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Vidéo question :: Trouver des matrices inconnues en utilisant les propriétés des transposées Mathématiques • Première année secondaire

Sachant que 𝐵^(T) + 𝐶^(T) = [4 ; 4 et 10 ; -3], 𝐴 = [-4 ; 1 et 0 ; -1], déterminez la matrice 𝑋 qui satisfait la relation 𝑋 = (𝐴𝐵 + 𝐴𝐶)^(T).

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Transcription de la vidéo

Sachant que la transposée de 𝐵 plus la transposée de 𝐶 est égale à la matrice carrée quatre, quatre, 10, moins trois, 𝐴 est égale à la matrice carrée moins quatre, un, zéro, moins un, déterminez la matrice 𝑋 qui satisfait la relation 𝑋 égale la transposée de 𝐴𝐵 plus 𝐴𝐶.

On va commencer par rappeler la définition de la transposée d'une matrice. En particulier, nous nous intéressons à la transposée d'une matrice deux fois deux, puisque les deux matrices qui nous sont données sont d'ordre deux fois deux. Supposons que 𝑀 soit une matrice deux fois deux dont les éléments sont 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. La transposée est représentée par 𝑀 avec un T majuscule en exposant. La transposée de 𝑀 est la matrice deux fois deux 𝑎, 𝑐, 𝑏, 𝑑. On la trouve en permutant les lignes et les colonnes. Les éléments de la diagonale, 𝑎 et 𝑑, restent inchangés. Mais si on considère les éléments 𝑏 et 𝑐, on constate qu'ils se sont échangés.

Dans notre exemple, on recherche la matrice 𝑋 définie par la transposée de 𝐴𝐵 plus 𝐴𝐶. Pour donner un sens à cette expression, nous devons rappeler quelques autres propriétés matricielles pertinentes. Rappelons que la multiplication matricielle est distributive par rapport à l'addition, tant que 𝐴 est d'ordre 𝑚 fois 𝑛 et que 𝐵 et 𝐶 sont d'ordre 𝑛 fois 𝑝. Comme nous travaillons avec des matrices deux fois deux, la condition d'ordre est satisfaite. Par conséquent, 𝐴 fois la somme de 𝐵 et 𝐶 est égale à 𝐴𝐵 plus 𝐴𝐶 pour toutes les matrices deux fois deux.

Rappelons également la propriété de la distributivité de la transposée d'une somme de matrices, qui dit que pour deux matrices 𝐵 et 𝐶 du même ordre, la transposée de 𝐵 plus 𝐶 est égale à la transposée de 𝐵 plus la transposée de 𝐶. Finalement, on rappelle que la multiplication matricielle combinée avec la transposée satisfait la propriété suivante. Étant donné les matrices 𝐴 et 𝐵 avec un produit bien défini 𝐴𝐵, la transposée de 𝐴𝐵 est égale au produit des transposées de chaque matrice dans l'ordre inverse.

Pour donner un sens à l'expression définissant 𝑋, nous allons utiliser la première propriété de distributivité des matrices. Ainsi, on peut réécrire 𝐴𝐵 plus 𝐴𝐶 comme 𝐴 fois la somme de 𝐵 plus 𝐶. On peut maintenant utiliser la propriété de transposée et de multiplication. Cette propriété nous permet d'écrire la transposée du produit de 𝐴 et 𝐵 plus 𝐶 comme la transposée de 𝐵 plus 𝐶 fois la transposée de 𝐴. Ensuite, nous allons utiliser la propriété de distributivité pour la transposée d'une somme. On réécrit donc la transposée de 𝐵 plus 𝐶 comme la transposée de 𝐵 plus la transposée de 𝐶. La somme de la transposée de 𝐵 et de la transposée de 𝐶 nous a été donnée. On peut donc maintenant remplacer la matrice quatre, quatre, 10, moins trois dans notre équation.

Maintenant, il ne reste plus qu'à trouver la transposée de 𝐴 et à effectuer une multiplication matricielle. On trouve la transposée de la matrice 𝐴 en échangeant les lignes et les colonnes. Ainsi, la première ligne de la matrice 𝐴 avec les éléments moins quatre et un devient la première colonne de la matrice transposée de 𝐴. Par la suite, la deuxième ligne de 𝐴 devient la deuxième colonne de la transposée de 𝐴. Ainsi, la deuxième colonne contiendra les éléments zéro et moins un. On peut maintenant remplacer la transposée de la matrice 𝐴 dans notre équation. On utilisera la multiplication matricielle pour trouver le produit de quatre, quatre, 10, moins trois et moins quatre, zéro, un, moins un. Faisons un peu de place pour cette multiplication matricielle.

Rappelons que la procédure de multiplication matricielle fait intervenir la somme des produits des éléments correspondants de chaque matrice. En particulier, la multiplication matricielle entre deux matrices carrées 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 et 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ est définie comme 𝑎𝑒 plus 𝑏𝑔, 𝑎𝑓 plus 𝑏ℎ, 𝑐𝑒 plus 𝑑𝑔, et 𝑐𝑓 plus 𝑑ℎ.

On obtient les résultats de cette multiplication : quatre fois moins quatre plus quatre fois un. Le deuxième élément est calculé par quatre fois zéro plus quatre fois moins un. Le troisième élément est déterminé par la somme de 10 fois moins quatre et moins trois fois un. Enfin, notre dernier élément est la somme de 10 fois zéro et de moins trois fois moins un. En utilisant l'ordre standard des opérations, nous effectuons d'abord les multiplications. Ensuite, nous évaluons les quatre sommes restantes. Le résultat est la matrice 𝑋 dont les éléments sont moins 12, moins quatre, moins 43 et trois.

En résumé, nous avons utilisé les propriétés des matrices et des matrices transposées pour trouver 𝑋, la transposée de 𝐴𝐵 plus 𝐴𝐶.

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