Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons voir comment nous pouvons identifier que deux parallélogrammes auront la même aire lorsque leurs bases sont de longueur égale et que les sommets opposés à ces bases appartiennent à une droite parallèle à celles-ci. Examinons, d’abord, comment déterminer l’aire d’un parallélogramme.
Prenons le parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷. Rappelons d’abord qu’un parallélogramme est défini comme un quadrilatère qui a deux paires de côtés opposés parallèles. Afin de déterminer une formule pour trouver l’aire d’un parallélogramme, considérons ce parallélogramme comme étant divisé en deux triangles. Nous pouvons rappeler que l’aire d’un triangle est donnée en multipliant la base par la hauteur et en divisant par deux.
Alors disons que nous voulons trouver l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶. Nous pouvons désigner la base 𝑏 avec la lettre 𝑏, et la hauteur avec la lettre ℎ. Donc, bien sûr, l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est 𝑏ℎ sur deux. Cependant, comme nous nous intéressons à l’aire du parallélogramme entier, cela signifie que nous devrons également trouver l’aire du triangle 𝐴𝐷𝐶. Sa base est également désignée par la lettre 𝑏, puisque nous savons qu’un parallélogramme a des côtés opposés égaux. La hauteur est la même que celle du triangle 𝐴𝐵𝐶 ; elle est donc aussi désignée par la lettre ℎ. Ainsi, l’aire du triangle 𝐴𝐷𝐶 est également 𝑏ℎ sur deux.
Nous pourrions en fait prouver, à part, que ces deux triangles sont superposables, et nous pourrions le faire en utilisant le critère de superposition de trois côtés. Cependant, nous pouvons utiliser les résultats des deux aires de ces triangles pour calculer l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷. En additionnant l’aire des deux triangles, nous aurions 𝑏ℎ sur deux plus 𝑏ℎ sur deux, ce qui se simplifie en 𝑏ℎ. Nous avons donc démontré que l’aire de ce parallélogramme, et d’ailleurs celle de tout parallélogramme, peut être déterminée en multipliant la base et la hauteur.
Nous pouvons utiliser ce fait pour nous donner des résultats utiles et certaines propriétés des parallélogrammes. Commençons par considérer une paire de droites parallèles. Comme les droites sont parallèles, la distance perpendiculaire entre les droites parallèles est toujours la même. La raison de cela est que deux droites perpendiculaires à la même droite sont parallèles entre elles. Donc, ces droites nous donnent un rectangle. Par exemple, nous avons le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷, dont tous les angles intérieurs sont des angles droits. Nous pourrions définir la longueur de base 𝐷𝐶 comme 𝑏. Et pour trouver l’aire de ce rectangle, on sait qu’on multiplie la longueur par la largeur. Donc, dans ce cas, nous aurions 𝑏 fois ℎ.
Considérons alors que nous traçons un parallélogramme 𝐸𝐹𝐶𝐷. Notez que la longueur de la base 𝐶𝐷 est la même que celle du rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷. Comme nous l’avons déjà démontré, l’aire de ce parallélogramme est égale à la base multipliée par la hauteur. Ainsi, l’aire du parallélogramme 𝐸𝐹𝐶𝐷 est également donnée par 𝑏 fois ℎ. Bien que 𝐴𝐵𝐶𝐷 soit un rectangle, il s’agit également d’un type spécial de parallélogramme. Donc, ces deux parallélogrammes ont la même aire, mais seulement parce que la base est de même longueur.
Nous pouvons généraliser cela dans le théorème suivant. Les parallélogrammes compris entre une paire de droites parallèles ont la même aire lorsque leurs bases sont les mêmes ou quand ils ont une base commune. Nous allons maintenant voir comment utiliser cette propriété pour trouver les aires de deux parallélogrammes.
Dans la figure ci-contre, la droite 𝐴𝐵 est parallèle à la droite 𝐶𝐹 et la distance entre elles est ℎ, où ℎ égale trois centimètres et 𝐴𝐵 égale quatre centimètres. Trouvez les aires des parallélogrammes 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐴𝐵𝐸𝐹, respectivement.
Il pourrait être utile de commencer par colorer ces deux parallélogrammes spécifiques. Tout d’abord, nous avons le parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷. Ensuite, nous avons 𝐴𝐵𝐸𝐹. Nous pouvons observer que les deux parallélogrammes ont en commun le côté 𝐴𝐵. Les hauteurs de ces deux parallélogrammes seront la distance entre les droites parallèles 𝐴𝐵 et 𝐶𝐹. Ceci est également marqué sur la figure avec la lettre ℎ. Comme ces parallélogrammes ont en commun la base 𝐴𝐵, nous pouvons utiliser la propriété que les parallélogrammes entre une paire de droites parallèles ont la même aire quand ils ont une base commune. Donc 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐴𝐵𝐸𝐹 auront en fait la même aire.
