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Vidéo de la leçon : Analyse dimensionnelle Physique

Dans cette vidéo, nous apprendrons à déterminer les unités de grandeurs physiques de pars la relation entre certaines grandeurs et d’autres grandeurs connues.

19:08

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous examinons l’analyse dimensionnelle. Le mot dimensions est souvent utilisé pour désigner des mesures de longueur. Par exemple, nous pouvons dire que les dimensions d’un objet sont sa longueur, sa largeur et sa hauteur. Nous disons aussi couramment que les objets de la vie quotidienne ont trois dimensions. Mais le mot dimensions ne fait pas seulement référence aux longueurs. Elle fait également référence à d’autres grandeurs telles que la masse, le temps et le courant. Nous pouvons considérer les dimensions comme étant des grandeurs fondamentales ou de base qui peuvent être combinées de différentes manières pour former des grandeurs plus complexes.

L’analyse dimensionnelle est le processus consistant à analyser différentes grandeurs physiques en examinant les grandeurs de base correspondantes, en d’autres mots, les dimensions qui les constituent. Nous pouvons utiliser l’analyse dimensionnelle pour nous aider à déterminer les unités dans lesquelles s’exprimeront différentes grandeurs, ainsi que pour mieux comprendre les équations en physique. Dans cette vidéo, nous examinerons quatre dimensions de base, la longueur, la masse, le temps et le courant. Comme nous l’avons mentionné, nous les appelons des dimensions parce que nous les considérons comme des grandeurs simples ou de base. En conséquence, il est possible d’exprimer de nombreuses autres grandeurs telles que l’accélération, la charge et la force en fonction de ces quatre dimensions.

En fait, toute grandeurs peut être exprimée en fonction de ses dimensions. Cela est étroitement lié au fait que nous pouvons exprimer n’importe quelle unité du SI en termes d’unités de base SI. Toute dimension peut être mesurée en utilisant une seule unité de base SI. Ainsi, nous pouvons mesurer la longueur en mètres, la masse en kilogrammes, le temps en secondes, le courant en ampères. Et des unités plus compliquées, par exemple, celles que nous avons utilisées pour mesurer l’accélération, la charge et la force, peuvent toujours être exprimées en utilisant les unités de base SI. Par exemple, en unités SI, nous mesurons l’accélération en mètres par seconde au carré ou de manière équivalente en mètres fois des secondes à la puissance moins deux. Ces unités comprennent à la fois l’unité SI pour la longueur, le mètre et l’unité SI pour le temps, la seconde.

De même, l’unité SI de charge est le coulomb, que nous représentons avec un C majuscule. Mais un coulomb équivaut à un ampère par seconde. Ainsi, nous sommes en mesure exprimer la charge avec des unités qui comprennent à la fois l’unité SI pour le courant, l’ampère, et l’unité SI pour le temps, la seconde. De même, l’unité SI de la force est le newton. Mais les newtons peuvent être exprimés de manière équivalente en kilogrammes par seconde au carré, que nous pouvons également écrire comme ceci. Ainsi, nous pouvons voir que la force peut être exprimée en unités qui comprennent l’unité SI pour la masse, le kilogramme, l’unité SI pour la longueur, le mètre, et encore une fois l’unité SI pour le temps, qui est bien sûr la seconde.

Le processus d’expression d’une grandeur en fonction de ses dimensions est en fait indépendant des unités. Donc, même si nous mesurions la longueur en pouces et le temps en années, nous serions toujours en mesure d’exprimer toute grandeur en fonction des mêmes dimensions. Pour ce faire, nous utilisons la représentation symbolique de chaque dimension. Nous représentons la dimension de longueur avec 𝐿 majuscule, la masse avec 𝑀 majuscule, le temps avec 𝑇 majuscule et le courant avec I majuscule. Notez que ces symboles ne représentent pas des unités et ne sont pas nécessairement les symboles que nous utiliserions pour représenter les variables dans les équations. Donc, nous utilisons ce 𝐿 majuscule pour représenter la dimension de la longueur quelles que soient les unités que nous utilisons et que cette longueur soit une constante ou une variable dans une équation.

