Vidéo de la leçon : Fonctions affines Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier, écrire une fonction affine, et comment déterminer sa valeur et compléter son tableau de valeurs.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier, écrire une fonction affine, et comment déterminer sa valeur et compléter son tableau de valeurs.

Une fonction affine est une équation algébrique dont la représentation graphique est une droite. Chaque terme de l’équation est soit une constante, soit un produit d’une constante et d’une variable, 𝑥 par exemple. Mais la variable n’est jamais élevée à une puissance. À chaque valeur prise par la variable la fonction lui associe exactement une image. Toutes ces fonctions sont des exemples de fonctions affines.

On prononce cette première partie 𝑓 de 𝑥. 𝑓 est le nom de la fonction et 𝑥 est ce que l’on entre dans la fonction, c’est la variable sur laquelle elle s’applique. Dans cette fonction par exemple, on prend 𝑥, on le multiplie par deux, puis on y soustrait un. On peut remplacer le 𝑥 par un nombre, tel que cinq et effectuer ensuite la même série d’opérations. La valeur de l’image dépend alors de la valeur de la variable.

Les fonctions affines sont généralement exprimées sous forme réduite. C’est-à-dire 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 plus 𝑏 pour des constantes réelles 𝑎 et 𝑏. Mais ce n’est pas toujours le cas : en définissant 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, on peut par exemple trouver 𝑦 plus 𝑥 égale cinq ou trois 𝑥 moins 𝑦 plus sept égale zéro. Ces équations ont quand même pour représentation graphique une droite, ce sont donc aussi des fonctions affines.

Commençons par voir comment calculer des images pour des fonctions très simples.

Complétez le tableau de valeurs ci-dessous.

La première ligne correspond à la variable. Elle est définie par 𝑥. Et nous avons ensuite une liste de valeurs. Qui sont neuf, cinq et 16. Donc, 𝑥 va être égal à neuf. Ensuite, il sera égal à cinq. Puis à 16. Notre tâche consiste alors à calculer leurs images par la fonction. Et l’image est définie par deux plus x. C’est ce que l’on appelle une fonction. Elle nous indique quoi faire de notre variable. Dans ce cas, elle nous dit de prendre le nombre deux et de lui ajouter 𝑥, qui est la valeur de la variable.

Donc lorsque 𝑥 est égal à neuf, on remplace 𝑥 par neuf. Dans ce cas, l’image est deux plus neuf, ce qui est égal à 11. Donc, la valeur de notre première image est 11. Pour la deuxième image, on remplace 𝑥 par cinq. Et l’image est deux plus cinq, ce qui fait sept.

Il nous reste une image à calculer. Et c’est quand 𝑥 est égal à 16. Dans ce cas, la somme devient deux plus 16, soit 18. Nous avons ainsi déterminé trois images de la fonction deux plus 𝑥. Elles sont égales à 11, 7 et 18. Et il s’agit en fait un exemple de fonction affine. L’image est notée 𝑦 . Ce qui donne 𝑦 égale deux plus 𝑥. Les couples de valeurs correspondent alors à des coordonnées. Lorsque 𝑥 est égal à neuf, 𝑦 est égal à 11. On a un deuxième point : cinq, sept, et un troisième point : 16, 18. Si on les trace sur un repère cartésien, on obtient quelque chose comme cela. Les points se trouvent sur une droite. Et c’est comme ça que nous savons qu’il s’agit d’une fonction affine.

Dans le prochain exemple, nous allons étudier une autre façon de noter une fonction.

Calculez la valeur de 𝑓 de huit sachant que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à trois moins sept 𝑥.

Cette question définit une fonction nommée 𝑓. Le 𝑥 est ce que l’on entre dans la fonction, c’est sa variable. Et nous cherchons la valeur de 𝑓 de huit. N’oubliez pas que la partie à l’intérieur des parenthèses est la valeur de la variable. Donc, nous essayons en fait de savoir que vaut l'image quand la variable est égale à 8. On observe donc la fonction 𝑓 de 𝑥 égale trois moins sept 𝑥. Et chaque fois qu’on voit un 𝑥, on le remplace par huit.

Donc, 𝑓 de huit égale trois moins sept parenthèses huit. Faites attention ici. Une erreur courante consiste à écrire 78. Mais rappelez-vous que sept 𝑥 signifie sept fois 𝑥. Donc, ce terme est en fait sept fois huit.

