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La fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎 au carré 𝑥 au carré plus 54𝑥 plus 81 et la fonction 𝑔 de 𝑥 est égale à 𝑎𝑥 plus neuf ont le même ensemble de zéros. Déterminez la valeur de 𝑎 ainsi que l’ensemble des zéros.
Dans cette question, on nous donne deux fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥. On nous dit que ces deux fonctions ont le même ensemble de zéros. Nous devons utiliser ces informations pour déterminer la valeur de 𝑎 et l’ensemble des zéros. Nous pouvons commencer par rappeler que lorsque nous parlons de l’ensemble des zéros d’une fonction, nous entendons l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 où la fonction donne zéro. Par conséquent, pour toute valeur de 𝑥 telle que 𝑔 de 𝑥 est égale à zéro, si nous entrons cette valeur dans 𝑓 de 𝑥, nous devrions également obtenir zéro. La même chose devrait être vraie dans le sens inverse. Pour toute valeur de 𝑥 où 𝑓 de 𝑥 est égale à zero, si nous entrons celle-ci dans 𝑔 de 𝑥, nous devrions également obtenir zéro. Puisque 𝑔 de 𝑥 est une fonction linéaire, il sera plus facile de trouver les zéros de 𝑔 de 𝑥. Commençons donc par faire cela.
Nous voulons résoudre 𝑔 de 𝑥 est égal à zéro, nous devons donc résoudre l’équation 𝑎𝑥 plus neuf est égal à zéro. Tout d’abord, nous soustrayons neuf des deux côtés de l’équation. Cela nous donne que 𝑎𝑥 est égal à moins neuf. Maintenant, il y a deux possibilités : soit la valeur constante de 𝑎 est égale à zéro, soit elle est non nulle. Considérons chaque possibilité séparément. Commençons par 𝑎 égal à zéro.
Si nous substituons cette valeur de 𝑎 dans notre fonction d’origine 𝑔 de 𝑥, nous obtenons que 𝑔 de 𝑥 est une valeur constante de neuf. Puisque 𝑔 de 𝑥 donne toujours la valeur de neuf, il n’y a pas de valeur de 𝑥 que nous pouvons entrer dans cette fonction 𝑔 de 𝑥 pour obtenir zéro. Ainsi, les zéros de 𝑔 de 𝑥 est l’ensemble vide. Nous écrivons les zéros de la fonction sous la notation suivante : 𝑧 de 𝑔. Rappelez-vous, 𝑎 est également une valeur dans notre fonction 𝑓 de 𝑥 et 𝑓 de 𝑥 doit également avoir le même ensemble de zéros. Si nous substituons 𝑎 est égal à zéro dans 𝑓 de 𝑥, nous obtenons que 𝑓 de 𝑥 est égal à 54𝑥 plus 81.
Il s’agit alors d’une équation linéaire. Nous pouvons donc trouver les zéros de cette fonction en résolvant l’équation zéro est égal à 54𝑥 plus 81. Nous soustrayons 81 des deux côtés, puis nous divisons par 54. 𝑥 est égal à moins 81 sur 54. Par conséquent, les zéros de cette fonction 𝑓 est l’ensemble contenant moins 81 sur 54. Or, ce n’est pas la même chose que les zéros de 𝑔 de 𝑥. Nous avons montré que 𝑔 n’a pas de zéros. Par conséquent, nous avons montré que si 𝑎 est égal à zéro, 𝑓 et 𝑔 ne peuvent pas avoir le même ensemble de zéros. En d’autres termes, notre valeur de 𝑎 ne peut pas être égale à zéro.
Nous devons donc maintenant considérer le cas où 𝑎 n’est pas égal à zéro. Nous pouvons maintenant diviser les deux côtés de l’équation par 𝑎 puisque 𝑎 est différent de zéro. Nous obtenons que 𝑥 est égal à moins neuf sur 𝑎. Par conséquent, 𝑥 est égal à moins neuf sur 𝑎 est un zéro de notre fonction 𝑔. En fait, il s’agit du seul zéro. Les zéros de 𝑔 est l’ensemble contenant moins neuf sur 𝑎.