Nous pouvons utiliser ces symboles pour représenter la manière dont les dimensions sont combinées dans des grandeurs plus complexes. À titre d’exemple simple, considérons les dimensions de l’aire. Lorsque nous calculons une aire, nous multiplions généralement deux longueurs ensemble. Par exemple, l’aire d’un carré est sa largeur multipliée par sa largeur. Et l’aire d’un triangle est donnée par la moitié de la longueur de sa base multipliée par sa hauteur perpendiculaire. Parce que nous pouvons voir que la longueur est une dimension et que nous pouvons obtenir une aire en multipliant une longueur par une autre longueur, nous pouvons dire que les dimensions de l’aire sont une longueur fois une longueur ou une longueur au carré.

Lorsque nous calculons l’aire d’une forme, les deux longueurs que nous multiplions ne seront pas nécessairement les mêmes. Donc, nous n’allons pas nécessairement utiliser le carré de la longueur lorsque nous calculons l’aire. Toute aire a néanmoins des dimensions de longueur au carré. Et nous pouvons représenter cela symboliquement comme 𝐿 au carré. Nous savons que l’aire peut être représentée en utilisant de nombreuses unités différentes, par exemple, mètres carrés, acre, ou pouces carrés. Mais les dimensions de l’aire sont toujours la longueur au carré. Nous pouvons calculer les dimensions pour une grandeur donnée si nous avons une formule qui nous permet de calculer cette grandeur. Par exemple, pour un triangle avec une base de longueur 𝑏 et une hauteur perpendiculaire ℎ, son aire est donnée par la formule un demi de 𝑏 fois ℎ.

Maintenant, le facteur demi dans cette équation est ce que nous appelons un nombre sans dimension. Il n’a pas de dimensions, et nous ne le représenterions pas par des unités. Mais le 𝑏 et le ℎ sont tous deux des mesures de longueur. Ils ont donc des dimensions de longueur. Le fait que nous puissions calculer l’aire du triangle en multipliant deux longueurs ensemble confirme que les dimensions de l’aire sont une longueur fois une longueur. Nous pouvons utiliser cette même méthode pour calculer les dimensions de grandeurs plus complexes, par exemple, la quantité de mouvement. Rappelons que la quantité de mouvement d’un objet avec une masse 𝑚 se déplaçant à avec un vecteur vitesse 𝑣 est donnée par la formule 𝑝 est égal à 𝑚𝑣, où 𝑝 représente la quantité de mouvement. Nous pouvons utiliser cette formule pour calculer les dimensions de la quantité de mouvement en considérant les dimensions de chacune des grandeurs que nous utilisons pour la calculer, dans ce cas, la masse et le vecteur vitesse.

Les dimensions sur le côté gauche de toute équation physique doivent être les mêmes que les dimensions sur le côté droit de l’équation, ce qui nous dit que les dimensions de la quantité de mouvement doivent être les mêmes que les dimensions de la masse multipliées par les dimensions du vecteur vitesse. Nous pouvons utiliser des crochets pour représenter le fait que nous parlons de dimensions. Par exemple, un 𝑝 minuscule entre crochets représente les dimensions de la quantité de mouvement. Comme nous l’avons vu à partir de cette équation, les dimensions de la quantité de mouvement doivent être égales aux dimensions de la masse multipliées par les dimensions du vecteur vitesse, que nous pouvons représenter comme ceci. La première chose que nous pouvons remarquer ici est que la masse est une dimension.

Ainsi, au lieu d’écrire des crochets autour d’un 𝑚 minuscule pour représenter les dimensions de la masse, nous pouvons simplement écrire un M majuscule pour représenter la dimension masse. Après avoir fait cela, nous avons effectué la première étape qui va nous permettre de déterminer les dimensions de la quantité de mouvement. Cependant, arriver au bout, nous devons encore déterminer les dimensions du vecteur vitesse. Pour ce faire, nous pouvons utiliser n’importe quelle formule que nous pourrions utiliser pour calculer le vecteur vitesse. La plus courante est 𝑣 égal s sur 𝑡, le vecteur vitesse est égal au déplacement divisé par le temps. Encore une fois, en utilisant le fait que les dimensions du côté gauche et du côté droit de toute équation doivent être les mêmes, nous savons que les dimensions du vecteur vitesse doivent être égales aux dimensions du déplacement divisées par les dimensions du temps.