L’acronyme PEMDAS de l’ordre dans lequel les différentes opérations doivent être effectuées nous dit de multiplier avant de soustraire. On calcule donc sept fois huit en premier, ce qui fait bien sûr 56. 𝑓 de huit est alors égale à trois moins 56. Que l’on doit conserver dans cet ordre. Car on ne calcule pas 56 moins trois. Et trois moins 56 égale moins 53. Donc pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale trois moins sept 𝑥, la valeur de 𝑓 de huit est moins 53.

Nous allons maintenant voir un tableau de valeurs pour une fonction similaire.

Complétez le tableau de valeurs de la fonction 𝑦 égale cinq 𝑥 plus trois.

La première ligne du tableau liste les valeurs de la variables. On a zéro, deux, quatre et cinq. Notre tâche consiste à calculer leurs images par une fonction. Et cette fonction est 𝑦 égale cinq 𝑥 plus trois. La variable est 𝑥, et 𝑦 est l’image. L’image est également parfois notée 𝑓 de 𝑥. Ce qui correspond exactement à la même chose.

On voit donc que l’image par cette fonction est calculée en utilisant l’expression cinq 𝑥 plus trois. Il s’agit d’une fonction. Et elle nous indique quoi faire avec la variable. Dans ce cas, on prend la variable 𝑥, on la multiplie par cinq, puis on ajoute trois. Faisons cela pour chacune des valeurs de la variable.

Elles sont 𝑥 égale zéro, 𝑥 égale deux, 𝑥 égale quatre et 𝑥 égale cinq. Et la fonction est 𝑦 égale cinq 𝑥 plus trois. On commence donc par remplacer 𝑥 par zéro. Et la fonction devient 𝑦 égale cinq fois zéro plus trois. Ce qui fait trois. Donc la première image de notre tableau est trois.

Répétons cette opération pour la deuxième valeur. Cette fois, on remplace 𝑥 par deux. La fonction devient 𝑦 égale cinq fois deux plus trois, ce qui est égal à 13. Donc, la deuxième image est 13.

La troisième valeur est 𝑥 égale quatre. Et on obtient 𝑦 égale cinq fois quatre plus trois, ce qui fait 23. On répète cette opération une fois de plus. La dernière valeur de la variable est cinq. On trouve donc l’image en calculant cinq fois cinq plus trois, soit 28. Les images sont par conséquent trois, 13, 23 et 28.

Revenons un instant au tableau de cet exemple. Entre les trois premières valeurs, on augmente de deux à chaque fois. Et on voit alors que les trois premières images augmentent de 10 à chaque fois. Cette différence constante nous indique qu’il s’agit probablement d’une fonction affine. Rappelez-vous qu’une fonction affine a pour représentation graphique une droite donc c’est en fait logique.

Nous allons maintenant voir comment déterminer une inconnue à partir d’une fonction affine et d’une image.

Déterminez la valeur de 𝑘 sachant que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘𝑥 plus 13 et que 𝑓 de huit égale moins 11.

Voici notre fonction. 𝑓 est en quelque sorte le nom de la fonction. Et 𝑥 est ce que l’on entre dans la fonction, c’est sa variable Nous avons également une information sur la valeur de 𝑓 de huit. Dans ce cas, x prend une valeur spécifique. Il est égal à 8. Et quand la variable est égale à 8, l'image est égale à moins 11. Voyons donc ce qui se passe lorsque l’on met huit dans la définition de la fonction.

𝑓 de huit signifie qu’à chaque fois qu’on voit un 𝑥, on le remplace par huit. 𝑓 de huit devient ainsi 𝑘 fois huit plus 13. Que l’on écrit comme huit 𝑘 plus 13. Mais nous savons bien sûr que 𝑓 de huit est égal à moins 11. Cela doit donc signifier que huit 𝑘 plus 13 égale moins 11. Et comme nous recherchons la valeur de 𝑘, nous devons résoudre cette équation.

On va donc effectuer une série d’opérations pour cela. On commence par soustraire 13 aux deux membres de l’équation. On rappelle que huit 𝑘 plus 13 moins 13 est simplement égal à huit 𝑘. Et moins 11 moins 13 signifie que l’on se déplace de 13 unités vers la gauche sur la droite numérique. Ce qui donne moins 24. Donc, huit 𝑘 égale moins 24.

