Transcription de la vidéo
Soit 𝑋 la variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs zéro, deux, quatre et six. Sachant que la probabilité que 𝑋 soit égale à zéro est un septième, la probabilité que 𝑋 soit égale à deux est deux septièmes et la probabilité que 𝑋 soit égale à quatre est deux septièmes, déterminez l’écart-type de 𝑋 en donnant votre réponse au centième près.
On nous dit que cette variable aléatoire discrète peut prendre les valeurs zéro, deux, quatre et six. Cependant, on nous a seulement donné les probabilités de trois de celles-ci. Pour pouvoir calculer l'écart type, nous devons trouver la probabilité que 𝑋 soit égale à six. Cela est possible car la somme de toutes les valeurs d'une distribution de probabilité 𝑓 de 𝑥 doit être égale à un. Donc, un septième plus deux septièmes plus deux septièmes plus la probabilité que 𝑋 soit égale à six est égale à un. Ce qui se simplifie en cinq-septièmes plus la probabilité que 𝑋 soit égale à six égale un. On peut ensuite soustraire cinq septièmes de chaque côté pour trouver que la probabilité que 𝑋 soit égale à six est égale à deux septièmes.
Il nous sera peut-être utile d'exprimer cette distribution de probabilité sous forme de tableau, avec les valeurs de l'ensemble image de la variable aléatoire discrète sur la première ligne et les probabilités associées sur la deuxième ligne. On peut donc représenter la distribution de probabilité de 𝑋 comme indiqué. Il nous est demandé de trouver l'écart-type de 𝑋, qui est une mesure de la dispersion de sa distribution de probabilité. Pour désigner l'écart-type, on utilise la lettre grecque 𝜎, ou parfois 𝜎 indice 𝑋. Celui-ci est égal à la racine carrée de la variance.
On peut calculer la variance d'une variable aléatoire discrète 𝑋 en utilisant la formule indiquée. Elle correspond à l'espérance de 𝑋 au carré moins le carré de l'espérance de 𝑋. La différence de notation est vraiment importante ici. Dans le deuxième terme, on trouve l'espérance de 𝑋, puis on la met au carré, alors que dans le premier terme, on met d'abord au carré les valeurs de 𝑋, puis on trouve leur espérance. Vu qu'il y a beaucoup de travail à faire ici, nous allons le décomposer en plusieurs étapes. Nous allons commencer par calculer l'espérance de 𝑋. Il s'agit de la somme de chaque valeur de 𝑋 dans la distribution de probabilité multipliée par la probabilité associée. On peut ajouter une ligne à notre tableau pour calculer ces valeurs.
D'abord, nous avons zéro fois un septième, donne zéro ; puis deux fois deux septièmes, donne quatre septièmes ; quatre fois deux septièmes, donne huit septièmes ; et enfin six fois deux septièmes, donne douze septièmes. L'espérance de 𝑋 est donc la somme de ces quatre valeurs, soit 24 sur sept. Nous devons ensuite calculer l'espérance de 𝑋 au carré. La formule de cela est la somme de chaque valeur de 𝑋 au carré multipliée par sa probabilité correspondante. Les probabilités de 𝑋 au carré découlent directement de la distribution de probabilité de 𝑋.
On peut ajouter une autre ligne à notre tableau pour les valeurs de 𝑋 au carré, qui sont zéro, quatre, 16 et 36. Puis, on ajoutera une autre ligne dans laquelle on multipliera ces valeurs par les probabilités. Zéro fois un septième est zéro. Quatre fois deux-septièmes est huit-septièmes. 16 fois deux-septièmes est trente-deux septièmes. Et enfin, 36 fois deux septièmes est soixante-douze septièmes. L'espérance de 𝑋 au carré est la somme de ces quatre valeurs, soit 112 sur sept.
Après avoir calculé l'espérance de 𝑋 et celle de 𝑋 au carré, nous sommes en mesure de calculer la variance de 𝑋. Celle-ci est égale à 112 sur sept pour l'espérance de 𝑋 au carré moins 24 sur sept au carré pour l'espérance de 𝑋 au carré. Ce qui donne 208 sur 49. Pour calculer l'écart-type, il faut enfin prendre la racine carrée de cette valeur. 𝜎 est donc la racine carrée de 208 sur 49, ce qui correspond, sous forme simplifiée, à quatre fois la racine carrée de 13 sur 7. On peut ainsi obtenir une valeur décimale, qui est de 2,0603 et ainsi de suite.
Il est précisé dans la question que nous devons donner notre réponse au centième près. On arrondit donc à 2,06. L'écart-type de 𝑋 au centième près est 2,06, ce qui veut dire qu'en moyenne, les observations de cette variable aléatoire discrète 𝑋 s'éloignent de 2,06 unités de leur moyenne.