Transcription de la vidéo
92 étudiants ont réalisé un quiz et leurs scores ont été enregistrés dans le tableau des effectifs ci-dessous. Calculez l’écart-type au centième près.
Les données sur les scores obtenus par les 92 élèves du quiz ont été présentées dans un tableau des effectifs. Nous savons qu’il y a 26 étudiants qui ont obtenu une note supérieure à zéro et inférieure à 20, mais nous ne connaissons les notes exactes d’aucun des étudiants. On nous demande de trouver l’écart-type des notes, qui est une mesure de leur dispersion par rapport à leur valeur moyenne. Puisque nous ne connaissons aucune des valeurs exactes de l’ensemble de données, notre réponse sera une estimation.
Nous rappelons que pour un ensemble de données avec une valeur moyenne de 𝜇 et des valeurs de données 𝑥 un, 𝑥 deux jusqu’à 𝑥 𝑛 avec les fréquences 𝑓 un, 𝑓 deux, jusqu’à 𝑓 𝑛, l’écart-type est donné par Σ 𝑥 est égal à la racine carré de la somme de 𝑖 est égal à un à 𝑛 de 𝑥 𝑖 moins 𝜇 au carré multiplié par 𝑓 𝑖 sur la somme de 𝑖 est égal à un à 𝑛 de 𝑓 𝑖. Voyons ce que signifie chacune de ces notations. Au dénominateur de la fraction sous la racine carrée, nous avons la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑓 𝑖. Il s’agit de la somme des fréquences ou en d’autres termes la fréquence totale. Au numérateur, nous avons 𝑥 𝑖 moins 𝜇 le tout au carré, nous soustrayons donc la moyenne à chaque valeur des données, puis nous mettons le tout au carré. Nous multiplions par la fréquence pour cette valeur obtenue, puis prenons la somme.
Nous devons également rappeler que pour calculer la moyenne d’un ensemble de données présentées dans un tableau de fréquences, nous utilisons la formule de la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑥 𝑖 multipliée par 𝑓 𝑖 sur la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑓 𝑖. Maintenant, la différence ici est qu’au lieu d’avoir une seule valeur 𝑥 pour chaque point de données, on nous donne des intervalles. Par conséquent, nous ne pouvons pas appliquer directement les formules que nous avons écrites. Au lieu de cela, nous utiliserons le milieu de chaque intervalle comme valeur 𝑥 𝑖 pour cet intervalle car il s’agit de la meilleure estimation de ce que sont les valeurs 𝑥 avec le moins d’erreur en moyenne.
Pour trouver le milieu de chaque intervalle, nous calculons la moyenne des extrémités de cet intervalle, donc zéro plus 20 sur deux, ce qui donne un milieu de 10, 20 plus 40 sur deux, ce qui donne un milieu de 30, et ainsi de suite pour avoir les points médians finaux 50, 70 et 90. Maintenant, les fréquences 𝑓 𝑖 nous sont données dans la deuxième ligne du tableau. Nous devons trouver la moyenne 𝜇 avant de pouvoir trouver l’écart-type, nous allons donc ajouter une autre ligne à notre tableau, dans laquelle nous calculons 𝑥 𝑖 multiplié par 𝑓 𝑖. Il s’agit du milieu de chaque intervalle multiplié par sa fréquence. Cela donne les valeurs 260, 300, 1200, 350 et 2430. La somme de ces cinq valeurs donne 4540.
Nous savons déjà que la fréquence totale, soit la somme 𝑖 égale un à cinq de 𝑓 indice 𝑖, vaut 92. Nous pouvons donc maintenant calculer la moyenne de l’ensemble de données. Cela donne 4540 sur 92. Dans sa forme fractionnaire la plus simple, nous obtenons 1135 sur 23 et, sous sa forme décimale, nous obtenons 49,34.
Nous avons donc calculé une estimation pour la moyenne de l’ensemble de données et nous devons maintenant rechercher l’écart-type. Nous allons devoir ajouter différentes lignes à notre tableau : une pour soustraire la moyenne de chacun des points médians, une pour mettre au carré chacune de ces valeurs et la dernière ligne pour multiplier par la fréquence correspondante. Nous allons utiliser des valeurs exactes pour chaque opération. Ainsi, pour soustraire la moyenne de chaque point médian, nous allons soustraire 1135 sur 23. Cela donne les valeurs moins 39,3478 etc. moins 19,3478 etc. 0,6521 etc. 20,6521 etc. et 40,6521 etc.
Nous allons ensuite mettre au carré chacune de ces valeurs ; en fait, vous trouverez peut-être plus efficace de mettre chaque valeur au carré immédiatement après l’avoir calculée. Nous remplissons donc cette ligne du tableau. Ensuite, nous devons multiplier chacune de ces valeurs par la fréquence de cette classe. Encore une fois, vous trouverez peut-être plus efficace de faire cela lorsque vous calculez chaque valeur. Ainsi, vous préférerez peut-être travailler colonne par colonne plutôt que ligne par ligne.
Nous avons maintenant complété le tableau. Pour trouver l’écart-type, nous devons calculer la somme des cinq valeurs de la ligne inférieure du tableau, la diviser par la fréquence totale, soit 92, puis prendre la racine carrée. Cela donne la racine carrée de 90760,8695 etc. sur 92. En nombre décimal, cela donne 31,4090. Puis, nous arrondissons au centième près, comme requis, pour avoir 31,41. Nous avons alors constaté que l’écart-type des notes, qui, rappelons-le, est une estimation car les données ont été regroupées, est de 31,41 au centième près.