans la liste. L est le logarithme. I est trig inverse. A signifie algébrique. T signifie trigonométrique. Et enfin, vous recherchez une fonction exponentielle. Maintenant, cette règle ne couvre pas tout. Aucune règle ne le peut. Mais cela fonctionne remarquablement bien et peut être un bon point de départ. Dans notre exemple suivant, nous verrons comment l’intégration par parties peut parfois être requise deux fois.

Évaluez l’intégrale définie entre les limites de zéro et l’un des 𝑥 au carré fois 𝑒 à la puissance 𝑥 d𝑥.

Dans cet exemple, nous avons le produit de deux fonctions. C’est un indice que nous pourrions avoir besoin d’utiliser l’intégration par parties. Cela signifie que l’intégrale de 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 est égale à 𝑢𝑣 moins l’intégrale de 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Alors, comment décidons-nous de ce que nous allons laisser 𝑢 égal ? Eh bien, rappelez-vous, nous voulons nous assurer que cette seconde intégrale ici est un peu plus simple. Par conséquent, nous allons vouloir que 𝑢 soit une fonction qui devient plus simple lorsqu’elle est dérivée ou aide à simplifier l’intégrande lorsqu’elle est multipliée par ce 𝑣. Cela n’a aucun sens pour nous de laisser 𝑢 égal à 𝑒 à la puissance 𝑥. Puisque la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 est juste 𝑒 à la puissance 𝑥. Donc, à la place, nous allons laisser 𝑢 égal à 𝑥 au carré. Et d𝑣 sur d𝑥 est donc 𝑒 à la puissance 𝑥. d𝑢 sur d𝑥 est alors deux 𝑥. Et la primitive de 𝑒 à la puissance 𝑥 est 𝑒 à la puissance 𝑥. Donc 𝑣 est 𝑒 à la puissance 𝑥. Et nous obtenons l’intégrale égale à 𝑥 au carré 𝑒 à la puissance 𝑥 moins l’intégrale de deux 𝑥𝑒 à la puissance 𝑥.

Maintenant, remarquez, j’ai utilisé ce genre de demi-support drôle ici. C’est juste une façon de nous rappeler que nous avons affaire à une intégrale définie. Et nous allons devoir en évaluer les deux parties entre les limites de zéro et de un. Mais comment évaluer l’intégrale de deux 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑥 ? Eh bien, nous allons devoir utiliser à nouveau l’intégration par parties. Pour à peu près la même raison, nous choisissons à nouveau d𝑣 sur d𝑥 pour être égal à 𝑒 à la puissance 𝑥. Et alors 𝑢 est égal à deux 𝑥. On voit donc que d𝑢 sur d𝑥 est égal à deux. Et 𝑣 est égal à 𝑒 à la puissance 𝑥.

Évaluons donc rapidement l’intégrale de deux 𝑥𝑒 à la puissance 𝑥. C’est deux 𝑥𝑒 à la puissance 𝑥 moins l’intégrale de deux fois 𝑒 à la puissance 𝑥. Eh bien, l’intégrale de deux 𝑒 à la puissance 𝑥 n’est que de deux 𝑒 à la puissance 𝑥. Et j’ai mis plus 𝑐 entre crochets parce que l’intégrale que nous venons de faire est une intégrale indéfinie. Mais en fait, celui que nous allons vraiment faire se situe entre les limites de zéro et de un. Remplacement de l’intégrale de deux 𝑥𝑒 à la puissance 𝑥 par deux 𝑥𝑒 à la puissance 𝑥 moins deux 𝑒 de 𝑥. Et nous obtenons l’intégrale de 𝑥 au carré 𝑒 à la puissance 𝑥 pour être égale à 𝑥 au carré 𝑒 à la puissance 𝑥 moins deux 𝑥𝑒 à la puissance 𝑥 plus deux 𝑒 à la puissance 𝑥.

Maintenant, nous allons devoir évaluer cela entre les limites de zéro et un. Substituer zéro et un et trouver leur différence. Et nous avons 𝑒 à la puissance un moins deux 𝑒 à la puissance un plus deux 𝑒 à la puissance un. Tout cela disparaît et moins deux. Et nous avons terminé. L’intégrale évaluée entre zéro et un de 𝑥 au carré 𝑒 à la puissance 𝑥 est 𝑒 moins deux.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment l’intégration par parties peut nous aider à évaluer l’intégrale d’une fonction trigonométrique inverse.