Pour trouver l’aire de l’un de ces parallélogrammes, nous pouvons utiliser la formule selon laquelle l’aire d’un parallélogramme est égale à la base multipliée par la hauteur. Pour trouver l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷, nous prenons la base, qui est donnée comme quatre centimètres, et nous la multiplions par la hauteur ℎ, qui est donnée comme trois centimètres. Cela nous donne une réponse de 12 centimètres carrés. L’aire du parallélogramme 𝐴𝐵𝐸𝐹 est aussi égale à 12 centimètres carrés. Et nous avons donc trouvé les aires des deux parallélogrammes.
Dans l’exemple suivant, nous utiliserons la propriété de l’égalité des aires des parallélogrammes pour déterminer la distance entre deux droites parallèles.
Dans la figure suivante, 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐸𝐹𝐺𝐻 sont deux parallélogrammes, et la droite 𝐴𝐹 est parallèle à la droite 𝐷𝐺. Si 𝐴𝐵 est égal à 𝐸𝐹, 𝐶𝐷 est égal à cinq centimètres et que la somme des aires du parallélogramme 𝐸𝐹𝐺𝐻 et du parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 est de 40 centimètres carrés, trouvez la distance la plus courte entre la droite 𝐴𝐹 et la droite 𝐷𝐺.
La première chose que nous pourrions noter ici est que la distance la plus courte entre les deux droites 𝐴𝐹 et 𝐷𝐺 est la distance perpendiculaire entre ces droites. Désignons cette distance perpendiculaire ou cette hauteur par la lettre ℎ. D’après le schéma et les informations données dans la question, nous savons que 𝐴𝐵 est égal a à 𝐸𝐹. Donc, en fait, ces deux parallélogrammes ont des bases égales. Et surtout, comme la distance entre les droites parallèles reste constante, cela signifie que les aires des deux parallélogrammes 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐸𝐹𝐺𝐻 doivent être égales. Et comme on nous indique que la somme de leurs aires est de 40 centimètres carrés, alors nous pouvons diviser par deux cette valeur pour trouver que l’aire de chaque parallélogramme doit être de 20 centimètres carrés.
Bien sûr, il nous reste encore à trouver la distance la plus courte, ou la valeur de ℎ. Et pour faire cela, nous devons rappeler la formule de l’aire d’un parallélogramme. Celle-ci est égale à la base multipliée par la hauteur. Étant donné l’information selon laquelle la longueur du segment 𝐶𝐷 est de cinq centimètres, nous pouvons calculer la valeur de ℎ en utilisant la formule utilisée pour trouver l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷. Nous savons donc que 20 est égal à cinq multiplié par ℎ. En divisant par cinq, nous aurons ℎ est égal à quatre centimètres. Nous pouvons donc conclure que la distance la plus courte entre la droite 𝐴𝐹 et la droite 𝐷𝐺 est égale à la hauteur, soit quatre centimètres.
Dans l’exemple suivant, nous utiliserons la même propriété pour déterminer l’aire d’un parallélogramme, mais cette fois, l’un des parallélogrammes est un rectangle.
Dans la figure ci-dessous, la droite 𝐴𝐵 est parallèle à la droite 𝐶𝐸, le segment 𝐴𝐶 est parallèle au segment 𝐵𝐷 et 𝐴𝐵𝐸𝐹 est un rectangle. Si 𝐵𝐸 est égal à quatre centimètres et 𝐴𝐵 est égal à trois centimètres, trouvez l’aire du parallélogramme 𝐴𝐵𝐷𝐶.
À partir des informations qui nous sont données, nous notons que nous avons deux paires de droites parallèles, ce qui confirme que 𝐴𝐵𝐷𝐶 est bien un parallélogramme. On nous dit aussi que 𝐴𝐵𝐸𝐹 est un rectangle. Puisqu’un rectangle est simplement un cas particulier du parallélogramme, cela signifie que nous pouvons également noter que les segments 𝐴𝐹 et 𝐵𝐸 sont également parallèles. Nous pouvons utiliser les informations sur 𝐴𝐵𝐸𝐹 pour nous aider à déterminer l’aire du parallélogramme 𝐴𝐵𝐷𝐶. Nous pouvons utiliser l’information que 𝐵𝐸 est égal à quatre centimètres et 𝐴𝐵 est égal à trois centimètres pour nous aider à déterminer l’aire du rectangle 𝐴𝐵𝐸𝐹.
