Transcription de la vidéo
Sachant que 𝑓 de 𝑥 est égal à moins 𝑥 au carré plus 𝑚𝑥 plus un, déterminez 𝑚 quand 𝑓 prime de trois est égal à un.
En observant la fonction qui nous a été donnée, nous pouvons voir que 𝑚 représente un coefficient manquant dans ce polynôme 𝑓 de 𝑥. Et nous devons déterminer sa valeur. On nous donne également que 𝑓 prime de trois est égal à un, ce qui signifie que la dérivée première de notre fonction 𝑓 calculée en 𝑥 égal à trois est un.
Pour répondre à cette question, on doit trouver une expression pour la dérivée première de la fonction. Et comme 𝑓 de 𝑥 est un polynôme, nous pouvons le faire en appliquant la propriété de la dérivation d’une puissance. Elle nous indique que, pour tout nombre réel 𝑎 et 𝑛, la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 est égale à 𝑎𝑛𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous avons multiplié par l’exposant initial de 𝑛 puis réduit l’exposant par un.
On sait également que si on veut trouver la dérivée d’une somme ou d’une différence de termes ou de fonctions, alors elle est égale à la somme ou à la différence de leurs dérivées individuelles, ce qui signifie que nous pouvons les dériver terme par terme et ajouter leurs dérivées individuelles ensemble. Trouvons une expression générale pour 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée première de cette fonction. L’application de la propriété de la dérivation d’une puissance au premier terme donne moins deux 𝑥.
Afin de dériver le deuxième terme, nous pouvons trouver utile de penser à 𝑥 comme 𝑥 à la puissance un. Et puis, en appliquant la propriété de la dérivation d’une puissance, on trouve que la dérivée de 𝑚𝑥 à la puissance un sera égale à 𝑚 multiplié par un multiplié par 𝑥 à la puissance zéro. De la même manière, nous pouvons trouver utile de penser à la constante un comme un multiplié par 𝑥 à la puissance zéro. Alors, en appliquant la propriété de la dérivation d’une puissance, on a un multiplié par zéro multiplié par 𝑥 à la puissance zéro moins un.
Nous rappelons cependant que 𝑥 à la puissance zéro vaut un. Et multiplier par zéro donne toujours zéro. Donc, en fait, la dérivée de notre dernier terme est juste zéro. Et la dérivée de notre deuxième terme est simplement 𝑚 multipliée par un. Notre expression pour 𝑓 prime de 𝑥 se simplifie donc en moins deux 𝑥 plus 𝑚.
Maintenant, rappelons que la dérivée première calculée en 𝑥 égal à trois vaut un. Donc, substituer trois à 𝑥 et un à 𝑓 prime de 𝑥 donne l’équation un égale moins deux multipliée par trois plus 𝑚. Cela se simplifie à un est égal à moins six plus 𝑚. Et puis, en ajoutant six à chaque membre, on constate que la solution à cette équation est 𝑚 est égal à sept.
Nous avons donc terminé le problème. Nous avons utilisé la propriété de la dérivation d’une puissance pour trouver une expression générale de la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥. Et puis, nous avons utilisé le fait que la valeur de la dérivée première lorsque 𝑥 est égal à trois vaut un pour former une équation. Nous avons donc trouvé que le coefficient manquant 𝑚 est égal à sept.