Transcription de la vidéo
Déterminez d𝑦 sur d𝑥 sachant que sept 𝑦 est égal à six fois 𝑥 élevé à la puissance sin six 𝑥.
On nous donne que sept 𝑦 est égal à six fois 𝑥 élevé à la puissance sinus six 𝑥. Nous voulons trouver la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Soit d𝑦 par d𝑥. Jusqu’à maintenant, notre côté droit est assez compliqué puisque nous avons la variable 𝑥 élevée à la puissance sinus six 𝑥, qui est elle-même une fonction de 𝑥. Pour cette raison, nos méthodes habituelles de dérivation telles que la règle du produit, du quotient ou de derivation en chaîne ne peuvent pas être appliquées directement. Cependant, nous pouvons utiliser la dérivation logarithmique.
Tout d’abord, pour 𝑦, une fonction de 𝑥, nous appliquons d’abord le logarithme népérien des deux côtés afin que nous ayons le logarithme népérien de 𝑦 est égal au logarithme népérien de 𝑓 de 𝑥, en rappelant que le logarithme népérien est le logarithme de base 𝑒, où 𝑒 est le nombre d’Euler, qui est d’environ 2,71828 etc. Appliquons donc cela à notre fonction. Seulement, divisons d’abord par sept pour avoir 𝑦 au côté gauche de sorte que le logarithme népérien de 𝑦 soit égal au logarithme népérien de six sur sept fois 𝑥 à la puissance sinus six 𝑥. Mettons simplement des parenthèses autour de notre argument pour être clair.
Maintenant, pour que cela soit valide, nous devons spécifier que 𝑦 est strictement supérieur à zéro. En effet, le logarithme de zéro n’est pas défini et le logarithme n’existe pas pour les valeurs négatives. Si nous voulons inclure des valeurs négatives, nous devons utiliser les signes de valeur absolue pour 𝑦 et 𝑓 de 𝑥 mais 𝑦 doit toujours être non nul. Dans notre cas, cependant, nous spécifierons simplement que 𝑦 est toujours strictement supérieur à zéro. Maintenant, la deuxième étape dans la dérivation logarithmique est d’utiliser les lois des logarithmes pour simplifier ou développer.
En premier lieu, nous pouvons utiliser la règle du produit pour les logarithmes sur la partie droite. Elle indique que le logarithme de base 𝑎 du produit 𝑏𝑐 est le logarithme de base 𝑎 de 𝑏 plus le logarithme de base 𝑎 de 𝑐. Dans notre cas, notre base est 𝑒. Six sur sept correspond à 𝑏. 𝑥 à la puissance sinus six 𝑥 correspond à 𝑐. Notre règle du produit pour le logarithme nous donne alors que le logarithme népérien de 𝑦 vaut le logarithme népérien de six sur sept plus le logarithme népérien de 𝑥 élevé à la puissance sin six 𝑥.
Notre deuxième terme à droite est toujours assez compliqué. Pour simplifier cela, nous pouvons utiliser la règle de puissance pour le logarithme. Cela signifie que le logarithme de base 𝑎 de 𝑏 élevé à la puissance 𝑐 vaut 𝑐 fois le logarithme de base 𝑎 de 𝑏. Notre logarithme est de base 𝑒 et maintenant, 𝑥 correspond à 𝑏 et sinus six 𝑥 correspond à 𝑐. Alors maintenant, nous mettons notre exposant sinus six 𝑥 au premier plan et le multiplions par le logarithme népérien de 𝑥. Nous avons le logarithme népérien de 𝑦 est égal au logarithme népérien de six sur sept plus sinus six 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑥.
Bien, en faisant donc de la place, nous avons quelque chose de plus simple que nous pouvons facilement dériver. Cela nous amène à notre troisième étape de la dérivation logarithmique. Nous dérivons les deux côtés par rapport à 𝑥. Sur la partie droite, nous pouvons utiliser le fait que la dérivée de la somme est la somme des dérivées. La première chose à noter est que puisque le logarithme népérien de six sur sept est une constante, sa dérivée est donc égale à zéro. Sur la partie gauche, nous pouvons utiliser le fait que d sur d𝑥 du logarithme népérien de 𝑦 vaut un sur 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥, où 𝑦 est strictement supérieur à zéro pour 𝑦 une fonction de 𝑥.
Pour le dernier terme sur la partie droite, nous avons la dérivée d’un produit. Pour cela, nous pouvons utiliser la règle du produit pour la dérivation. La dérivée d’un produit, 𝑢𝑣, par rapport à 𝑥 est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus d𝑢 sur d𝑥 fois 𝑣, où 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions de 𝑥. Si, dans notre cas, nous avons 𝑢 est égal à sinus six 𝑥 et 𝑣 est le logarithme népérien de 𝑥, alors nous avons d𝑢 sur d𝑥 est six fois le cosinus de six 𝑥 et d𝑣 par d𝑥 est un sur 𝑥. Ensuite, selon la règle du produit, la dérivée par rapport à 𝑥 de sinus six 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑥 donne sinus six 𝑥, qui est 𝑢, fois un sur 𝑥, qui est d𝑣 par d𝑥, plus six fois le cosinus de six 𝑥, qui est d𝑢 sur d𝑥, fois le logarithme népérien de 𝑥, qui est 𝑣.
Bien, faisons de la place, maintenant nous pouvons écrire le tout plus clairement. Nous avons un sur 𝑦 fois d𝑦 par d𝑥 est égal à sinus six 𝑥 sur 𝑥 plus six cosinus six 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑥. Nous n’avons pas encore tout à fait fini, puisque nous voulons en fait d𝑦 par d𝑥. Nous allons donc devoir éliminer le facteur de un sur 𝑦 au côté gauche. Nous pouvons le faire en multipliant les deux côtés par 𝑦. Sur le côté gauche, cela s’annule. Nous nous retrouvons donc avec d𝑦 sur d𝑥 sur le côté gauche. Sur le côté droit, nous rappelons que 𝑦 est en fait six sur sept fois 𝑥 élevé à la puissance sinus six 𝑥.
Nous sommes maintenant à l’étape quatre de notre dérivation logarithmique, qui est de résoudre ceci pour d𝑦 sur d𝑥. Maintenant, en substituant 𝑦 est égal à six sur sept fois 𝑥 élevé à la puissance sinus six 𝑥, nous avons d𝑦 sur d𝑥 qui vaut six sur sept fois 𝑥 élevé à la puissance sinus six 𝑥 multiplié par sinus de six 𝑥 le tout sur 𝑥 plus six fois le cosinus de six 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑥.