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Vidéo question :: Trouver la fonction réciproque d’une fonction affine Mathématiques • Deuxième année secondaire

Déterminez la fonction réciproque de celle définie par 𝑓 (𝑥) = (1/3) 𝑥 + 2.

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Transcription de la vidéo

Déterminez la fonction réciproque de celle définie par 𝑓 de 𝑥 égale un tiers de 𝑥 plus deux.

De manière générale qu’est-ce que la réciproque d’une fonction 𝑓 ? La réciproque de 𝑓 se note ainsi : c’est un 𝑓 avec un exposant moins un.

Vous pourriez penser que la réciproque de 𝑓 de 𝑥 est simplement un sur 𝑓 de 𝑥, mais ce n’est pas le cas. Voyons la vraie définition. Si 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥, alors 𝑥 est égal à la réciproque de 𝑓 de 𝑦, ce qui définit la réciproque de 𝑓 à partir de 𝑓.

Notez que la deuxième équation contient des variables inversées par rapport à ce qu’on pourrait attendre. La valeur d’entrée de la réciproque de 𝑓 est 𝑦 et sa valeur de sortie est 𝑥.

La fonction 𝑓 prend une va leur d’entrée 𝑥 et renvoie la valeur de sortie 𝑦. La fonction réciproque de 𝑓 prend 𝑦, la valeur de sortie de 𝑓, et renvoie la valeur d’entrée à qui a généré cette valeur de sortie . La valeur d’entrée de 𝑓, que nous avons appelée 𝑥, est la valeur sortie de la réciproque de 𝑓. Et la valeur sortie de 𝑓, que nous avons appelée 𝑦, est la valeur d’entrée de la réciproque de 𝑓.

Bien écrivons 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥. Ici nous avons utilisé la définition de 𝑓 de 𝑥 pour écrire 𝑦 égale un tiers de 𝑥 plus deux. Et nous souhaitons réécrire cette équation en exprimant 𝑥 en fonction de 𝑦, car ça donnera la réciproque de 𝑓.

La première étape consiste donc à retrancher deux de chaque membre. Et maintenant nous multiplions par trois, et enfin nous inversons des deux membres pour obtenir que 𝑥 est égal à trois fois 𝑦 moins deux.

Maintenant comparons ceci à 𝑥 égale la réciproque de 𝑓 de 𝑦 car 𝑦 est toujours égal à 𝑓 de 𝑥. Apparaît alors clairement la réciproque de 𝑓 de 𝑦. La réciproque de 𝑓 de 𝑦 est trois fois 𝑦 moins deux.

Ce qui détermine complètement la fonction réciproque de 𝑓. Donc étant donné une valeur d’entrée 𝑦, nous savons que la valeur de sortie est trois fois 𝑦 moins deux, mais bien sûr il est traditionnel d’utiliser plutôt 𝑥 comme valeur d’entrée pour une fonction, nous allons donc changer 𝑦 en 𝑥 et écrire que la réciproque de 𝑓 de 𝑥 est trois fois 𝑥 moins deux. Voilà notre réponse.

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