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Vidéo de la leçon: Trigonométrie du triangle rectangle : résoudre pour un côté

Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver la valeur d’une longueur de côté manquante dans un triangle rectangle en choisissant le rapport trigonométrique approprié pour un angle donné.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver la valeur d’une longueur de côté manquante dans un triangle rectangle en choisissant le rapport trigonométrique approprié pour un angle donné. Quels sont donc ces rapports trigonométriques ? Lorsque nous avons un triangle rectangle, nous utilisons l’acronyme SOHCAHTOA pour nous aider à nous souvenir des définitions des rapports trigonométriques, sinus, cosinus et tangente. On dit que le sin de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse. Le cos de l’angle 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse. Et le tan de l’angle 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent.

Mais pour obtenir ces rapports corrects, nous devons étiqueter correctement le triangle. Et cela signifie que nous considérerons toujours l’angle que nous utilisons. Ici, c’est notre angle 𝜃. Le côté opposé est le côté directement opposé à l’angle concerné. Le côté adjacent est le côté à côté de l’angle qui n’est pas l’hypoténuse. Et l’hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle. Et c’est juste en face de l’angle droit. Lorsque nous sommes en mesure de nous souvenir des rapports de trigonométrie et d’étiqueter correctement notre triangle rectangle, nous sommes prêts à commencer à chercher comment calculer les longueurs inconnues du triangle rectangle.

Voici un exemple où nous devons trouver une longueur de côté manquante.

Trouvez 𝑥 dans une figure donnée. Donnez votre réponse à deux décimales.

La première chose que nous remarquons est qu’il s’agit d’un triangle rectangle. Nous connaissons un angle et une longueur de côté. Et cela signifie que pour résoudre le problème, nous devrons utiliser les rapports trigonométriques. Nous nous souvenons de l’acronyme SOHCAHTOA. Le sin de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse. Cos de 𝜃 est égal au adjacent sur l’hypoténuse. Et le tan de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’adjacent. Notre point de départ est toujours l’angle concerné. On nous donne un angle de 68 degrés. Et donc nous pouvons étiqueter le côté opposé côté 𝑥, le côté adjacent, le côté qui est 11, et l’hypoténuse est toujours opposée à l’angle droit.

Une fois que nous avons étiqueté ces côtés, nous voyons que l’on nous donne la longueur du côté adjacent. Et nous nous intéressons à la longueur du côté opposé. Puisque nous avons affaire à l’opposé et au adjacent, nous allons examiner le rapport de tangente. Étant donné que le tan de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’adjacent, nous branchons 68 degrés pour l’angle. Le côté opposé est le côté que nous essayons de trouver, 𝑥, et le côté adjacent mesure 11.

Afin de résoudre pour 𝑥, nous devons l’isoler pour l’obtenir par lui-même. Nous pouvons le faire en multipliant les deux côtés de cette équation par 11. 11 fois le tan de 68 degrés équivaudra à la longueur du côté 𝑥. À partir de là, pour le résoudre, nous devrons utiliser une calculatrice. Nous entrerons 11 fois tan sur 68. Et cela nous donnera 27.22595. Si votre calculatrice ne renvoie pas cette solution, vous devez vérifier et vous assurer qu’elle est réglée en mode degré et non en radians.

Nous allons prendre ce que nous avons trouvé dans notre calculatrice et le brancher dans notre équation. Le côté manquant de 𝑥 est 27.22595. Nous voulons qu’il soit correct avec deux décimales. Pour arrondir à la deuxième décimale, nous regardons vers la droite. Puisqu’il y a un cinq à la troisième décimale, nous devons arrondir. Et nous obtiendrons que 𝑥 est égal à 27 et vingt-trois centièmes, 27.23. Comme on ne nous donne pas d’unités, c’est bien de le laisser dans ce format. 𝑥 vaut 27.23.

Voici un autre exemple. Cette fois, il nous manque deux des longueurs latérales. Et nous devons résoudre pour les deux côtés manquants.

