Vidéo de la leçon: Propriétés des angles

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons examiner certaines règles clés pour travailler avec des angles, puis les appliquer pour calculer les angles manquants dans différentes figures. D’accord, la première règle que nous allons examiner s’appelle le théorème de la paire supplémentaire ou linéaire. Et cela nous dit que deux angles sont complémentaires s’ils forment un couple linéaire, ce qui est une autre façon de dire s’ils sont assis en droite ensemble. Ainsi, vous pouvez voir un exemple de cela sur la figure à droite de l’écran. Les angles 𝐴 et 𝐵 sont assis ensemble sur cette droite. Maintenant, bien sûr, comme ils sont assis sur une droite, cela signifie que la mesure de ces deux angles doit s’ajouter à 180 degrés, car le principal angle est que les angles sur une droite s’ajoutent à 180. Ainsi, les angles supplémentaires s’ajoutent à 180 degrés..

La deuxième règle est la suivante ; ça s’appelle le théorème du complément. Deux angles sont complémentaires si leurs côtés non communs forment un angle droit. Les côtés non communs sont donc les côtés qu’ils ne partagent pas, donc ceux que j’ai surlignés en orange dans la figure ici. Bien sûr, l’angle droit est de 90 degrés, nous avons donc un autre fait à propos des angles complémentaires : la somme de leurs mesures doit être égale à 90. Il s’agit donc de notre facteur clé pour les angles complémentaires. Le dernier fait considéré ici est angles autour et des angles opposés verticalement opposés verticalement sont définis comme les angles non adjacents, donc pas à côté de l’autre, formé par une paire de droites d’intersection, de sorte que ceux que j’ai marqué 𝐴 et 𝐵 sur la figure ici. J’aurais également pu marquer l’autre paire d’angles comme une paire verticalement opposée.

Maintenant, le fait essentiel à propos des angles opposés par le sommet est qu’ils sont identiques à ceux de l’autre ou superposable, de sorte que la mesure de l’angle 𝐴 est égale à la mesure de l’angle 𝐵. Ce sont donc les trois faits principaux que nous allons utiliser en plus du fait que les angles d’un triangle totalisent 180 degrés. Et nous verrons comment appliquer ces faits à différents problèmes.

C’est donc notre premier problème.

On nous donne une figure et on nous demande de calculer la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵. Cela signifie donc que l’angle formé lorsque je me déplace de 𝐴 à 𝐶 à 𝐵, c’est donc cet angle ici.

Alors réfléchissons à la façon d’aborder ce problème. Et en regardant la figure, nous pouvons identifier différents types d’angles. Si nous examinons d’abord cet angle ici, maintenant cet angle, vous devez le reconnaître verticalement comme étant opposé à l’angle de 105 degrés, car ils sont formés par une paire de droites sécantes. Donc, rappelant notre fait clé concernant les angles opposés verticalement, ils sont égaux. Nous avons donc que la mesure de cet angle 𝐶𝐴𝐵 est de 105 degrés. Ensuite, regardons l’autre angle à la base du triangle, donc cet angle ici qui est l’angle 𝐴𝐵𝐶. Maintenant, vous remarquerez que cet angle est complémentaire avec un angle de 142 degrés, car il s’agit d’une paire d’angles linéaires.

Alors rappelez-vous que notre principal fait était que les angles supplémentaires totalisent 180 degrés. Donc, cela indique que la mesure de cet angle 𝐴𝐵𝐶 plus 142 doit être égale à 180. En soustrayant 142 des deux côtés de cette équation, je peux alors voir que cet angle est ici égal à 38 degrés. Alors maintenant, j’ai élaboré deux des angles à l’intérieur de ce triangle. Et je viens de les étiqueter tous les deux sur la figure. Donc finalement, je veux travailler à l’angle on m’a demandé, l’angle 𝐴𝐶𝐵. Et pour utiliser cela, je vais rappeler le fait que les angles intérieurs d’un triangle totalisent 180. La mesure de cet angle 𝐴𝐶𝐵 plus les deux autres angles, 105 et 38, doit donc être égale à 180. Et cela me donne l’équation que je peux résoudre pour élaborer cet angle final.

Donc, si je retranche 105 et 38 180, je que la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵 est de 37 degrés. Nous avons donc utilisé un certain nombre de faits différents au sein de cette question. Nous avons utilisé le fait que les angles opposés verticalement sont d’abord superposables. Ensuite, nous avons utilisé le fait que les angles supplémentaires s’ajoutaient à 180 degrés. Et finalement, nous avons utilisé la règle selon laquelle les angles intérieurs d’un triangle s’ajoutent à 180 degrés. Si on vous demande dans la question de donner des raisons dans votre réponse, vous devrez alors noter ces raisons rédigées dans votre préparation. J’inclurais donc les termes verticalement opposés, complémentaires et intérieurs dans un triangle dans le cadre de ma méthode.

D’accord, la question suivante, on nous donne une figure et nous a demandé de trouver la valeur de 𝑥 qui est utilisé dans les étiquettes de deux des angles dans cette figure.

Donc, à partir de la figure, nous devons identifier le type d’angle que nous avons reçu. Et vous verrez que ces angles sont des angles non adjacents dans des droites d’intersection ; par conséquent, ce sont des angles opposés verticalement. Alors rappelez-vous vos faits essentiels sur les angles opposés verticalement. Ils sont superposables les uns aux autres, ce qui signifie que les expressions algébriques que j’ai pour ces deux angles sont égales. Ce que je peux alors faire, c’est former une équation en mettant ces deux expressions égales. Donc, j’ai deux 𝑥 moins 30 est égal à 𝑥 plus 10. Maintenant, la question est devenue un problème algébrique. Puis-je résoudre cette équation pour calculer la valeur de 𝑥 ?

