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Vidéo question :: Déterminer le rayon d’un cercle compte tenu de l’aire d’un segment circulaire et de l’angle au centre Mathématiques • Première année secondaire

L’aire d’un segment circulaire est 34 cm² et l’angle au centre mesure 75 °. Déterminez le rayon du cercle en donnant la réponse au centimètre près.

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Transcription de la vidéo

L’aire d’un segment circulaire est 34 centimètres carrés et l’angle au centre mesure 75 degrés. Déterminez le rayon du cercle en donnant la réponse au centimètre près.

Commençons par esquisser ce segment circulaire. Ici, nous avons un cercle. Un secteur de ce cercle sera entouré d’un arc et de deux rayons du cercle. L’angle au centre du secteur est l’angle au centre du cercle, l’angle entre les deux rayons vaut 75 degrés. Il ne s’agit pas d’un segment mais d’un secteur.

Pour créer un segment, nous dessinons une corde reliant les extrémités des deux rayons. Le segment est cette partie indiquée en rose, délimitée par un arc et une corde qui passe par les extrémités de l’arc. On nous dit que l’aire de ce segment circulaire vaut 34 centimètres carrés. Et nous voulons déterminer le rayon du cercle. En général, l’aire d’un segment circulaire peut être trouvée comme la différence entre l’aire d’un secteur circulaire, c’est cette aire délimitée en orange, et l’aire du triangle formé par les deux rayons et la corde. C’est la forme en vert.

Il existe des formules que nous pouvons utiliser pour calculer les aires de chacune de ces figures. L’aire d’un secteur avec un angle au centre de thêta degrés et un rayon de 𝑟 unités est pi 𝑟 au carré thêta sur 360. Et en utilisant la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle, l’aire de ce triangle vert est un demi fois 𝑟 au carré sinus thêta. Une forme factorisée de cette expression est 𝑟 au carré sur deux multiplié par pi thêta sur 180 moins sinus thêta. Et nous pouvons, en fait la mémoriser comme une formule générale.

Maintenant, nous savons que la valeur de thêta, l’angle au centre du secteur, est de 75 degrés. Et nous connaissons également l’aire du segment. On nous dit dans la question qu’elle vaut 34 centimètres carrés. En substituant ces valeurs, nous avons une équation. On a 34 égale 𝑟 au carré sur deux multiplié par 75 pi sur 180 moins sinus de 75 degrés. Et nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer la valeur de 𝑟.

Nous allons commencer par multiplier les deux membres de l’équation par deux pour avoir 68 égale 𝑟 carré multiplié par 75 pi sur 180 moins sinus de 75 degrés. Maintenant, nous pouvons évaluer cette constante de 75 pi sur 180 moins sinus de 75 degrés, et cela donne 0,343 etc. Mais nous conserverons cette valeur exacte sur l’écran de notre calculatrice afin d’éviter toute erreur d’arrondi.

Nous pouvons ensuite diviser les deux membres de l’équation par cette valeur pour donner 𝑟 au carré égale 68 sur 0,343 etc…, ce qui fait 198,209 etc… Pour trouver 𝑟, nous prenons ensuite la racine carrée de cette valeur. Et rappelez-vous, nous conserverons les valeurs exactes sur l’écran de notre calculatrice afin que notre réponse finale soit aussi précise que possible. Cela donne 14,078 etc…

La question précise que nous devons donner notre réponse au centimètre près. Nous allons donc arrondir cette valeur à l’entier le plus proche, c’est-à-dire 14. Et nous incluons les unités. Nous avons alors déterminé que le rayon de ce cercle mesure 14 centimètres, au centimètre près.

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