Transcription de la vidéo
On considère les points ci-dessous. Lequel des points illustrés a pour coordonnées polaires trois, 15𝜋 sur quatre?
On nous donne une figure avec cinq points places sur un diagramme polaire : les points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸. Nous devons décider lequel de ces points a pour coordonnées trois, 15𝜋 sur quatre. Commençons par rappeler ce que nous entendons par coordonnées polaires. Si le point 𝑃 a pour coordonnées polaires 𝑟, 𝜃, où notre valeur de 𝑟 est supérieure ou égale à zéro, alors 𝑟 représente la distance entre le point 𝑃 et l’origine. Alternativement, il s’agit de la longueur du vecteur 𝐎𝐏.
Ensuite, nous savons que la valeur de 𝜃 sera l’angle que le vecteur 𝐎𝐏 fait avec l’axe des 𝑥 positifs mesuré dans le sens trigonométrique. Pour les coordonnées polaires, cet angle est souvent mesuré en radians. Le point qui nous est donné dans la question est le point trois, 15𝜋 sur quatre. Ainsi, notre valeur de 𝑟 est trois et notre valeur de 𝜃 est 15𝜋 sur quatre.
Nous pouvons voir que cela est mesuré en radians. Il existe différentes façons de résoudre cette question. Par exemple, nous pourrions être tentés de trouver les coordonnées polaires des cinq points qui nous sont donnés dans la figure. Cependant, nous allons plutôt utiliser les coordonnées qui nous ont été données pour trouver où elles pourraient se trouver dans notre diagramme.
Premièrement, nous savons que notre valeur de 𝑟 est égale à trois. Cela signifie que la distance entre notre point et l’origine est égale à trois. Nous pourrions donc nous demander quel point se trouve à trois unités de l’origine. Bien sûr, nous savons que l’ensemble de tous les points à trois unités de l’origine est un cercle de rayon trois centré en l’origine.
En fait, puisque nous avons un diagramme polaire, nous pouvons simplement le tracer sur notre graphique. Ainsi, vu que cette coordonnée a une valeur 𝑟 de trois et que chaque point de distance trois de l’origine se trouve sur ce cercle, notre point doit se trouver sur ce cercle. Nous pouvons voir que le point 𝐶 ne se trouve pas sur ce cercle. Par conséquent, le point 𝐶 ne peut pas avoir pour coordonnées polaires trois, 15𝜋 sur quatre.
Maintenant, passons à notre angle. On nous dit que la valeur de 𝜃 est de 15𝜋 sur quatre. Cela nous dit que l’angle que fait le vecteur 𝐎𝐏 avec l’axe des 𝑥 positif mesuré dans le sens trigonométrique sera de 15 𝜋 sur quatre. En fait, on nous donne un diagramme polaire. Sur celui-ci, certains rayons de différentes valeurs de 𝜃 nous sont donnés dans la figure.
Nous pouvons voir que 15𝜋 sur quatre est plus grand que toutes ces valeurs. Nous savons en effet qu’un tour complet de notre axe nous donnera une valeur de deux 𝜋. En fait, nous pouvons voir que la valeur de 15𝜋 sur quatre est supérieure à deux 𝜋. Cela signifie qu’il est plus grand qu’un tour complet. Nous devons donc trouver un angle équivalent.
Pour ce faire, nous allons simplement retirer deux 𝜋 de notre valeur de 15𝜋 sur quatre. Si nous évaluons cette expression, nous obtenons sept 𝜋 sur quatre. Cela signifie que notre angle de 15𝜋 sur quatre correspond à un tour complet, puis à un tour supplémentaire de sept 𝜋 sur quatre. En d’autres termes, ce que nous avons montré est que le point qui nous est donné dans la question est en fait équivalent au point de coordonnées polaires donné par trois, sept 𝜋 sur quatre.
À ce stade, il y a encore quelques façons différentes de trouver où notre angle de sept 𝜋 sur quatre sera sur la figure. Une façon de le faire est de calculer sept 𝜋 sur quatre divisé par deux 𝜋. Il s’agit de notre angle divisé par deux 𝜋, qui fait un tour complet. Cela nous indiquera quelle proportion d’un tour complet notre angle mesure. Si nous évaluons cette expression, nous voyons qu’elle est égale à sept sur huit. Notre angle représente donc sept huitièmes d’un tour complet. Nous pouvons très facilement savoir où se situe les sept huitièmes de tour sur notre diagramme.
Chaque quadrant correspond à un quart de tour. Nous avons donc un quart, deux quarts, trois quarts. Puis, bien sûr, les sept huitièmes sont au milieu de ce quadrant. Ainsi, notre point doit être sur ce rayon. Nous voyons que le seul point correspondant est le point 𝐷. Par conséquent, notre réponse est le point 𝐷.
Par conséquent, nous avons pu montrer que sur les cinq points qui nous sont donnés dans la figure, le point 𝐷 est équivalent au point de coordonnées polaires trois, 15𝜋 sur quatre.