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Déterminez, au centième près, la distance entre les deux plans d’équations : le vecteur six, trois, six scalaire le vecteur 𝐫 égale 11 et 𝑥 sur trois plus 𝑦 sur six plus 𝑧 sur trois égale un.
Dans cette question, nous voulons trouver la distance entre deux plans. Pour cela, nous commençons par vérifier si les deux plans sont parallèles. Rappelons que deux plans sont parallèles si les vecteurs normaux à chaque plan sont colinéaires. Le vecteur normal au plan six, trois, six scalaire 𝐫 égale 11 est donné par le vecteur six, trois, six. Le vecteur normal à l'autre plan peut être trouvé par les coefficients de 𝑥, 𝑦, et 𝑧. Il peut s'avérer utile de réarranger cette équation en la multipliant par six. Le vecteur normal peut donc être donné comme le vecteur deux, un, deux.
Deux vecteurs sont colinéaires quand ils sont des multiples l'un de l'autre, ce qui est le cas ici. Les vecteurs normaux sont donc colinéaires et les plans eux-mêmes sont parallèles. Pour trouver la distance entre deux plans parallèles, nous pouvons donc prendre un point sur l'un des plans et calculer la distance perpendiculaire de ce point à l'autre plan. Prenons l'équation du deuxième plan et trouvons un point appartenant à ce plan
Pour ce faire, nous pouvons substituer 𝑥 égale zéro et 𝑦 égale zéro. Nous obtenons alors l'équation suivante : zéro sur trois plus zéro sur six plus 𝑧 sur trois égale un. En simplifiant, nous obtenons 𝑧 sur trois égale un et donc 𝑧 égale trois. Puisque nous avons fixé 𝑥 et 𝑦 à zéro, nous savons donc que le point zéro, zéro, trois appartient à ce plan. Nous pouvons alors rappeler et utiliser la formule suivante.
La distance perpendiculaire, notée 𝐷 majuscule, entre le point 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et le plan vectoriel 𝐫 scalaire 𝑎, 𝑏, 𝑐 égale moins 𝑑 est donné par 𝐷 égale la valeur absolue de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐𝑧 un plus 𝑑 sur la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré. Les valeurs de 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑧 un seront respectivement zéro, zéro et trois. Les valeurs de 𝑎, 𝑏, et 𝑐 proviennent de l'autre plan et seront respectivement six, trois, et six.
Nous remarquerons cependant que, dans cette forme, le moins 𝑑 sera donné par 11. Cela signifie donc que 𝑑 doit être égal à moins 11. Nous pouvons maintenant substituer ces valeurs dans la formule. Nous obtenons donc 𝐷 égale la valeur absolue de six fois zéro plus trois fois zéro plus six fois trois plus moins 11 sur racine carrée de six au carré plus trois au carré plus six au carré. En simplifiant, nous avons la valeur absolue de 18 moins 11 sur la racine carrée de 36 plus neuf plus 36.
Au numérateur, la valeur absolue de sept est sept. Au dénominateur, nous avons la racine carrée de 81. Nous pouvons donc écrire que cette distance doit être sept sur neuf unités de longueur. Cette réponse est parfaitement valide, mais notez que la réponse demandée est une valeur au centième près. Il faut donc l'écrire sous forme décimale. Nous savons que sept-neuvièmes est égal 0.777 etc. Par conséquent, en arrondissant au centième près, nous pouvons affirmer que la distance entre les deux plans doit être de 0.78 unités de longueur.