𝑘 est multiplié par 8. La prochaine opération est alors de diviser les deux membres de l’équation par huit. Cela laisse 𝑘 dans le membre gauche. Et puisque 24 divisé par huit égale trois, moins 24 divisé par huit égale moins trois. Par conséquent, sachant que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘𝑥 plus 13 et que 𝑓 de huit égale moins 11, nous avons déterminé que 𝑘 est égal à moins trois.

Et nous pouvons vérifier notre réponse en définissant à présent 𝑓 de 𝑥 par moins trois 𝑥 plus 13. On a simplement remplacé 𝑘 par moins trois. Et on vérifie que la valeur de 𝑓 de huit est bien moins 11. Donc on remplace 𝑥 par huit. Et on obtient moins trois fois huit plus 13. Ce qui fait moins 24 plus 13, soit moins 11, comme attendu.

Nous allons maintenant voir comment définir une fonction à partir de quelques couples de variables et images de cette fonction.

Déterminez l’expression de la fonction donc le tableau de valeurs est représenté ci-dessous.

Nous avons ici quelques informations sur des valeurs de la variable. Celle-ci est définie par 𝑥. Et les trois valeurs données sont 𝑥 égale un, 𝑥 égale quatre et 𝑥 égale 10. Rappelons comment marche cette fonction. Pour la valeur de la variable un, on obtient une image de neuf. Pour une valeur de de quatre, on obtient une image de 12. Et lorsque l’on utilise 𝑥 égale 10, l’image est 18.

Nous essayons de trouver une formule générale. Nous devons donc déterminer quelle est l’image de 𝑥 par la fonction. Donc, que se passe-t-il à chaque fois? On peut en fait observer que l’on ajoute simplement huit à chaque fois. Un plus huit égale neuf, quatre plus huit égale 12, et 10 plus huit égale 18. La règle consiste donc à ajouter huit à la variable pour obtenir l’image. Mais comment pouvons-nous définir cela algébriquement? Eh bien, si la variable est 𝑥, on lui ajoute huit. Que l’on écrit simplement par 𝑥 plus huit. Et c’est notre résultat. L’expression de la fonction est donc 𝑥 plus huit.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment remplacer la variable par une autre expression algébrique peut affecter une fonction.

Déterminez l’expression de 𝑓 de quatre moins 𝑥, sachant que 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 plus sept.

Ce que cette notation nous indique est que lorsque l’on entre x dans la fonction nommée 𝑓, son image est trois 𝑥 plus sept. Si on modifie la variable, c’est-à-dire que l’on remplace 𝑥 par n’importe quel nombre, on obtient une image différente. Par exemple pour 𝑓 de deux, on remplace 𝑥 par deux. Et l’expression devient trois fois deux plus sept, ce qui donne 13.

Mais la question ne donne aucune valeur numérique. Nous devons en fait déterminer l’expression de 𝑓 de quatre moins 𝑥. Donc, au lieu de remplacer 𝑥 par un nombre tel que deux, on va simplement remplacer 𝑥 par quatre moins 𝑥. 𝑓 de quatre moins 𝑥 est alors égale à trois fois quatre moins 𝑥 plus sept.

On développe, ou distribue, les parenthèses. Ce qui revient à multiplier le quatre par trois et le moins 𝑥 par trois. Trois fois quatre égale 12. Et trois fois 𝑥 égale trois 𝑥. Donc, trois fois moins 𝑥 égale moins trois 𝑥. 𝑓 de quatre moins 𝑥 est donc égale à 12 moins trois 𝑥 plus sept. On regroupe ensuite les termes semblables. 12 plus sept font 19. Et nous concluons que 𝑓 de quatre moins 𝑥 égale moins trois 𝑥 plus 19.

Dans cette vidéo, nous avons vu qu’une fonction affine est une équation algébrique dont la représentation graphique est une droite. Nous avons vu qu’elle prend une variable, généralement 𝑥, et donne une image, généralement 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥. Et que cette variable n’est jamais élevée à une puissance. Nous avons appris que chaque valeur de la variable a exactement une image par la fonction. Et que l’on calcule les images de la fonction en substituant à chaque fois 𝑥 par une valeur. On peut par exemple remplacer 𝑥 par une constante ou par une autre expression.

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