Eh bien, comme un déplacement est en fait une mesure de longueur et que la longueur est une dimension, on peut dire que le déplacement a une dimension de longueur. Et les dimensions du temps ne sont bien sûr que les dimensions du temps. Ainsi, nous pouvons remplacer ces deux grandeurs par les symboles qui représentent leurs dimensions, nous montrant que les dimensions du vecteur vitesse sont la longueur divisée par le temps. Et nous pouvons maintenant substituer cela aux dimensions de la quantité de mouvement dans notre équation. En d’autres termes, nous pouvons remplacer notre 𝑣 minuscule entre crochets, représentant les dimensions du vecteur vitesse, par un L majuscule sur un T majuscule, représentant la dimension de la longueur divisée par la du dimension temps. En réarrangeant cela légèrement, nous pouvons voir que notre équation nous dit que les dimensions de la quantité de mouvement sont la masse fois la longueur divisées par le temps.

Lorsque nous écrivons des équations avec des dimensions, il est courant d’utiliser la notation puissance plutôt que des fractions. Ainsi, au lieu d’écrire 𝑀𝐿 sur 𝑇, nous écririons l’expression équivalente 𝑀𝐿𝑇 puissance moins un. Ainsi, nous avons maintenant vu comment nous pouvons calculer les dimensions d’une grandeur en utilisant une formule pour cette grandeur et en égalisant les dimensions sur les côtés gauche et droit. Cela peut être rendu plus facile en se rappelant les formules qui définissent quelques grandeurs communes. L’aire a des dimensions de longueur au carré, que nous pouvons représenter sous la forme 𝐿 au carré. Le volume a des dimensions de longueur au cube, que nous pouvons écrire 𝐿 au cube. Le vecteur vitesse a des dimensions de longueur divisées par le temps, que nous pouvons écrire 𝐿 sur 𝑇 ou 𝐿𝑇 puissance moins un. Et l’accélération a des dimensions de longueur divisées par le temps au carré, que nous écririons 𝐿 fois 𝑇 à la puissance moins deux.

La quantité de mouvement a des dimensions de masse fois le vecteur vitesse. Et puisque nous venons de voir que le vecteur vitesse a des dimensions de longueur divisées par le temps, cela signifie que nous pouvons représenter les dimensions de la quantité de mouvement comme 𝑀𝐿𝑇 à la puissance moins un. Les dimensions de la force sont les mêmes que celles de la quantité de mouvement divisée par le temps. Puisque nous avons vu que la quantité de mouvement a des dimensions de 𝑀𝐿𝑇 à la puissance moins un, nous savons que les dimensions de la force sont données par 𝑀𝐿𝑇 à la puissance moins un divisée par 𝑇, ce qui équivaut à 𝑀𝐿𝑇 puissance moins deux. La charge a des dimensions de courant fois le temps, que nous pouvons représenter par le symbole de la dimension du courant, qui est 𝐼 fois 𝑇. Enfin, la fréquence a des dimensions de un sur le temps, que nous écririons 𝑇 à la puissance moins un. Maintenant que nous avons parlé de ce que sont les dimensions et comment nous pouvons calculer les dimensions de différentes grandeurs, essayons quelques aux questions de quelques exemples.

Quelles sont les dimensions d’une grandeur égale à une force multipliée par une distance?

Donc, cette question parle d’une grandeur inconnue qui est égale à une force multipliée par une distance. Eh bien, tout de suite, nous pouvons nous faciliter la tâche en incluant cette information dans une équation. Appelons cette grandeur inconnue 𝑥. Et parce que nous savons qu’elle est égale à la force multipliée par la distance, nous pouvons écrire l’équation 𝑥 égale 𝐹 fois 𝑑, où 𝐹 représente une force et 𝑑 représente la distance. La question nous demande de déterminer les dimensions de cette grandeur que nous avons choisi de représenter avec le symbole 𝑥.

Rappelons rapidement que les dimensions d’un ensemble de grandeurs de base dont toutes les grandeurs en physique peuvent être composées, notamment la longueur, la masse, le temps et le courant. Et ces dimensions peuvent être représentées par les symboles L majuscule, M majuscule, T majuscule et I majuscule. Rappelons également que dans toute équation physique, les dimensions sont les mêmes des deux côtés. Cela signifie que les dimensions de 𝑥, que nous essayons de déterminer, doivent être les mêmes que les dimensions de 𝐹 fois 𝑑. Et cela se trouve être les mêmes que les dimensions de 𝐹 fois les dimensions de 𝑑.