Donc, la première chose que je vais faire est d’ajouter 30 aux deux côtés de cette équation. Et cela me donnera deux 𝑥 est égal à 𝑥 plus 40 ; alors je vais soustraire 𝑥 des deux côtés de cette équation. Et quand je le fais, cela me donne 𝑥 est égal à 40, ce qui est donc la réponse à cette question. Donc, dans cette question, je devais identifier le type d’angles que j’avais et utiliser ensuite les faits que je connais sur les angles opposés verticalement étant superposables pour former une équation que je pourrais ensuite résoudre pour résoudre cette lettre 𝑥 inconnue.

Et la question suivante concerne les angles supplémentaires.

Cela nous indique qu’une paire d’angles supplémentaires sont dans le rapport trois à deux. Et on nous demande de trouver la taille du grand angle.

Maintenant, je vais aborder cette question de deux manières différentes et vous pourrez ensuite choisir celle que vous préférez. Je vais donc diviser ma page en deux tout d’abord. Donc, ma première méthode, je vais y penser en fonction de rapport. Maintenant, rappelez-vous, les angles supplémentaires s’ajoutent à 180 degrés. Donc, au total, dans ce rapport, j’ai cinq parties, les trois et les deux ensemble formant cinq parties ; ces cinq parties égales doivent donc être égales à 180. Commençons par cela, si je ne veux pas savoir laquelle une partie de ce rapport est, je dois diviser par cinq. Donc, une partie correspond à 180 divisé par cinq, ce qui correspond à 36. Je dois trouver la taille de l’angle le plus grand ; l’angle le plus grand correspond donc à celui qui présente trois parties du rapport.

Donc, afin de travailler sur trois parties, je dois multiplier ce 36 par trois. Donc, trois parties 36 multipliées par trois est 108. Et cela me dit alors que la taille de l’angle le plus grand est de 108 degrés. Donc, c’est une façon de répondre à cette question, en réfléchissant à l’élaboration du rapport. Une autre solution consisterait à le considérer comme un problème algébrique. Donc, si ces angles sont dans le rapport de trois à deux, je pourrais les appeler trois 𝑥 et deux 𝑥, par exemple. Et en me souvenant de ce fait essentiel sur les angles supplémentaires qui totalisent 180, je peux former une équation. Je pourrais écrire l’équation trois 𝑥 plus deux 𝑥 est égal à 180. Voici mon équation.

Maintenant, si je simplifie le côté gauche, trois 𝑥 plus deux 𝑥 sont cinq 𝑥, donc j’ai cinq 𝑥 est égal à 180. Ensuite, si je veux calculer la valeur de 𝑥, je dois diviser par cinq. Donc, j’ai 𝑥 est égal à 36. Maintenant, rappelez-vous que l’angle plus large était l’angle que j’appelais trois 𝑥, alors pour résoudre ce problème, il faut que je multiplie par 36. Et cela me donne bien sûr la même réponse de 108 degrés. La logique derrière les deux méthodes est donc très similaire.

La méthode algébrique est peut-être plus formelle, mais l’une ou l’autre serait une manière valable d’aborder cette question. Il est donc judicieux de faire une vérification rapide lorsque vous le pouvez. Alors peut-être si nous calculons la taille du plus petit angle. Eh bien, dans les deux cas, nous avons déterminé qu’une partie ou 𝑥 est égal à 36, le plus petit angle correspond donc à deux lots de 36, soit 72. Et si nous vérifions simplement la somme de nos deux angles, nous pouvons alors confirmer que ils totalisent en fait 180. Un simple contrôle à la fin peut vous donner un peu de confiance en votre travail.

Ok, la dernière question, encore une fois on nous donne une figure et on nous demande de calculer la mesure de l’angle 𝐶𝑂𝐴. Ainsi, l’angle formé quand je me déplace de 𝐶 à 𝑂 à 𝐴, il est cet angle marqué en vert ici.

Maintenant, cet angle est composé de deux parties. Et je peux déjà voir que cette partie est de 42 degrés, mais je dois déterminer quelle est la partie restante. En examinant à nouveau cette figure, vous verrez que nous avons une paire d’angles complémentaires, car il y a un angle droit indiqué lorsque je passe de 𝐷 à 𝑂 à 𝐵, ce qui signifie que ces deux angles que je viens de marquer en orange ; Souvenez-vous bien, la somme des angles complémentaires est de 90 degrés. Je peux donc trouver la mesure de cet angle 𝐶𝑂𝐵 en utilisant ce fait. Donc, je peux écrire cette équation ; la mesure de l’angle 𝐶𝑂𝐵 plus 31 est égale à 90. Soustraire 31 des deux côtés de cette équation me dit alors que la mesure de cet angle 𝐶𝑂𝐵 est 59. Donc voilà, indiqué sur la figure. Maintenant, j’ai tout ce que je besoin pour calculer la mesure de l’angle 𝐶𝑂𝐴. C’est donc ce 59 que je viens de calculer, plus les 42 que nous connaissions déjà. La mesure de cet angle est donc de 101 degrés.

Donc, pour résumer, vous devez vous rappeler ces trois règles d’angle-clé : les angles supplémentaires s’additionnent à 180 degrés, les angles complémentaires s’ajoutent à 90 degrés et les angles opposés verticalement sont superposables. Vous devez également vous rappeler le fait que les angles intérieurs d’un triangle s’ajoutent à 180 degrés. Lorsque vous répondez à un problème, vous devez inspecter soigneusement la figure pour voir quels types d’angles vous pouvez identifier, puis utiliser les règles sur les angles appropriées pour répondre à la question.