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Vidéo de la leçon : Équations cinématiques Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer les lois du mouvement d’accélération rectiligne uniforme d’une particule.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer les lois du mouvement d’accélération rectiligne uniforme d’une particule. Jusqu’à présent, nous avons utilisé la formule vitesse égale distance sur temps. La vitesse est égale à la distance divisée par le temps. Cette formule s’applique lorsque l’accélération de l’objet est nulle. On peut aussi voir l’accélération comme la pente de la courbe représentée sur un graphique vitesse-temps. Nous allons maintenant introduire de nouvelles équations. On peut les appeler équations à accélération constante ou uniforme car elles s’appliquent lorsque l’accélération est uniforme, c’est-à-dire que l’accélération ne change pas. Voyons d’où viennent ces équations.

Commençons par considérer un graphique vitesse–temps. 𝑣 indice zéro est la vitesse initiale de l’objet. 𝑣 est la vitesse à l’instant 𝑡. Soit 𝑎 l’accélération. Et Δ𝑥 ou variation de 𝑥 est le déplacement de l’objet, parfois noté 𝑠. On sait que l’accélération est égale à la pente de la courbe d’un graphique vitesse–temps. Puisque l’accélération est constante, il s’agit d’une droite. Et pour trouver la pente ou le coefficient directeur d’une droite, on utilise la formule variation de 𝑦 sur variation de 𝑥.

Dans notre graphique, la variation de 𝑦 est cette longueur ici. C’est la différence entre la vitesse initiale et la vitesse après 𝑡 unités de temps. C’est 𝑣 moins 𝑣 zéro. La variation de 𝑥 est la longueur de ce segment. C’est 𝑡 moins zéro, soit 𝑡. Et donc, la pente de la droite, qui représente l’accélération 𝑎, est dans ce cas 𝑣 moins 𝑣 zéro sur 𝑡. Si on multiplie chaque côté de l’équation par 𝑡, on obtient 𝑎𝑡 égale 𝑣 moins 𝑣 zéro. Si on ajoute 𝑣 zéro de chaque côté, on obtient 𝑣 égale 𝑣 zéro plus 𝑎𝑡. Donc 𝑣 est égal à 𝑣 zéro plus 𝑎𝑡. C’est notre première équation cinématique.

Passons à la deuxième. Retournons au graphique, et rappelons que le déplacement se trouve en calculant l’aire entre la droite et l’axe des abscisses. On peut séparer cette zone en un rectangle et un triangle. L’aire du rectangle est le produit de ses dimensions. Donc, c’est 𝑣 zéro fois 𝑡. Et l’aire d’un triangle est un demi de la base fois la hauteur. Donc, ici, c’est un demi de 𝑣 moins 𝑣 zéro fois 𝑡. Et donc, le déplacement Δ𝑥, qui bien sûr est l’aire entre la droite et l’axe des 𝑥, est 𝑣 zéro 𝑡 plus un demi de 𝑣 moins 𝑣 zéro 𝑡. Mais on a écrit tout à l’heure que 𝑣 moins 𝑣 zéro était égal à 𝑎𝑡. Donc, on remplace cela par 𝑎𝑡 dans l’équation, et on obtient Δ𝑥 égale 𝑣 zéro 𝑡 plus un demi de 𝑎𝑡 fois 𝑡, soit un demi de 𝑎 𝑡 au carré. C’est notre deuxième équation cinématique.

Cette vidéo n’a pas pour but de retrouver toutes les équations. Mais, en manipulant ces deux équations, ou par une autre approche graphique, on obtient deux autres formules. Il s’agit de Δ𝑥 égale un demi de 𝑣 zéro plus 𝑣 fois 𝑡 et 𝑣 au carré égale 𝑣 zéro au carré plus deux fois 𝑎 fois Δ𝑥. Alors, comment appliquer ces formules ? Commençons par énumérer toutes les mesures connues. Ensuite, identifions celle qui est inconnue et qu’on ne nous demande pas de trouver. On élimine toutes les équations qui ne nous intéressent pas, il n’en reste qu’une seule. Voyons ce que ça donne.

Une particule se déplace en ligne droite avec une vitesse initiale de 25,1 centimètres par seconde et une accélération uniforme de 2,4 centimètres par seconde au carré ; déterminez sa vitesse après neuf secondes.