Nous pouvons utiliser des crochets pour représenter le fait que nous parlons des dimensions d’une grandeur. Donc, mettre un 𝑥 minuscule entre crochets signifie les dimensions de notre grandeur 𝑥. Et cela doit être égal aux dimensions de 𝐹 fois les dimensions de 𝑑. Ainsi, nous pouvons maintenant voir que si nous pouvons trouver les dimensions de la force et les dimensions de la distance, alors tout ce que nous devons faire est de les multiplier ensemble pour obtenir les dimensions de notre grandeur 𝑥. Il n’est pas trop difficile de trouver que les dimensions de la distance sont la longueur. Après tout, lorsque nous mesurons une distance, nous mesurons sa longueur. Ainsi, dans cette équation, nous pouvons remplacer le 𝑑 minuscule entre crochets par un L majuscule pour représenter la dimension de la longueur. En d’autres termes, la longueur est la dimension de la distance.

Donc, nous sommes maintenant un peu plus près de déterminer les dimensions de notre grandeur. Tout ce que nous devons faire maintenant, c’est déterminer les dimensions de la force. Malheureusement, déterminer les dimensions de la force est un peu plus compliqué car la force n’est pas simplement une longueur ou une masse ou un temps ou un courant. Au lieu de cela, il s’agit d’une combinaison de plusieurs de ces dimensions. Afin de déterminer quelles dimensions sont impliquées dans la grandeur qu’est la force, nous pouvons utiliser n’importe quelle formule qui nous permet de calculer la force. Par exemple, nous pouvons calculer la force agissant sur un objet en divisant sa variation de quantité de mouvement par le temps pendant lequel sa quantité de mouvement a varié.

Encore une fois, nous savons que les dimensions du côté gauche de cette équation doivent correspondre aux dimensions du côté droit. On peut donc dire que les dimensions de la force sont égales aux dimensions d’une variation de quantité de mouvement divisées par les dimensions du temps. Maintenant, une variation de quantité de mouvement a les mêmes dimensions que la quantité de mouvement. Ainsi, nous pouvons oublier le symbole Δ et dire simplement que les dimensions de la force sont égales aux dimensions de la quantité de mouvement divisées par les dimensions du temps. Nous pouvons voir que le temps est une dimension. Ainsi, dans notre équation, au lieu d’écrire un t minuscule entre crochets signifiant les dimensions du temps, nous pouvons écrire un T majuscule pour représenter la dimension temps.

Cependant, nous pouvons voir que la quantité de mouvement n’est pas une dimension. Donc, encore une fois, nous devrons calculer les dimensions de la quantité de mouvement en utilisant une formule que nous pourrions utiliser pour calculer la quantité de mouvement. Alors, rappelons que la quantité de mouvement est égale à la masse multipliée par un vecteur vitesse. Parce que nous savons que les dimensions à gauche de cette équation sont les mêmes que les dimensions à droite de cette équation, nous savons que les dimensions de la quantité de mouvement doivent être les mêmes que les dimensions de la masse multipliées par les dimensions d’un vecteur vitesse. Ainsi, nous pouvons remplacer notre 𝑝 minuscule entre crochets, qui signifie les dimensions de la quantité de mouvement avec les dimensions de la masse multipliées par les dimensions d’un vecteur vitesse. Et parce que la masse est une dimension, nous pouvons remplacer ce 𝑚 minuscule entre crochets par un M majuscule représentant la dimension masse.

Ainsi, nous pouvons voir que, progressivement, nous remplaçons des grandeurs de dimensions inconnues par des grandeurs de base telles que le temps et la masse. Donc, enfin, nous devons déterminer les dimensions du vecteur vitesse. Cette fois, nous pouvons utiliser l’équation qui dit que le vecteur vitesse est égal au déplacement divisé par le temps. Cette équation nous montre que les dimensions du vecteur vitesse sont égales aux dimensions du déplacement divisées par les dimensions du temps. Ainsi, nous pouvons remplacer les dimensions du vecteur vitesse dans cette équation par les dimensions du déplacement divisées par les dimensions du temps. Tout comme la distance, le déplacement a des dimensions de longueur. Ainsi, nous pouvons remplacer le s minuscule entre crochets par un L majuscule. Et encore une fois, nous pouvons remplacer notre 𝑡 minuscule entre crochets par un T majuscule.

Nous pouvons maintenant voir qu’à l’aide de ces trois formules, nous avons réussi à exprimer les dimensions de la force en termes de masse, de longueur et de temps. Nous pouvons simplifier cette expression en 𝑀𝐿 sur 𝑇 au carré, en d’autres termes, la masse fois la longueur divisées par le temps au carré. Et comme il est plus courant d’utiliser la notation puissance lorsque nous parlons de dimensions, nous l’exprimerons généralement sous la forme 𝑀𝐿𝑇 puissance moins deux. Et enfin, nous sommes prêts à substituer cela dans notre expression qui nous donne les dimensions de notre grandeur inconnue 𝑥. Cela nous indique que les dimensions de notre grandeur inconnue 𝑥 sont la masse fois la longueur fois le temps à la puissance moins deux fois la longueur, que nous pouvons simplifier en écrivant 𝑀𝐿 au carré 𝑇 à la puissance moins deux.

