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Laquelle des expressions suivantes est la représentation paramétrique de l’équation du plan qui contient les deux droites 𝑥 moins un sur moins deux est égal à 𝑦 plus un sur moins un est égal à 𝑧 moins un sur trois et 𝑥 sur moins quatre est égal à 𝑦 moins deux sur moins deux est égal à 𝑧 plus un sur six? Est-ce l’option (A) 𝑥 est égal à un moins deux 𝑡 indice un plus 𝑡 indice deux, 𝑦 est égal à moins un moins 𝑡 indice un plus trois 𝑡 indice deux, et 𝑧 est égal à un plus trois 𝑡 indice un plus deux 𝑡 moins deux ? Est-ce l’option (B) 𝑥 est égal à un moins deux 𝑡 indice un moins 𝑡 indice deux, 𝑦 est égal à moins un moins 𝑡 indice un plus trois 𝑡 indice deux, et 𝑧 est égal à un plus trois 𝑡 indice un moins deux 𝑡 moins deux ? Est-ce l’option (C) 𝑥 est égal à moins 𝑡 indice un plus 𝑡 indice deux, 𝑦 est égal à deux moins 𝑡 indice un moins trois 𝑡 indice deux, et 𝑧 est égal à moins un moins deux 𝑡 indice un ? Est-ce l’option (D) 𝑥 est égale à moins 𝑡 indice un plus 𝑡 indice deux, 𝑦 est égale à moins quatre 𝑡 indice un plus 𝑡 indice deux, et 𝑧 est égale à moins un moins deux 𝑡 indice un ? Est-ce l’option (E) 𝑥 est égal à un moins deux 𝑡 indice un moins 𝑡 indice deux, 𝑦 est égal à moins un moins 𝑡 indice un plus trois 𝑡 indice deux, et 𝑧 est égal à moins un plus trois 𝑡 indice un ?
Dans cette question, on nous donne cinq équations paramétriques. Nous devons déterminer laquelle de ces équations est la représentation paramétrique correcte de l’équation d’un plan qui contient deux droites données sous forme cartésienne. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce que nous entendons par la représentation paramétrique de l’équation d’un plan. Nous rappelons qu’un plan passant par le point 𝑃 de coordonnées 𝑥 indice 𝑃, 𝑦 indice 𝑃, 𝑧 indice 𝑃 qui contient deux vecteurs non colinéaires 𝐮 de composantes 𝑢 indice 𝑥, 𝑢 indice 𝑦, 𝑢 indice 𝑧 et 𝐯 de composantes 𝑣 indice 𝑥, 𝑣 indice 𝑦, 𝑣 indice 𝑧 auront des équations paramétriques données par l’ensemble de trois équations suivantes.
Nous pouvons voir que l’équation pour 𝑥 est entièrement donnée en fonction de la coordonnée 𝑥 pour 𝑃 et des composantes 𝑥 des vecteurs 𝐮 et 𝐯. Quelque chose de très similaire est vrai pour nos équations pour 𝑦 et 𝑧. Nous pouvons utiliser cette définition pour déterminer la forme paramétrique de l’équation de ce plan. Pour ce faire, nous commençons par noter qu’on nous donne deux droites contenues dans le plan. Les équations de ces deux droites sont données sous forme cartésienne. Nous pouvons nous rappeler que nous pourrions trouver les vecteurs directeurs des droites données sous forme cartésienne en considérant les dénominateurs de chaque partie de la question. Le vecteur directeur aura des composantes égales au dénominateur de ces fractions. Ainsi, nous pouvons définir notre vecteur 𝐮 égal au vecteur moins deux, moins un, trois.
