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Écrivez 𝐀 sous forme de composantes.
Alors, dans cette question, nous avons un diagramme qui montre un vecteur représenté par une flèche bleue et étiqueté 𝐀. On nous demande d’écrire ce vecteur 𝐀 sous forme de composante. Nous pouvons rappeler que pour écrire un vecteur sous forme de composantes, il faut l’écrire avec une expression comme celle-ci. Donc, c’est une composante 𝑥, que nous avons appelée 𝑎 indice 𝑥, multipliée par 𝐢 chapeau, qui est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥, plus une composante 𝑦, que nous avons appelée 𝑎 indice 𝑦, multipliée par 𝐣 chapeau, le vecteur unitaire dans la direction 𝑦.
La direction 𝑥 est la direction horizontale. Et ainsi sur notre diagramme, l’axe horizontal sera l’axe des 𝑥. De même, la direction 𝑦 est verticale, et donc l’axe vertical est l’axe 𝑦.
Un vecteur unitaire est un vecteur de norme ou de longueur égale à un. Alors, 𝐢 chapeau est un vecteur qui pointe dans le sens positif suivant 𝑥 avec une norme de un, donc c’est un carré dans notre diagramme. De même, 𝐣 chapeau est un vecteur dont la norme est de un, donc c’est une longueur d’un carré qui pointe dans le sens positif suivant 𝑦.
Avec cette compréhension des vecteurs unitaires 𝐢 chapeau et 𝐣 chapeau, nous pouvons voir que puisque 𝐢 chapeau définit la direction 𝑥, alors 𝑎 indice 𝑥 doit être la composante 𝑥 de 𝐀. Et de même, puisque 𝐣 chapeau définit la direction 𝑦, alors 𝑎 indice 𝑦 doit être la composante 𝑦 de 𝐀. Pour écrire le vecteur 𝐀 sous forme de composantes, il faut trouver les valeurs de ses composantes 𝑥 et 𝑦, 𝑎 indice 𝑥 et 𝑎 indice 𝑦.
Commençons par la composante 𝑥, c’est donc 𝑎 indice 𝑥. Pour trouver la valeur de 𝑎 indice 𝑥, nous devons tracer une ligne verticalement à partir de la pointe du vecteur 𝐀 jusqu’à ce que nous arrivions à l’axe des 𝑥. Ensuite, nous devons compter le nombre de carrés de l’origine jusqu’à ce que nous trouvions le point d’intersection de cette ligne avec l’axe. En comptant ces carrés, nous trouvons qu’il y en a un, deux, trois, quatre.
Cependant, le sens positif suivant 𝑥 tel que défini par le vecteur unitaire 𝐢 chapeau est vers la droite. Et nous avons compté nos carrés vers la gauche. Cela signifie que nous avons compté nos quatre carrés dans le sens négatif suivant l’axe 𝑥. Et donc la composante 𝑥 de 𝐀 est égale à moins quatre. Cette composante 𝑥 de 𝐀 que nous avons trouvée est la valeur de 𝑎 indice 𝑥. Nous avons donc trouvé que 𝑎 indice 𝑥 est égal à moins quatre.
Maintenant, nous devons faire la même chose pour la composante 𝑦 du vecteur. C’est 𝑎 indice 𝑦. Pour cela, nous devons tracer une ligne depuis la pointe du vecteur jusqu’à ce que nous arrivions à l’axe des 𝑦. Ensuite, en comptant les carrés entre l’origine et le point où cette ligne rencontre l’axe, nous constatons qu’il y a un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit carrés.
Mais le sens positif suivant 𝑦, tel que défini par ce vecteur unitaire 𝐣 chapeau, est vers le haut. Et nous avons compté nos carrés dans le sens opposé, vers le bas. Nous avons donc compté les carrés dans le sens négatif suivant 𝑦, ce qui signifie que la composante 𝑦 du vecteur est égale à moins huit. Puisque cette composante 𝑦 est notre valeur de 𝑎 indice 𝑦, alors nous avons que 𝑎 indice 𝑦 est égal à moins huit.
Maintenant que nous avons trouvé les valeurs de 𝑎 indice 𝑥 et 𝑎 indice 𝑦, il ne reste plus qu’à substituer ces valeurs dans l’expression du vecteur 𝐀. Lorsque nous faisons cela, nous trouvons que 𝐀 est égal à moins quatre, c’est notre valeur pour 𝑎 indice 𝑥, multipliée par 𝐢 chapeau plus moins huit, notre valeur de 𝑎 indice 𝑦, multipliée par 𝐣 chapeau. Nous pouvons écrire cette expression plus simplement comme moins quatre 𝐢 chapeau moins huit 𝐣 chapeau. Ceci est notre expression finale pour le vecteur 𝐀 sous forme de composantes.
