Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble solution de 97 sinus 𝜃 plus 60 cosinius 𝜃 est égal à zéro, où 𝜃 est strictement supérieur à zéro et strictement inférieur à 360 degrés. Arrondissez les résultats à la seconde d’arc près.
Ici, nous avons une équation trigonométrique. Seulement, nous avons un petit problème. Il est assez difficile de résoudre des équations trigonométriques lorsque nous avons différentes fonctions trigonométriques. Au lieu de cela, nous remarquons que nous avons une expression avec à la fois sinus 𝜃 et cosinus 𝜃. Or, nous savons qu’il existe une identité qui les relie. En effet, tangente 𝜃 est égal à sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃. Nous allons donc réorganiser l’équation pour trouver l’expression sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃.
Commençons par soustraire 60 cosinus 𝜃 des deux côtés. Lorsque nous le faisons, nous obtenons 97 sinus 𝜃 est égal à moins 60 cosinus 𝜃. Ensuite, nous devrions voir que si nous divisons par cosinus 𝜃 sur le côté gauche, nous allons diviser un multiple de sinus 𝜃 par cosinus 𝜃. Il s’agit de la forme que nous voulons. Ainsi, en divisant par cosinus 𝜃, nous obtenons 97 sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃 est égal à moins 60. Maintenant, nous voulons juste sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃 plutôt qu’un multiple de cela. Ainsi, nous allons ensuite diviser par 97. Cela nous donne sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃 est égal à moins 60 sur 97 ou, en utilisant notre identité, tangente 𝜃 est égal à moins 60 sur 97.
Alors, comment pouvons-nous résoudre cette équation ? Bien, nous devons effectuer l’opération inverse. C’est-à-dire que nous allons prendre la tangente réciproque de moins 60 sur 97. Lorsque nous le faisons, nous constatons que l’une de nos solutions est 𝜃 est égal à moins 31,739 etc degrés. Le problème que nous avons ici est que notre valeur de 𝜃 est en dehors de l’intervalle 𝜃 est supérieure à zéro et inférieure à 360. Nous avons quelques options ici. Commençons par considérer la forme du graphique qui représente la fonction 𝑦 égale tangente de 𝑥. Le graphique ressemble à ceci. Nous avons ces asymptotes verticales à 90 degrés, puis tous les 180 degrés de chaque côté.
Ajoutons la droite 𝑦 est égal à moins 60 sur 97 puisque nous résolvons l’équation tangente 𝜃 est égal à cette valeur. La première solution que nous avons obtenue est moins 31,7. Il s’agit de cette solution ici. Seulement, si nous regardons attentivement, nous remarquons qu’il existe d’autres solutions le long de la courbe. Il y en a une entre 90 et 180 et une autre entre 270 et 360. En fait, puisque la fonction tangente est périodique, c’est-à-dire qu’elle se répète tous les 180 degrés, nos solutions se répètent tous les 180 degrés. Nous pouvons dire que pour toute valeur de 𝜃, tangente de 𝜃 aura la même valeur que tangente de 𝜃 plus 180 degrés. Ainsi, une valeur de 𝜃 qui sera dans l’intervalle que nous recherchons sera moins 31,7 plus 180, soit 148,26 degrés.
Remarquez que je n’ai pas arrondi. En effet, on nous demande de donner nos réponses à la seconde près. Nous pourrions utiliser le bouton de la calculatrice qui représente les degrés, les minutes et les secondes. Autrement, nous prenons la partie décimale et nous la multiplions par 60. Cela nous donne 15,65 etc. Cela nous indique le nombre de minutes. Nous avons 15 minutes. Si nous reprenons la partie décimale et que nous la multiplions par 60, cela nous indique le nombre de secondes. 0,65 fois 60 est 39,09 etc. Ceci, en secondes. Ainsi, à la seconde près, l’une de nos solutions pour 𝜃 est de 148 degrés, 15 minutes et 39 secondes.
Qu’en est-il de l’autre solution? Bien, nous allons ajouter 180 à nouveau. Cela nous donne notre deuxième solution dans l’intervalle 𝜃 égale 328,26 ou 328 degrés, 15 minutes et 39 secondes. Si nous devions ajouter 180 degrés supplémentaires, nous trouverions une valeur de 𝜃 qui est en dehors de l’intervalle. Ainsi, nous avons terminé. Nous pouvons utiliser ces accolades pour représenter l’ensemble. L’ensemble des valeurs satisfaisant notre équation dans l’intervalle donné est présenté.