Maintenant, nous pourrions être tentés d’appliquer exactement le même raisonnement pour définir le vecteur 𝐯 égal au vecteur moins quatre, moins deux, six. Cependant, il y a un problème avec cela. On nous dit que nous devons choisir des vecteurs non colinéaires 𝐮 et 𝐯. Or, nous pouvons remarquer que toutes les composantes du vecteur 𝐯 partagent un facteur deux. En fait, le vecteur 𝐯 est égal à deux fois le vecteur 𝐮. Ainsi, ce sont des multiples scalaires l’un de l’autre ; en d’autres termes, ces vecteurs sont colinéaires. Nous devons déterminer un autre vecteur contenu dans le plan. Pour ce faire, traçons un dessin correspondant à notre situation.
Nous avons deux droites contenues dans le plan et nous avons montré que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Les droites doivent donc être parallèles. Nous pouvons également noter que les droites ne coïncident pas parce que les équations ne sont pas des multiples scalaires les unes des autres. Ainsi, nous avons deux droites distinctes dans notre plan. Nous pouvons également prendre notre vecteur 𝐮 comme l’un des vecteurs directeurs de la droite. Nous pouvons aussi trouver un vecteur contenu dans le plan en prenant un point sur chaque droite. Ensuite, le vecteur entre ces deux points sera contenu dans le plan. Nous pouvons trouver un point sur chaque droite en définissant chaque équation égale à zéro. Alors, libérons de l’espace et calculons notre vecteur 𝐯.
Nous commençons par trouver le vecteur position du premier point de la droite. Nous fixons chaque équation comme égale à zéro. Nous obtenons le vecteur un, moins un, un. Nous faisons ensuite exactement la même chose avec l’équation de la deuxième droite. Elle contient le point de vecteur position zéro, deux, moins un. Ensuite, nous pouvons définir 𝐯 égal à la différence entre ces deux vecteurs. Nous pouvons évaluer la différence en soustrayant les vecteurs par composante. Nous obtenons que 𝐯 est le vecteur moins un, trois, moins deux. A ce stade, il convient de rappeler que nous pouvons choisir n’importe quel multiple scalaire de ces deux vecteurs comme étant nos vecteurs 𝐮 et 𝐯.
Maintenant, nous sommes presque prêts à remplacer cette information dans nos équations paramétriques. Cependant, nous pourrions vouloir choisir d’abord notre point 𝑃. Nous pouvons choisir différents points pour 𝑃. Par exemple, nous avons déjà trouvé un point sur chaque droite. Nous pouvons construire encore plus de points sur la droite ou encore plus de points sur le plan. Tout cela donnerait des équations paramétriques valides de la droite. Au lieu de cela, nous allons simplement substituer nos vecteurs 𝐮 et 𝐯 dans l’équation, puis déterminer les coordonnées nécessaires du point 𝑃 à partir des options données. La substitution des composantes de 𝐮 et 𝐯 dans les équations paramétriques de la droite nous donne les trois équations suivantes.
Nous pouvons alors remarquer que cela ne correspond qu’à l’une de nos options, l’option (B). Puisque les coefficients de 𝑡 indice un et 𝑡 indice deux correspondent pour les trois équations, il s’agira d’une équation paramétrique valide du plan si le point avec les coordonnées un, moins un, un se trouve sur le plan. Nous avons déjà montré que ce point se trouve sur le plan parce que nous avons déjà montré qu’il se trouve sur la première droite. Ainsi, nous choisissons 𝑃 comme le point avec les coordonnées un, moins un, un, puis substituons les coordonnées de ce point dans nos équations paramétriques, nous pouvons alors voir que cela correspond exactement à l’option (B).
Par conséquent, nous avons pu montrer que la forme paramétrique de l’équation du plan qui contient les deux droites d’équations 𝑥 moins un sur moins deux est égale à 𝑦 plus un sur moins un est égale à 𝑧 moins un sur trois et 𝑥 sur moins quatre est égal à 𝑦 moins deux sur moins deux est égal à 𝑧 plus un sur six est l’option (B). Soit 𝑥 est égal à un moins deux 𝑡 indice un moins 𝑡 indice deux, 𝑦 est égal à moins un moins 𝑡 indice un plus trois 𝑡 indice deux, et 𝑧 est égal à un plus trois 𝑡 indice un moins deux 𝑡 indice deux.
