Vidéo : Matrices non carrées en tant que transformations entre dimensions

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Matrices non carrées en tant que transformations entre dimensions

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Transcription de vidéo

Salut tout le monde ! J’ai une autre note de bas de page pour vous entre les chapitres aujourd’hui. Quand j’ai parlé de la transformation linéaire jusqu’à présent, je n’ai vraiment parlé que de la transformation de vecteurs 2D en d’autres vecteurs 2D, représentés par des matrices deux par deux, ou de vecteurs 3D en d’autres vecteurs 3D, représentés par des matrices trois par trois. Mais plusieurs commentateurs ont posé des questions sur les matrices non carrées. Alors j’ai pensé prendre un moment pour montrer ce que signifient ces mots géométriquement. À ce jour dans la série, vous avez en réalité l’essentiel de l’expérience dont vous avez besoin pour commencer à réfléchir à une question comme celle-ci. Mais je vais commencer à en parler, juste pour donner un petit élan mental.

Il est parfaitement raisonnable de parler de transformations entre les dimensions, par exemple une transformation de vecteurs 2D en vecteurs 3D. Là encore, ce qui rend l’un de ces éléments linéaires, c’est que les droites de la grille restent parallèles et espacées de manière uniforme, et que l’origine est transformé en l’origine. Ce que j’ai décrit ici est l’espace d’entrée à gauche, qui n’est qu’un espace 2D, et la sortie de la transformation illustrée à droite. La raison pour laquelle je ne montre pas que les entrées passent aux sorties, comme je le fais habituellement, n’est pas simplement de la paresse dans l’animation. Il convient de souligner que les entrées de vecteurs 2D sont des animaux très différents de ces sorties de vecteurs 3D, vivant dans un espace totalement séparé et non connecté.

Encoder une de ces transformations avec une matrice est vraiment la même chose que ce que nous avons fait auparavant. Vous regardez où chaque vecteur de base atterrit et écrivez les coordonnées des points d’atterrissage sous forme de colonnes d’une matrice. Par exemple, ce que vous voyez ici est le résultat d’une transformation qui envoie 𝑖 chapeau sur les coordonnées deux, moins un, moins deux et 𝑗 chapeau sur les coordonnées zéro, un, un. Remarquez, cela signifie que la matrice codant notre transformation comporte trois lignes et deux colonnes, ce qui, pour utiliser une terminologie standard, en fait une matrice trois par deux.

Dans le langage de la dernière vidéo, l’espace des colonnes de cette matrice, l’endroit où tous les vecteurs atterrissent, est un plan 2D découpant l’origine de l’espace 3D. Mais la matrice a toujours le rang complet, car le nombre de dimensions dans cet espace colonne est le même que le nombre de dimensions de l’espace d’entrée. Donc, si vous voyez une matrice trois par deux dans la nature, vous pouvez savoir qu’elle a l’interprétation géométrique de la correspondance de deux dimensions en trois dimensions, car les deux colonnes indiquent que l’espace d’entrée a deux vecteurs de base et les trois lignes indiquent que les points d’atterrissage de chacun de ces vecteurs de base sont décrits avec trois coordonnées distinctes.

De même, si vous voyez une matrice deux sur trois avec deux lignes et trois colonnes, que pensez-vous que cela signifie ? Eh bien, les trois colonnes indiquent que vous commencez dans un espace comportant trois vecteurs de base, nous partons donc en trois dimensions. Et les deux lignes indiquent que le point d’atterrissage pour chacun de ces trois vecteurs de base est décrit avec seulement deux coordonnées, de sorte qu’ils doivent atterrir dans deux dimensions. Il s’agit donc d’une transformation de l’espace 3D dans le plan 2D ; une transformation qui devrait être très inconfortable si vous imaginez la traverser. Vous pouvez également avoir une transformation de deux dimensions en une seule dimension. L’espace unidimensionnel n’est en réalité que la droite des nombres. La transformation de ce type prend donc des vecteurs 2D et génère des nombres.

Penser aux lignes de la grille qui restent parallèles et régulièrement espacées est un peu compliqué à cause de toute la dilution qui se produit ici. Ainsi, dans ce cas, la compréhension visuelle de ce que signifie la linéarité signifie que si vous avez une ligne de points espacés de manière égale, elle restera espacée de manière égale une fois qu’ils seront transformés sur la droite numérique. L’une de ces transformations est codée avec une matrice un par deux, chacune des deux colonnes ne contenant qu’une seule entrée. Les deux colonnes représentent l’emplacement des vecteurs de base. Et chacune de ces colonnes nécessite un seul nombre, le nombre sur lequel ce vecteur de base s’est posé.

Il s’agit en fait d’un type de transformation étonnamment significatif, étroitement lié au produit scalaire, et je parlerai de cette vidéo. Jusque-là, je vous encourage à jouer avec cette idée par vous-même, en contemplant la signification de choses comme la multiplication matricielle et les systèmes d’équations linéaires dans le contexte de transformations entre différentes dimensions. Amusez-vous bien !

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