Si vous ne savez pas pourquoi cela est utile, rappelons une propriété importante sur les parallélogrammes créés entre deux droites parallèles. Les parallélogrammes entre une paire de droites parallèles avec des bases égales ont la même aire, donc même si 𝐴𝐵𝐸𝐹 est un rectangle, c’est un type spécial de parallélogramme, et le segment 𝐴𝐵 est un côté commun à la fois à 𝐴𝐵𝐸𝐹 et à 𝐴𝐵𝐷𝐶. Donc, si nous calculons l’aire de 𝐴𝐵𝐸𝐹, elle sera la même que l’aire de 𝐴𝐵𝐷𝐶.
Et bien sûr, pour calculer l’aire d’un rectangle, nous multiplions la longueur par la largeur. Trois fois quatre font 12, et les unités d’aire seront des centimètres carrés. L’aire de 𝐴𝐵𝐷𝐶 va être égale à cela. Donc, c’est aussi 12 centimètres carrés. Nous aurions également pu déterminer directement l’aire de 𝐴𝐵𝐷𝐶. L’aire d’un parallélogramme est déterminée en multipliant la base par la hauteur. La base de 𝐴𝐵𝐷𝐶 est de trois centimètres, et la hauteur est également la longueur du segment 𝐵𝐸, qui est de quatre centimètres. L’une ou l’autre méthode produirait le résultat que l’aire de 𝐴𝐵𝐷𝐶 est de 12 centimètres carrés.
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment trouver l’aire d’un parallélogramme étant donné l’aire d’un triangle ayant la même base que celle de ce parallélogramme.
Dans la figure ci-contre, la droite 𝐴𝐵 est parallèle à la droite 𝐸𝐷 et le segment 𝐴𝐶 est parallèle au segment 𝐵𝐷. Si l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐸 est égale à sept centimètres carrés, trouvez l’aire du parallélogramme 𝐴𝐵𝐷𝐶.
Nous pouvons observer ici que puisque les deux droites 𝐴𝐵 et 𝐸𝐷 sont parallèles et les deux segments 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷 sont parallèles, alors nous avons bien un parallélogramme en 𝐴𝐵𝐷𝐶. Étant donné que l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐸 est de sept centimètres carrés, nous devons calculer l’aire du parallélogramme 𝐴𝐵𝐷𝐶. Pour faire cela, nous pouvons utiliser le fait que le triangle et le parallélogramme ont en commun la même base 𝐴𝐵. Surtout, ils ont également la même hauteur, que nous pouvons désigner par la lettre ℎ.
Maintenant, pour trouver l’aire d’un triangle, nous rappelons qu’elle est égale à un demi multiplié par la base multiplié par la hauteur. Ainsi, l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐸 est égale à un demi multiplié par la longueur du segment 𝐴𝐵 multiplié par ℎ. De même, nous pouvons rappeler que pour trouver l’aire d’un parallélogramme, nous multiplions la base par la hauteur. Par conséquent, l’aire du parallélogramme 𝐴𝐵𝐷𝐶 peut être calculée en multipliant la longueur de 𝐴𝐵 par ℎ.
Si nous observons alors le membre droit de ces deux équations, nous pouvons observer que le parallélogramme est simplement le double de l’aire du triangle. Par conséquent, étant donné que l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐸 est de sept centimètres carrés, nous le doublons, ce qui nous donne la réponse que l’aire du parallélogramme 𝐴𝐵𝐷𝐶 est de 14 centimètres carrés.
Dans cet exemple, nous avons montré que si un triangle et un parallélogramme ont une base commune et se trouvent entre la même paire de droites parallèles, alors le parallélogramme a deux fois l’aire du triangle. Ce résultat est également vrai s’ils ont des bases égales.
Ce résultat peut être formalisé dans le théorème suivant. Si un triangle et un parallélogramme ont une base commune ou ont des bases égales et se trouvent entre la même paire de droites parallèles, alors le parallélogramme a deux fois l’aire du triangle.
Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette vidéo. Les parallélogrammes entre une paire de droites parallèles ont la même aire lorsque leurs bases sont égales, ou ils ont une base commune. De même, si un parallélogramme et un rectangle se trouvent entre la même paire de droites parallèles et ont des bases égales ou ont une base commune, alors ils ont la même aire. Enfin, comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent, si un triangle et un parallélogramme ont une base commune ou ont des bases égales et se trouvent entre la même paire de droites parallèles, alors le parallélogramme a deux fois l’aire du triangle.