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Vidéo question :: Déterminer la dérivée d’une fonction racine à l’aide de la définition des dérivées par les limites Mathématiques • Deuxième année secondaire

On pose 𝑓 (𝑥) = −6√𝑥 - 6. Déterminez 𝑓′ (𝑥) à partir de la definition d’une dérivée.

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Transcription de la vidéo

On pose 𝑓 de 𝑥 égale moins six fois la racine carrée de 𝑥 moins six. Déterminez la dérivée 𝑓 prime de 𝑥 à partir de la definition d’une dérivée.

Ce 𝑓 apostrophe de 𝑥 ou 𝑓 prime de 𝑥, appelée ainsi car l’élément qui ressemble à une apostrophe à côté de 𝑓 est appelée prime, est la dérivée de 𝑓 de 𝑥. Dans cette question, nous devons utiliser la définition de la dérivée. Ecrivons cette définition.

Par définition, la dérivée de 𝑓 de 𝑥, 𝑓 prime de 𝑥, est la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 le tout sur ℎ. Essayons d’appliquer cette définition à notre fonction. Qu’est-ce que 𝑓 de 𝑥 plus ℎ ? Bien, 𝑓 de 𝑥 est moins six fois la racine carrée de 𝑥 moins six.

Ainsi, en remplaçant 𝑥 par 𝑥 plus ℎ, nous voyons que 𝑓 de 𝑥 plus ℎ est moins six fois la racine carrée de 𝑥 plus ℎ moins six. De cela, nous soustrayons 𝑓 de 𝑥. Enfin, nous divisons par ℎ.

Voyons si nous pouvons simplifier le numérateur. Nous pouvons nous débarrasser de ces parenthèses, qui ne servent à rien. Nous pouvons distribuer le signe moins situé en dehors du deuxième ensemble de parenthèses sur les termes à l’intérieur. Moins moins six racine carrée de 𝑥 devient plus six racine carrée de 𝑥. De même, moins moins six devient plus six.

Nous pouvons alors annuler quelques termes. Nous pouvons également voir un facteur commun aux deux termes restants, que nous pouvons factoriser. Nous en avons également profité pour échanger les deux termes du numérateur. Enfin, nous pouvons mettre le multiple constant de six en dehors de la limite. Cela peut être justifié en utilisant l’une de nos lois sur les limites.

Après avoir effectué toutes ces manipulations algébriques, nous avons simplifié la limite que nous devons trouver. Faisons de la place et continuons. Bien, maintenant que nous avons simplifié autant que possible, comment pouvons-nous évaluer cette limite ? La première chose à noter est que la substitution directe de ℎ égale zéro nous donnera la forme indéterminée zéro sur zéro.

Nous aimerions en quelque sorte supprimer un facteur commun de ℎ au numérateur et au dénominateur afin que lorsque nous réalisons la substituion, cela ne se produise pas. L’astuce consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de notre numérateur.

Vous obtenez le conjugué d’une expression à deux termes en inversant le signe du deuxième terme. Ainsi, le conjugué de 𝑎 plus 𝑏 est 𝑎 moins 𝑏. De même, le conjugué de 𝑎 moins 𝑏 est 𝑎 plus 𝑏. Nous multiplions donc notre fraction par la racine carrée 𝑥 plus la racine carrée 𝑥 plus ℎ.

Nous pouvons simplifier le numérateur de notre fraction en utilisant la double distributivité. Ce faisant, nous remarquons que les deux termes croisés du milieu s’annulent et que les deux autres termes peuvent se simplifier. La racine carrée de 𝑥 au carré vaut 𝑥. La racine carrée de 𝑥 plus ℎ au carré vaut 𝑥 plus ℎ. Nous ne pouvons rien faire de mieux avec le dénominateur. Nous le laissons donc ainsi.

Arrangeons le numérateur et voyons ce qu’il nous reste. Le numérateur est simplement 𝑥 moins 𝑥 plus ℎ. En distribuant le signe moins sur les parenthèses, nous obtenons 𝑥 moins 𝑥 moins ℎ. Les termes zn 𝑥 s’annulent. Ainsi, le numérateur est simplement moins ℎ.

Nous avons réussi à obtenir un facteur commun de ℎ au numérateur et au dénominateur, que nous pouvons maintenant annuler. En annulant ce facteur commun de ℎ, nous voyons que nous pouvons maintenant substituer directement ℎ est égal à zéro. En faisant cela et en prenant soin de noter que le numérateur est maintenant négatif, nous obtenons l’expression suivante.

La racine carrée de 𝑥 plus zéro n’est que la racine carrée de 𝑥. Nous pouvons combiner cela avec l’autre racine carrée de 𝑥 pour obtenir deux racines carrées de 𝑥. En simplifiant cela en combinant les constantes, nous obtenons moins trois sur la racine carrée 𝑥.

Rappelez-vous qu’il s’agit de la dérivée, 𝑓 prime de 𝑥, de la fonction indiquée dans la question. Ainsi, si vous entrez une valeur de 𝑥 dans cette fonction dérivée, 𝑓 prime de 𝑥, vous obtenez la pente de la tangente de la fonction d’origine, 𝑓 de 𝑥, en cette valeur de 𝑥.

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