Trouvez les valeurs de 𝑥 et 𝑦 donnant la réponse à trois décimales.

Nous remarquons qu’il s’agit d’un triangle rectangle. On nous donne un angle et une longueur de côté, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des rapports de trigonométrie pour résoudre les deux côtés manquants, en se souvenant de l’acronyme SOHCAHTOA. Le sin de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse. Cos de 𝜃 est égal au adjacent sur l’hypoténuse. Et le tan de 𝜃 est égal à l’opposé de l’ hypoténuse [adjacente].

La clé ici est pour nous d’étiqueter correctement ce triangle. Et pour ce faire, nous utiliserons l’angle donné comme point de départ. Nous étiquetons les longueurs des côtés par rapport à notre angle donné. Le 𝑦 est le côté opposé à l’angle de 40 degrés. Le 𝑥 est le côté adjacent à l’angle de 40 degrés. Et l’hypoténuse est toujours du côté opposé à l’angle droit.

Essayons d’abord de résoudre pour 𝑦. Si nous résolvons pour 𝑦 et que nous connaissons l’hypoténuse, nous utiliserons le rapport sinus car le sin de 𝜃 est l’opposé de l’hypoténuse. Et cela signifie que nous pouvons dire que le sin de 40 degrés est égal à 𝑦 sur 14. Puisque notre objectif est de résoudre pour 𝑦, nous multiplierons les deux côtés par 14. Et puis, nous verrons que 14 fois le sin de 40 degrés est égal à 𝑦.

Lorsque nous connectons cela à notre calculatrice, nous obtenons 8.99902 en continu. Si vous n’obtenez pas cette réponse dans votre calculatrice, vous devez vérifier et vous assurer que vous travaillez en degrés et non en radians. Nous voulons notre réponse à trois décimales. Nous regardons donc à la quatrième décimale où il y a un zéro, ce qui signifie que nous allons arrondir vers le bas. 𝑦 est égal à 8.999. Et les unités que nous mesurons sont des centimètres. Nous disons donc que 𝑦 est égal à 8.999 centimètres.

Ensuite, nous devons résoudre pour 𝑥. Et nous pouvons résoudre pour 𝑥 avec deux rapports différents. Nous pourrions utiliser le côté adjacent et le côté hypoténuse, qui serait le rapport cosinus. Ou nous pourrions prendre ce que nous avons trouvé pour 𝑦 et l’utiliser comme côté opposé. Et cela signifierait que nous utiliserions le rapport de tangence parce que nous aurions les côtés opposés et adjacents. Dans ce cas, utilisons l’hypoténuse car cela nous fera économiser un peu d’écriture.

Nous avons affaire au rapport cosinus. Et cela signifie que nous aurons 𝑥 sur 14. Nous multiplierons les deux côtés par 14. 14 fois cos de 40 degrés sera égal à 𝑥. Donc 𝑥 sera égal à 10.72462 etc. Arrondi à la troisième décimale, nous devons arrondir à 10.725. Encore une fois, les unités ici seront mesurées en centimètres. Et donc on peut dire que 𝑥 est égal à 10.725 centimètres.

Remarquez comment, dans ces problèmes, nous avons traité les longueurs de côté manquantes comme numérateur de la fraction dans le rapport.

Regardons un exemple où nous avons une longueur de côté qui se retrouve dans le dénominateur de ce rapport.

Trouvez les valeurs de 𝑥 et 𝑦 en donnant la réponse à trois décimales.

Nous avons un triangle rectangle. On nous donne un angle et une longueur de côté et nous avons demandé de trouver les deux côtés manquants. Pour ce faire, nous aurons besoin de nos rapports trigonométriques. Et pour s’en souvenir, nous utiliserons SOHCAHTOA. Le sin de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse. Le cos de 𝜃 est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse. Et le tan de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’adjacent. La clé pour résoudre ces problèmes de manière cohérente est d’étiqueter correctement le triangle. Et nous les étiquetons par rapport à l’angle qui nous est donné.