Calculez l’intégrale définie évaluée entre zéro et l’un des tan inverse de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Lors de l’intégration de fonctions trigonométriques inverses, nous préférons utiliser l’intégration par parties. Et la formule pour cela est comme indiqué. Et nous allons faire quelque chose d’un peu étrange. Nous allons réécrire notre intégrale comme une fois la fonction trigonométrique inverse. C’est un fois le tan inverse de 𝑥. On laisse alors 𝑢 égal au tan inverse de 𝑥. Rappelez-vous, nous savons comment en trouver la dérivée. Et on laisse d𝑣 sur d𝑥 égal à un. La dérivée de la fonction tangente inverse est un sur un plus 𝑥 au carré. C’est donc d𝑢 sur d𝑥. Et la primitive de un est simplement 𝑥. Donc 𝑣 est égal à 𝑥. Génial ! Remplacer tout ce que nous avons dans la formule d’intégration par changement de variable. Et nous voyons que l’intégrale du tan inverse de 𝑥 est 𝑥 fois le tan inverse de 𝑥 moins l’intégrale de 𝑥 sur un plus 𝑥 au carré.

Maintenant, nous allons devoir utiliser l’intégration par changement de variable ici pour évaluer l’intégrale de 𝑥 sur un plus 𝑥 au carré. Maintenant, généralement, lors de l’intégration par changement de variable, nous introduisons une nouvelle variable 𝑢. 𝑢 a déjà un sens dans cet exemple, cependant. Nous allons donc laisser 𝑡 égal à un plus 𝑥 au carré, ce qui signifie que d𝑡 sur d𝑥 est égal à deux 𝑥. Or, d𝑡 sur d𝑥 n’est bien sûr pas une fraction. Mais nous le traitons un peu comme lorsque nous travaillons avec l’intégration par changement de variable. Et nous voyons que nous pouvons dire de manière équivalente qu’un demi d𝑡 est égal à 𝑥 d𝑥. Donc en fait, nous allons calculer l’intégrale de un sur deux 𝑡 ou prendre le facteur constant un demi en dehors de l’intégrale. Nous pouvons donc simplement intégrer un sur 𝑡. Mais nous allons devoir faire quelque chose avec ces limites. Nous allons utiliser le changement de variable 𝑡 est égal à un plus 𝑥 au carré. Et la première limite, qui nous intéresse, en est une. Nous substituons donc 𝑥 est égal à un. Et nous obtenons un plus un carré, ce qui fait deux.

Ici-bas, nous substituons 𝑥 est égal à zéro. C’est un plus zéro carré, ce qui est égal à un. Nous allons donc évaluer l’intégrale d’un sur 𝑡 entre les limites de un et deux. L’intégrale d’un sur 𝑡 est simplement le logarithme naturel de 𝑡. Nous pouvons donc évaluer le logarithme naturel de 𝑡 entre les limites de un et deux en les substituant et en trouvant leur différence. C’est le logarithme naturel de deux moins le logarithme naturel d’un. Et comme le logarithme naturel de un est nul, nous avons trouvé que cette intégrale était égale à un demi du logarithme naturel de deux. Nous pouvons remettre cela dans notre intégrale d’origine. Et nous voyons que nous allons devoir évaluer 𝑥 fois le tan inverse de 𝑥 entre les limites de zéro et de un. Eh bien, c’est un fois le tan inverse d’un moins zéro, ce qui est égal à 𝜋 sur quatre. Et nous avons terminé. L’intégrale du tan inverse de 𝑥 entre les limites de zéro et de un est 𝜋 de quatre moins le logarithme naturel de deux sur deux.

Dans cette vidéo, nous avons vu que l’intégration par parties est la règle correspondante pour l’intégration à la règle du produit pour la dérivation. Nous avons vu qu’en utilisant la notation de Leibniz, la formule est l’intégrale de 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 égale 𝑢𝑣 moins l’intégrale de 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous avons vu que, généralement, nous choisissons notre fonction 𝑢, dans le but de nous assurer que la seconde intégrale que nous obtenons est un peu plus simple. Mais nous avons également vu que l’acronyme LIATE peut nous aider à décider quelle fonction va être 𝑢. Nous avons finalement vu que nous pouvons utiliser cela pour évaluer les intégrales du produit des fonctions, des quotients et des fonctions réciproques. Et parfois, il peut être appliqué plus d’une fois.

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