Transcription de la vidéo
Sachant que le vecteur u est égal à moins quatre, moins un et que le vecteur v est égal à moins deux, moins un, exprimez le vecteur w qui est égal à moins huit, moins un en fonction des vecteurs u et v.
Ici, on nous a demandé d’exprimer un vecteur, w, en fonction de deux autres, les vecteurs u et v. Ceci signifie que nous cherchons à pouvoir écrire w comme 𝑚 u plus 𝑘 v avec des valeurs scalaires 𝑚 et 𝑘. C’est-à-dire un multiple de u plus un multiple de v. Nous pouvons remplacer u, v et w par leurs composantes et nous obtenons une équation vectorielle. Le vecteur moins huit, moins un est égal à 𝑚 multiplié par le vecteur moins quatre, moins un plus 𝑘 multiplié par le vecteur moins deux, moins un. Nous rappelons ensuite que pour multiplier un vecteur par un scalaire, nous multiplions simplement chacune de ses composantes par ce scalaire.
Ainsi, pour multiplier le vecteur moins quatre, moins un par 𝑚, nous devons d’abord multiplier 𝑚 par moins quatre, ce qui donne une première composante de moins quatre 𝑚. Puis, nous multiplions 𝑚 par moins un, ce qui donne une deuxième composante de moins 𝑚. De la même manière, pour multiplier le vecteur moins deux, moins un par 𝑘, nous multiplions d’abord 𝑘 par moins deux, donnant une première composante de moins deux 𝑘. Puis, nous multiplions 𝑘 par moins un, ce qui donne une deuxième composante de moins 𝑘. Ensuite, nous devons additionner les deux vecteurs du côté droit. Pour ce faire, nous rappelons que nous pouvons simplement ajouter les parties correspondantes.
Ainsi, la première composante du vecteur à droite sera la somme des premières composantes. Soit moins quatre 𝑚 plus moins deux 𝑘, que nous pouvons écrire comme moins quatre 𝑚 moins deux 𝑘. Puis, la deuxième composante sera la somme de la deuxième composante de chaque vecteur. Soit moins 𝑚 plus moins 𝑘, que nous pouvons écrire comme moins 𝑚 moins 𝑘. Ainsi, nous avons maintenant que le vecteur moins huit, moins un est égal au vecteur moins quatre 𝑚 moins deux 𝑘, moins 𝑚 moins 𝑘. À ce stade, nous rappelons que si deux vecteurs sont égaux, cela signifie que leurs composantes individuelles sont égales.
Ainsi, la première composante du vecteur sur le côté gauche doit être égale à la première composante sur le côté droit. Cela nous donne une équation sans vecteurs. Moins huit est égal à moins quatre 𝑚 moins deux 𝑘. De la même manière, l’équation des deuxièmes composantes de nos vecteurs donne l’équation moins un égale moins 𝑚 moins 𝑘. Nous avons maintenant une paire d’équations linéaires simultanées en les scalaires 𝑚 et 𝑘. Ainsi, nous pouvons résoudre ces équations simultanées pour trouver leurs valeurs.
Tout d’abord, nous pouvons simplifier légèrement chaque équation. La première équation peut être divisée par moins deux pour donner l’équation simplifiée deux 𝑚 plus 𝑘 égale quatre. La deuxième équation peut être divisée par moins un pour donner l’équation simplifiée 𝑚 plus 𝑘 égale un. Nous voyons alors que nous avons le même coefficient pour 𝑘 dans chacune de nos équations. Ainsi, si nous soustrayons la deuxième équation de la première, cela éliminera les termes en 𝑘. Sur le côté gauche, deux 𝑚 plus 𝑘 moins 𝑚 moins 𝑘 devient 𝑚. Sur le côté droit, quatre moins un est égal à trois. En fait, nous avons donc trouvé la valeur de 𝑚. 𝑚 est égal à trois.
Nous pouvons alors substituer cette valeur de 𝑚 dans notre équation la plus simple, qui est l’équation 𝑚 plus 𝑘 égale un. Ainsi, nous avons que trois plus 𝑘 est égal à un. Cette équation peut être résolue en soustrayant trois de chaque côté pour donner 𝑘 est égal à moins deux. Nous avons donc trouvé les valeurs de nos deux scalaires 𝑚 et 𝑘. Enfin, nous pouvons revenir à l’affirmation avec laquelle nous avons commencé, à savoir que le vecteur w est égal à un scalaire multiplié par u plus un scalaire multiplié par v et substituer les valeurs de 𝑚 et 𝑘.
Nous avons alors constaté que le vecteur w peut être exprimé en fonction des vecteurs u et v comme w est égal à trois u moins deux v. Nous pouvons, bien sûr, vérifier cela manuellement en recalculant le vecteur trois u moins deux v. Si nous le faisons, nous constatons que nous obtenons le vecteur moins huit, moins un, qui est en effet égal au vecteur w. Ainsi, notre réponse est correcte.