Ceci est notre point de départ. La longueur du côté opposé est la longueur du côté directement opposé à cet angle. Le côté adjacent est à côté de cet angle. Et l’hypoténuse est toujours opposé à l’angle droit. Une fois qu’un triangle est étiqueté, nous sommes prêts à identifier les rapports dont nous avons besoin. Si nous commençons par trouver la longueur du côté 𝑦, l’hypoténuse, et que nous connaissons déjà le côté opposé, 28 centimètres, nous devons utiliser le rapport sinus car le rapport sinus implique la longueur du côté opposé et l’hypoténuse. Le rapport ressemblerait à ceci. Le sin de 47 degrés est égal à 28 sur 𝑦.

Lorsque notre variable est au dénominateur, il faudra deux étapes pour trouver la valeur. La première chose que nous ferions serait de multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑦. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons 𝑦 fois le sin de 47 degrés est égal à 28. Si le but est d’isoler 𝑦, alors à ce stade, nous devrons diviser les deux côtés de l’équation par un sin de 47 degrés, comme ceci. Et puis, à gauche, nous aurons juste 𝑦. Et à droite, nous aurons 28 sur le sin de 47 degrés. Lorsque nous le connectons à la calculatrice, nous obtenons 38.28516 en continu. Nous devons l’arrondir à trois décimales. Cette valeur est arrondie à 38.285. Les côtés sont mesurés en centimètres, donc les unités ici seraient des centimètres. Et cela signifie que nous avons trouvé l’un des côtés manquants.

Pour trouver la longueur du côté 𝑥, nous aurons deux choix. Nous pourrions utiliser l’hypoténuse que nous venons de trouver, 38.285. Si nous faisions cela, nous aurions affaire au côté adjacent et à l’hypoténuse, qui serait la relation cosinus. Ou nous pourrions utiliser le côté de 28 centimètres. Dans ce cas, nous utiliserions le côté opposé et le côté adjacent et aurions besoin du rapport de tangence. Cela signifierait que vous résoudriez pour un tan de 47 degrés est égal à 28 sur 𝑥. Ou si vous avez utilisé l’hypoténuse et le côté adjacent, vous pourriez dire que cos de 47 degrés est égal à 𝑥 sur 38.285.

Dans ce cas, entraînons-nous à avoir la variable 𝑥 dans le dénominateur. Tan de 47 degrés est égal à 28 sur 𝑥. Pour résoudre 𝑥, nous multiplions d’abord les deux côtés de l’équation par 𝑥. Ensuite, nous pouvons dire que 𝑥 fois tan de 47 degrés est égal à 28. Pour isoler 𝑥, nous divisons les deux côtés de l’équation par tan de 47 degrés. Et donc nous disons que 𝑥 est égal à 28 sur le tan de 47 degrés, ce qui nous donne 26.1104. Nous arrondissons à la troisième décimale. Et nous obtenons 𝑥 est égal à 26.110, mesuré en centimètres, ce qui signifie que nous avons trouvé les deux longueurs de côté manquantes.

Examinons maintenant un problème écrit, un problème qui ne semble pas immédiatement avoir quoi que ce soit à voir avec un triangle.

Une personne essaie d’estimer la hauteur de la tour Eiffel. Elle a mesuré une distance de 250 mètres de la base de la tour. À partir de ce point, il a mesuré l’angle d’élévation au sommet de la tour à 52 degrés. Utilisez ces mesures pour approximer la hauteur de la tour au mètre près.

Quand on nous présente un problème comme celui-ci, la première chose que nous devons faire est d’esquisser les informations qui nous ont été données. Nous avons une tour Eiffel, et quelqu’un a mesuré 250 mètres de la base de la tour. À partir de ce point, il a mesuré un angle d’élévation au sommet de la tour de 52 degrés. Une fois que nous avons toutes ces informations sous forme de diagramme, nous devrions être en mesure de voir un triangle rectangle se former.

