Transcription de la vidéo
On sait que la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑏 le tout divisé par 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 plus six si 𝑥 est strictement inférieur à deux et 𝑓 de 𝑥 est égal à six 𝑥 si 𝑥 est strictement supérieur à deux admet une limite en 𝑥 est égal à deux. Déduisez-en les valeurs de 𝑎 et 𝑏.
On nous dit que la limite de la fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux existe. Ainsi, on nous demande de trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏, qui permettent de vérifier cela Nous pouvons commencer par poser la question. Qu’est-ce que cela signifie que la limite de notre fonction 𝑓 de 𝑥 existe lorsque 𝑥 tend vers deux ? La limite d’une fonction lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 existe si les limites à gauche et à droite de la fonction existent. De plus, il faut que ces deux limites sont égales. Cela signifie qu’il y a trois parties pour vérifier que la limite dans notre question existe. Nous devons avoir que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux à gauche existe. Il faut aussi que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux à droite existe. Enfin, nous devrions également voir que ces deux limites sont égales.
Commençons par la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux à droite. Puisque les valeurs de 𝑥 se rapprochent de deux par la droite, il faut que 𝑥 soit supérieur à deux. De la question, nous pouvons voir que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à six 𝑥 lorsque 𝑥 est supérieur à deux. Puisque notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à six 𝑥 pour tout 𝑥 supérieur à deux, nous pouvons simplement remplacer le 𝑓 de 𝑥 dans notre limite à droite par six 𝑥. Nous savons également que nous pouvons évaluer la limite de n’importe quel polynôme en utilisant la substitution directe. Nous substituons la valeur de deux dans notre fonction six 𝑥 pour obtenir six multiplié par deux. Nous pouvons ensuite évaluer cela pour nous donner 12. Nous avons donc montré que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux à droite est égale à 12.
Maintenant, puisque la question nous dit que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de deux existe, il faut que les trois parties de notre définition de limite soient vraies. En particulier, cela signifie que les limites gauche et droite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux doivent être égales. Nous venons de montrer que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux à droite est égale à 12. Cela signifie que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux à partir de la gauche doit être égale à 12. Maintenant que nous voyons que cette limite est égale à 12, essayons d’évaluer la limite à gauche. Puisque nos valeurs de 𝑥 tendent vers deux par la gauche, nous devons avoir 𝑥 inférieur à deux. De la question, nous pouvons voir que lorsque 𝑥 est inférieur à deux, notre fonction est égale à 𝑥 au carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑏 le tout divisé par 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 plus six. Puisque notre fonction 𝑓 de 𝑥 est exactement égale à cette fonction rationnelle lorsque 𝑥 est inférieur à deux, nous pouvons remplacer la fonction 𝑓 de 𝑥 dans notre limite par cette fonction rationnelle.
Nous savons également que nous pouvons évaluer la limite d’une fonction rationnelle en utilisant la substitution directe. Nous substituons la valeur de deux dans la fonction rationnelle. Ceci nous donne deux au carré plus 𝑎 multiplié par deux plus 𝑏 le tout divisé par deux au carré moins cinq fois deux plus six. Nous pouvons simplifier ceci pour obtenir quatre plus deux 𝑎 plus 𝑏 le tout divisé par zéro. Il s’agit d’une forme indéterminée. Cependant, on nous dit dans la question que cette limite existe. Nous savons aussi que cette limite doit être égale à 12. Nous savons que si notre numérateur constant de quatre plus deux 𝑎 plus 𝑏 était positif, cette limite serait égale à plus l’infini. De même, si ce numérateur était négatif, notre limite serait égale à moins l’infini. Puisque nous savons que cette limite doit être égale à 12, la seule option est que notre substitution directe de 𝑥 égale deux doit nous avoir donné la forme indéterminée zéro divisé par zéro. Ainsi, notre numérateur est égal à zéro lorsque nous substituons 𝑥 est égal à deux. Par conséquent, nous pouvons utiliser le théorème de factorisation pour voir que le numérateur a un facteur de 𝑥 moins deux.
En assimilant les coefficients de 𝑥 au carré, nous pouvons voir que 𝑐 doit être égal à un. De même, en assimilant les constantes, nous aurons que 𝑑 est égal à moins 𝑏 divisé par deux. Enfin, si nous devions assimiler les coefficients de 𝑥, nous aurions que 𝑎 est égal à moins 𝑏 divisé par deux moins deux. Nous pouvons alors réécrire la limite dans notre numérateur avec 𝑥 moins deux multiplié par 𝑥 moins 𝑏 sur deux. De même, nous pourrions également factoriser le dénominateur de notre limite pour obtenir 𝑥 moins deux multiplié par 𝑥 moins trois. Nous pouvons alors annuler ce facteur commun de 𝑥 moins deux. Ceci nous donne la limite de 𝑥 moins 𝑏 sur deux le tout divisé par 𝑥 moins trois lorsque 𝑥 tend vers deux à gauche. Encore une fois, nous pouvons voir qu’il s’agit de la limite d’une fonction rationnelle.
Nous pouvons donc résoudre ce problème en utilisant la substitution directe. Nous substituons donc deux dans notre expression pour nous donner deux moins 𝑏 sur deux, le tout divisé par deux moins trois. Nous pouvons simplifier pour nous donner 𝑏 sur deux moins deux. Puisque notre limite est égale à 12, nous obtenons une expression pour 𝑏, qui est 12 est égal à 𝑏 sur deux moins deux. Nous pouvons résoudre ceci pour nous donner que 𝑏 est égal à 28. Nous avons vu plus tôt que 𝑎 était égal à moins 𝑏 sur deux moins deux. Nous pouvons alors substituer notre valeur de 𝑏 égale 28 dans cette expression. Après avoir pose que 𝑎 est égal à moins 28 sur deux moins deux, nous pouvons calculer ceci pour obtenir 𝑎 est égal à moins 16.
Par conséquent, nous pouvons conclure que la limite de la fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux existera lorsque 𝑎 égale moins 16. Avec 𝑏 est égal à 28.
