Transcription de la vidéo
Salut tout le monde ! J’ai une autre note de bas de page pour vous entre les chapitres
aujourd’hui. Quand j’ai parlé de la transformation linéaire jusqu’à présent, je n’ai
vraiment parlé que de la transformation de vecteurs 2D en d’autres
vecteurs 2D, représentés par des matrices deux par deux, ou de
vecteurs 3D en d’autres vecteurs 3D, représentés par des matrices
trois par trois. Mais plusieurs commentateurs ont posé des questions sur les matrices non
carrées. Alors j’ai pensé prendre un moment pour montrer ce que signifient ces
mots géométriquement. À ce jour dans la série, vous avez en réalité l’essentiel de l’expérience
dont vous avez besoin pour commencer à réfléchir à une question
comme celle-ci. Mais je vais commencer à en parler, juste pour donner un petit élan
mental.
Il est parfaitement raisonnable de parler de transformations entre les
dimensions, par exemple une transformation de vecteurs 2D en
vecteurs 3D. Là encore, ce qui rend l’un de ces éléments linéaires, c’est que les
droites de la grille restent parallèles et espacées de manière
uniforme, et que l’origine est transformé en l’origine. Ce que j’ai décrit ici est l’espace d’entrée à gauche, qui n’est qu’un
espace 2D, et la sortie de la transformation illustrée à droite. La raison pour laquelle je ne montre pas que les entrées passent aux
sorties, comme je le fais habituellement, n’est pas simplement de la
paresse dans l’animation. Il convient de souligner que les entrées de vecteurs 2D sont des animaux
très différents de ces sorties de vecteurs 3D, vivant dans un espace
totalement séparé et non connecté.
Encoder une de ces transformations avec une matrice est vraiment la même
chose que ce que nous avons fait auparavant. Vous regardez où chaque vecteur de base atterrit et écrivez les
coordonnées des points d’atterrissage sous forme de colonnes d’une
matrice. Par exemple, ce que vous voyez ici est le résultat d’une transformation
qui envoie 𝑖 chapeau sur les coordonnées deux, moins un, moins deux
et 𝑗 chapeau sur les coordonnées zéro, un, un. Remarquez, cela signifie que la matrice codant notre transformation
comporte trois lignes et deux colonnes, ce qui, pour utiliser une
terminologie standard, en fait une matrice trois par deux.
Dans le langage de la dernière vidéo, l’espace des colonnes de cette
matrice, l’endroit où tous les vecteurs atterrissent, est un plan 2D
découpant l’origine de l’espace 3D. Mais la matrice a toujours le rang complet, car le nombre de dimensions
dans cet espace colonne est le même que le nombre de dimensions de
l’espace d’entrée. Donc, si vous voyez une matrice trois par deux dans la nature, vous
pouvez savoir qu’elle a l’interprétation géométrique de la
correspondance de deux dimensions en trois dimensions, car les deux
colonnes indiquent que l’espace d’entrée a deux vecteurs de base et
les trois lignes indiquent que les points d’atterrissage de chacun
de ces vecteurs de base sont décrits avec trois coordonnées
distinctes.
De même, si vous voyez une matrice deux sur trois avec deux lignes et
trois colonnes, que pensez-vous que cela signifie ? Eh bien, les trois colonnes indiquent que vous commencez dans un espace
comportant trois vecteurs de base, nous partons donc en trois
dimensions. Et les deux lignes indiquent que le point d’atterrissage pour chacun de
ces trois vecteurs de base est décrit avec seulement deux
coordonnées, de sorte qu’ils doivent atterrir dans deux
dimensions. Il s’agit donc d’une transformation de l’espace 3D dans le plan 2D ; une
transformation qui devrait être très inconfortable si vous imaginez
la traverser. Vous pouvez également avoir une transformation de deux dimensions en une
seule dimension. L’espace unidimensionnel n’est en réalité que la droite des nombres. La
transformation de ce type prend donc des vecteurs 2D et génère des
nombres.
Penser aux lignes de la grille qui restent parallèles et régulièrement
espacées est un peu compliqué à cause de toute la dilution qui se
produit ici. Ainsi, dans ce cas, la compréhension visuelle de ce que signifie la
linéarité signifie que si vous avez une ligne de points espacés de
manière égale, elle restera espacée de manière égale une fois qu’ils
seront transformés sur la droite numérique. L’une de ces transformations est codée avec une matrice un par deux,
chacune des deux colonnes ne contenant qu’une seule entrée. Les deux colonnes représentent l’emplacement des vecteurs de base. Et chacune de ces colonnes nécessite un seul nombre, le nombre sur lequel
ce vecteur de base s’est posé.
Il s’agit en fait d’un type de transformation étonnamment significatif,
étroitement lié au produit scalaire, et je parlerai de cette
vidéo. Jusque-là, je vous encourage à jouer avec cette idée par vous-même, en
contemplant la signification de choses comme la multiplication
matricielle et les systèmes d’équations linéaires dans le contexte
de transformations entre différentes dimensions. Amusez-vous bien !