L’énoncé précise que la particule a une accélération uniforme. Ce qui indique qu’on peut utiliser les équations d’accélération uniforme ou constante. Ce sont nos quatre équations cinématiques. Commençons par écrire ces équations. Nous cherchons à éliminer toutes ces équations sauf une. Pour ce faire, listons les mesures données dans l’énoncé. On nous donne la vitesse initiale 𝑣 zéro. C’est 25,1 centimètres par seconde. On a une accélération de 2,4 centimètres par seconde au carré et un temps de neuf secondes.

Nous cherchons la vitesse après neuf secondes. Ça veut dire qu’on ne s’intéresse pas à Δ𝑥, le déplacement de l’objet. Donc, listons et éliminons toutes les équations qui contiennent Δ𝑥. Ce sont les équations deux, trois et quatre. Il nous reste donc une équation, 𝑣 égale 𝑣 zéro plus 𝑎𝑡. Ensuite, on substitue dans cette formule toutes les valeurs connues sur la particule. On cherche 𝑣, et on a 𝑣 égale 𝑣 zéro, soit 25,1, plus 𝑎 fois 𝑡, soit 2,4 fois neuf. 2,4 multiplié par neuf égale 21,6. Ainsi, la vitesse est 25,1 plus 21,6, ce qui fait 46,7.

Notez qu’on utilise les centimètres par seconde, les centimètres par seconde au carré et les secondes. Donc, l’unité de la vitesse après neuf secondes est le centimètre par seconde. La vitesse de la particule est donc de 46,7 centimètres par seconde.

Dans l’exemple suivant, on verra comment calculer la distance parcourue par un objet.

Un petit ballon se déplace horizontalement en démarrant à 16,3 mètres par seconde. Il se déplace en ligne droite avec une décélération uniforme de trois mètres par seconde au carré. Déterminez la distance parcourue par le ballon lors des deux premières secondes.

Le ballon a une décélération uniforme. Autrement dit, il a une accélération négative uniforme. On va donc utiliser les équations cinématiques, les équations d’accélération uniforme. Et donc, on commence par écrire ces quatre équations. Voici ces équations pour une vitesse initiale 𝑣 zéro, une accélération 𝑎, une vitesse 𝑣 à l’instant 𝑡, et un déplacement de Δ𝑥.

L’étape suivante consiste à éliminer toutes ces équations sauf une ; listons d’abord toutes les informations données sur le mouvement de l’objet. On sait que le petit ballon démarre à 16,3 mètres par seconde, c’est donc sa vitesse initiale. Il a une décélération uniforme de trois mètres par seconde au carré. Autrement dit, il ralentit. Donc, son accélération est égale à moins trois. Le temps 𝑡 est de deux secondes, et on recherche la distance parcourue par le ballon.

On rappelle que la distance est simplement la valeur du déplacement. Donc, la distance est ici Δ𝑥. C’est la variation de 𝑥. Ainsi, on ne s’intéresse pas à 𝑣, la vitesse finale de l’objet. Donc, on examine les équations et on élimine toutes les équations qui contiennent 𝑣. Donc, les équations un, trois et quatre ; il ne reste que l’équation deux.

La prochaine étape consiste à substituer dans l’équation les valeurs connues sur le ballon. On cherche à calculer Δ𝑥. Alors, 𝑣 zéro 𝑡 égale 16,3 fois deux. Un demi de 𝑎 𝑡 au carré devient un demi de moins trois fois deux au carré. Ensuite, 16,3 fois deux égale 32,6. Et un demi de moins trois fois deux au carré égale moins six. Donc, Δ𝑥 égale 32,6 moins six, soit 26,6, et ça se mesure en mètres. Ainsi, le ballon parcourt 26,6 mètres lors des deux premières secondes de son déplacement.

On pourrait penser que le fait qu’il s’agisse d’un déplacement rectiligne est superflu. C’est en fait très important. Cela permet de considérer une seule direction du mouvement. Si on doit considérer deux directions, cela complique un peu les choses.

Passons à un autre exemple.

Une particule se déplaçant en ligne droite accélère à une vitesse de 22 centimètres par seconde au carré dans la même direction que sa vitesse initiale. Si elle se déplace de 29 mètres en 10 secondes, calculez sa vitesse initiale 𝑣 zéro et sa vitesse 𝑣 à la fin de ces 10 secondes.

On nous dit que la particule accélère de 22 centimètres par seconde au carré. Donc, pour répondre à cette question, nous allons utiliser les équations cinématiques. Ce sont bien sûr les équations pour une accélération constante. Voici ces équations pour une vitesse initiale 𝑣 zéro, une vitesse 𝑣 à l’instant 𝑡, une accélération 𝑎 et un déplacement Δ𝑥.