La hauteur de la tour forme un angle droit avec la base. La hauteur est notre valeur inconnue et ce pour quoi nous effectuons des calculs. Alors maintenant, nous devons commencer à partir de notre angle d’élévation et étiqueter les côtés du triangle rectangle. La hauteur est opposée à l’angle que nous connaissons. La base de 250 mètres est adjacente à l’angle que nous connaissons. Et l’autre droite de la personne au sommet de la tour est l’hypoténuse.

Dans ce problème, nous ne nous sommes pas intéressés par la valeur de l’hypoténuse. Nous avons affaire au côté opposé et au côté adjacent, ce qui signifie que nous considérerons les rapports SOHCAHTOA. Le sin de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse. Cos de 𝜃 est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse. Et le tan de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’adjacent. Sur la base des informations qui nous sont données, nous avons besoin du rapport tangente.

Si le tan de 𝜃 est égal à l’opposé sur adjacent, nous pouvons dire que le tan de 52 degrés est égal à ℎ, la hauteur de la tour, sur 250 mètres. Pour obtenir une estimation de ℎ, nous devons résoudre ℎ pour obtenir ℎ par lui-même. Et donc nous multiplions les deux côtés de l’équation par 250. Et puis, nous verrons que 250 fois tan de 52 degrés est égal à ℎ. Lorsque nous connectons cela à une calculatrice, nous obtenons 319.9854 etc. Si nous voulons arrondir au mètre près, nous arrondirons au nombre entier le plus proche. Nous allons donc regarder la première décimale et voir comment nous devrions arrondir. Les unités que nous mesurons sont en mètres. Et donc nous dirions qu’une estimation de la hauteur de la Tour Eiffel sur la base des informations fournies est de 320 mètres.

Regardons un dernier exemple où nous ne recevons pas de diagramme.

Trouver la longueur du segment 𝐴𝐶 étant donné 𝐴𝐵𝐶 un triangle rectangle en 𝐵, où le sin de 𝐶 est égal à neuf sur 16 et 𝐴𝐵 est égal à 18 centimètres.

Dans ce cas, la première étape devrait être d’esquisser un triangle rectangle qui remplit ces conditions. Tout d’abord, nous avons un triangle rectangle. L’angle droit est en 𝐵. Nous étiquetons donc notre angle droit 𝐵. Et puis on ajoute 𝐴 et 𝐶. On nous dit que 𝐴𝐵 mesure 18 centimètres. Et puis nous avons cette autre information que le sin de 𝐶 est égal à neuf sur 16. Cela nous dit que l’angle dont nous parlons est l’angle 𝐶. Et si nous pensons à notre acronyme de rapport SOHCAHTOA, nous savons que le sin d’un angle est égal à l’opposé sur l’hypoténuse. Et donc si l’angle que nous considérons est 𝐶, la longueur du côté opposé sera le côté 𝐴𝐵. Et l’hypoténuse est toujours du côté opposé à l’angle droit. Et donc cette relation est de 9 à 16.

L’essentiel à retenir ici est que ces relations sont des rapports. Et donc le sin d’angle 𝐶 nous dit que, pour neuf unités sur la longueur du côté opposé, il y aura 16 unités sur la longueur du côté de l’hypoténuse. Nous pouvons donc dire que s’il y a 18 centimètres de côté opposé, nous savons que neuf fois deux est égal à 18. Et lorsqu’il s’agit de rapports ou de fractions, si nous multiplions par deux au numérateur, nous devons multiplier par deux au dénominateur. 16 fois deux font 32. On pourrait donc dire que l’hypoténuse doit mesurer 32 centimètres. Le segment 𝐴𝐶 est l’hypoténuse. Et cela mesure 32 centimètres.

Lorsque nous avons des triangles rectangles et que nous devons résoudre l’un des côtés, nous devons nous souvenir de nos trois rapports trigonométriques, puis suivre ces étapes. Premièrement, étiquetez les côtés du triangle comme opposés, adjacents et hypoténuse par rapport à l’angle connu. Deuxièmement, choisissez le rapport trigonométrique correct qui relie le côté connu au côté inconnu. Et enfin, remplacez les valeurs puis résolvez.

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