Transcription de la vidéo
Caclulez la limite lorsque 𝑥 tend vers moins neuf de 𝑓 de 𝑥, où 𝑓 de 𝑥 égale moins huit plus la valeur absolue de 𝑥 plus neuf si 𝑥 n’est pas égal à moins neuf et 𝑓 de 𝑥 égale moins sept lorsque 𝑥 est égal à moins neuf.
Dans cette question, on nous donne une fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥 et on nous demande de trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers moins neuf de cette fonction 𝑓 de 𝑥. Il existe différentes méthodes que nous pourrions utiliser pour évaluer cette limite. Nous n’en examinerons qu’une seule.
Puisque notre fonction 𝑓 de 𝑥 est une fonction définie par morceaux, nous pourrions être tentés de commencer par regarder les limites à gauche et à droite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins neuf. Cela fonctionnerait et nous donnerait la bonne réponse. Cependant, nous pouvons faciliter cela en remarquant quelque chose à propos des sous-domaines.
Notre fonction 𝑓 de 𝑥 a deux sous-domaines : 𝑥 n’est pas égal à moins neuf et 𝑥 est égal à moins neuf. Rappelez-vous, lorsque nous prenons la limite d’une fonction lorsque 𝑥 tend vers moins neuf, nous n’avons pas besoin de savoir ce qui arrive à notre fonction lorsque 𝑥 égale moins neuf. Nous ne sommes intéressés par les sorties de notre fonction que lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins neuf dans les deux sens. Par conséquent, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à moins huit plus la valeur absolue de 𝑥 plus neuf lorsque 𝑥 n’est pas égale à moins neuf. Ainsi, leurs limites lorsque 𝑥 tend vers moins neuf doivent également être identiques.
Maintenant, nous évaluons simplement la limite d’une somme d’une fonction constante et d’une fonction de valeur absolue. Nous rappelons que nous pouvons évaluer la limite des fonctions de valeur absolue en utilisant la substitution directe. Nous substituons donc 𝑥 est égal à moins neuf dans notre fonction. Cela nous donne moins huit plus la valeur absolue de moins neuf plus neuf. Puisque moins neuf plus neuf est égal à zéro et que la valeur absolue de zéro est juste zéro, cela nous donne juste moins huit, ce qui est notre réponse finale.
Par conséquent, nous avons pu montrer que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins neuf de 𝑓 de 𝑥 est égal à moins huit plus la valeur absolue de 𝑥 plus neuf lorsque 𝑥 n’est pas égal à moins neuf et 𝑓 de 𝑥 est égal à moins sept lorsque 𝑥 est égal à moins neuf est moins huit.