Donc, voici notre réponse. Les dimensions d’une grandeur égale à une force multipliée par une distance sont la masse multipliée par la longueur au carré multipliée par le temps à la puissance moins deux.

Maintenant que nous avons répondu à cette question, examinons une question qui nous oblige à convertir une expression d’unité en une expression de dimension.

Quelles sont les dimensions d’une grandeur qui peut être mesurée en kilogrammes mètres carrés?

Cette question nous oblige à faire une distinction entre trois concepts très semblables, les dimensions, les grandeurs et les unités. Rappelons-nous rapidement ce que chacun de ces termes signifie. En physique, une grandeur est une propriété physique qui peut être exprimée sous la forme d’un nombre. En d’autres mots, c’est une propriété physique qui peut être quantifiée. Cela inclut des grandeurs telles que la masse, l’énergie et l’accélération. Une unité est une certaine mesure d’une grandeur donnée. Nous exprimons souvent des unités en utilisant des symboles. Par exemple, nous pouvons exprimer la masse en kilogrammes, l’énergie en joules et l’accélération en mètres par seconde au carré.

Enfin, les dimensions sont l’ensemble des grandeurs de base avec lesquelles nous pouvons exprimer toutes les autres grandeurs indépendamment des unités. Celles-ci comprennent la masse, la longueur, le temps et le courant. Toutes les dimensions sont des exemples de grandeurs, mais toutes les grandeurs ne sont pas des dimensions. Cependant, il est possible d’exprimer toutes les grandeurs, y compris des choses comme l’énergie et l’accélération, en termes de dimensions. Dans cette question, on nous a donné une grandeur dont les unités sont les kilogrammes mètres carrés, et on nous a demandé de trouver ses dimensions. Heureusement, il est possible de convertir directement les unités en leurs dimensions. Pour ce faire, examinons de près les unités qui nous ont été données dans la question.

Les unités ici, le kilogramme mètre carré, sont formées en multipliant ensemble différentes unités. Dans ce cas, nous avons des kilogrammes fois des mètres carrés ou des kilogrammes fois des mètres fois des mètres. Les kilogrammes sont les unités que nous utilisons pour exprimer la grandeur masse, et les mètres sont les unités que nous utilisons pour exprimer la grandeur longueur. En plus d’être des grandeurs, nous pouvons également voir que la masse et la longueur sont des dimensions. Cela rend très simple la conversion de cette expression d’unité en une expression de dimension. Nous avons à nouveau l’unité de masse multipliée par l’unité de longueur multipliée par l’unité de longueur. Ainsi, les dimensions correspondantes sont simplement masse fois longueur fois longueur.

Nous représentons les grandeurs masse, longueur, temps et courant en utilisant les symboles M majuscule, L majuscule, T majuscule, et I majuscule en utilisant la notation puissance dès que c’est possible. Ainsi, la masse fois la longueur fois la longueur peut être représentée par 𝑀𝐿 au carré. Et c’est la réponse finale à notre question. Les dimensions d’une grandeur qui peut être mesurée en kilogrammes mètres carrés sont la masse fois la longueur fois la longueur ou ML carré.

Terminons en passant en revue rapidement les points clés que nous avons examinés dans cette vidéo. Premièrement, nous avons vu que toutes les grandeurs physiques peuvent être exprimées en termes d’un ensemble de grandeurs de base appelées dimensions. Celles-ci comprennent les grandeurs de longueur, de masse, de temps et de courant. Nous avons également examiné la notation des dimensions, en particulier l’utilisation des symboles majuscules 𝐿, 𝑀, 𝑇 et 𝐼 pour représenter les dimensions de longueur, de masse, de temps et de courant, respectivement.

Nous pouvons également mettre des crochets autour d’une grandeur pour représenter les dimensions de cette grandeur. Par exemple, les dimensions de la force sont la masse fois la longueur fois le temps à la puissance moins deux. Et enfin, nous avons vu que nous pouvons calculer les dimensions de différentes grandeurs en utilisant des formules pour les exprimer en fonction de leurs grandeurs de base ou de leurs dimensions.

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