Maintenant, nous pouvons nous rappeler qu’on nous a dit dans la question que 𝑔 et 𝑓 ont le même ensemble de zéros. Ainsi, 𝑧 de 𝑓 est aussi l’ensemble contenant moins neuf sur 𝑎. En particulier, nous notons que 𝑧 est une fonction du second degré de 𝑥 et qu’elle n’a qu’une seule racine. Elle a donc une racine double. Nous pouvons alors rappeler la forme générale d’une racine double dans une équation du second degré. Si ℎ de 𝑥 est une fonction du second degré avec une racine double valant 𝑟, alors ℎ de 𝑥 doit être égale à 𝑘 fois 𝑥 moins 𝑟 au carré pour une valeur de 𝑘 différente zéro.
Par conséquent, notre fonction 𝑓 de 𝑥 doit être égale à 𝑘 fois 𝑥 moins moins neuf sur 𝑎 au carré, où 𝑘 n’est pas égal à zéro. Nous pouvons simplifier cela. Soustraire moins neuf sur 𝑎 revient à ajouter neuf sur 𝑎. Cela nous donne que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑘 fois 𝑥 plus neuf sur 𝑎 au carré. Distribuons maintenant l’exposant sur les parenthèses. En utilisant la double distributivité ou autre, nous pouvons montrer que cela est égal à 𝑥 carré plus 18 sur 𝑎 𝑥 plus 81 sur 𝑎 carré. Seulement, rappelez-vous, nous devons multiplier tous ces termes par 𝑘. En faisant cela, nous obtenons 𝑘𝑥 carré plus 18𝑘 sur 𝑎 fois 𝑥 plus 81𝑘 sur 𝑎 carré.
Nous pouvons maintenant déterminer la valeur de 𝑘. Pour ce faire, nous nous souvenons que la question dit que 𝑓 de 𝑥 est 𝑎 au carré 𝑥 au carré plus 54𝑥 plus 81. En particulier, nous pouvons comparer les termes dominants de ces deux quadratiques. 𝑘𝑥 au carré doit être égal à 𝑎 au carré 𝑥 au carré. Ainsi, les coefficients dominants doivent être égaux ; 𝑘 doit être égal à 𝑎 au carré. Nous pouvons maintenant substituer 𝑘 est égal à 𝑎 au carré dans cette expression pour la fonction. Cela nous donne alors 𝑎 carré 𝑥 carré plus 18𝑎 carré sur 𝑎 fois 𝑥 plus 81𝑎 carré sur 𝑎 carré. Nous pouvons alors simplifier cette expression. Au deuxième terme, 𝑎 au carré divisé par 𝑎 est juste égal à 𝑎. Au terme constant, 𝑎 au carré sur 𝑎 au carré est égal à un. Rappelez-vous, nous avons déjà montré que 𝑎 n’est pas nul. Cela nous donne que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎 au carré 𝑥 au carré plus 18𝑎𝑥 plus 81.
Il s’agit presque exactement de la même chose que la fonction 𝑓 de 𝑥 qui nous est donnée dans la question. Cependant, le deuxième terme de cette fonction est 54𝑥. Or, nous avons 18𝑎 fois 𝑥. Par conséquent, 18 fois 𝑎 doit être égal à 54. Si 18𝑎 est égal à 54, 𝑎 doit être égal à 54 sur 18, ce qui donne trois. Par conséquent, nous avons montré que la valeur de 𝑎 doit être égale à trois. Nous pouvons substituer cela dans l’ensemble que nous avons trouvé pour 𝑧 de 𝑓. Puisque moins neuf sur trois est juste moins trois, cela nous donne que les zéros de 𝑓 est juste l’ensemble contenant moins trois.
Par conséquent, nous avons pu montrer que si 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎 au carré 𝑥 au carré plus 54𝑥 plus 81, que si 𝑔 de 𝑥 est 𝑎𝑥 plus neuf et que ces ensembles ont les mêmes zéros, alors 𝑎 doit être égal à trois et l’ensemble des zéros de 𝑓 est juste l’ensemble contenant moins trois.