Listons les valeurs connues pour ce mouvement. On sait que l’accélération est constante, de 22 centimètres par seconde au carré. Elle se fait dans la même direction que la vitesse initiale. Or, on ne connaît pas la vitesse initiale, mais comme elles ont la même direction, on peut considérer positives à la fois l’accélération et 𝑣 zéro. On sait également qu’il y a un déplacement de 29 mètres en 10 secondes. N’oubliez pas que le déplacement a une direction. Donc, en ne considérant que sa norme, on parle d’une distance, qui est de 29 mètres. Le temps 𝑡 est de 10 secondes.

Or, l’énoncé demande de calculer la vitesse initiale et la vitesse à la fin de la période. Commençons par calculer la vitesse initiale 𝑣 zéro. Ici, on ne s’intéresse pas à 𝑣, donc on examine les équations et on élimine celles contenant 𝑣. Les équations un, trois et quatre. La prochaine étape est de substituer tout ce qu’on sait du mouvement de la particule dans cette deuxième équation. Mais il y a un petit problème. On remarque que les unités de l’accélération et du déplacement sont différentes. Il faut que ce soient les mêmes. Donc, on multiplie le déplacement par 100, on trouve 2900 centimètres.

Ensuite, on remplace dans cette formule toutes les valeurs connues, on obtient 2900 égale 10𝑣 zéro plus un demi de 22 fois 10 au carré. Un demi de 22 fois 10 au carré égale 1100. Donc, on retranche 1100 de chaque côté, et on obtient que 1800 est égal à 10 fois 𝑣 zéro. La dernière étape consiste à diviser par 10. 1800 divisé par 10 égale 180. Maintenant, on utilise les centimètres. Ainsi, la vitesse, la vitesse initiale 𝑣 zéro, est de 180 centimètres par seconde. On peut choisir de répondre en mètres par seconde en divisant par 100. On obtient alors que 𝑣 zéro égale 1,8 mètre par seconde.

Ce n’est pas tout à fait terminé. On cherche toujours à calculer la vitesse 𝑣 à la fin de la période. Maintenant qu’on connaît 𝑣 zéro, on peut utiliser n’importe laquelle des équations. Utilisons la première. On remplace dans la formule toutes les valeurs connues sur le mouvement de la particule, on reste en centimètres et en centimètres par seconde. On obtient 𝑣 égale 180 plus 22 fois 10. 22 fois 10 égale 220. Et 180 plus 220 égale 400. Bien sûr, on est toujours en centimètres par seconde. Pour répondre en mètres par seconde, on divise par 100. On obtient que la vitesse 𝑣 à la fin du déplacement est de quatre mètres par seconde.

Dans le dernier exemple, nous allons déterminer la vitesse finale du corps.

Une particule se déplace en ligne droite à une accélération constante de deux centimètres par seconde au carré. Pour une vitesse initiale de 60 centimètres par seconde, trouvez la vitesse du corps à 15 mètres du point de départ.

L’accélération étant constante, nous allons utiliser les équations cinématiques. Pour une vitesse initiale 𝑣 zéro, une accélération 𝑎 et une vitesse 𝑣 à l’instant 𝑡, la première équation est 𝑣 égale à 𝑣 zéro plus 𝑎𝑡. On note Δ𝑥 le déplacement de l’objet. On a Δ𝑥 égale 𝑣 zéro 𝑡 plus un demi 𝑎 𝑡 au carré. La troisième équation Δ𝑥 égale un demi de 𝑣 zéro plus 𝑣 fois 𝑡. Il y a une dernière équation. 𝑣 au carré égale 𝑣 zéro au carré plus deux fois 𝑎 fois Δ𝑥.

Voyons ce qu’on sait du mouvement de la particule. On a une accélération de deux centimètres par seconde au carré, une vitesse initiale de 60 centimètres par seconde et un déplacement Δ𝑥 de 15 mètres. Or, l’accélération et la vitesse sont données en centimètres par seconde et en centimètres par seconde au carré. Donc, on veut que l’unité soit la même pour Δ𝑥. On multiplie 15 par 100, on trouve 1500 centimètres. On cherche la vitesse du corps quand il est à cette distance du point de départ. Notez que ça veut dire qu’on ne s’intéresse pas au temps que ça prend.

Donc, on examine les quatre équations cinématiques et on élimine celles qui contiennent 𝑡. Donc, les équations un, deux et trois. Il ne reste qu’une seule équation, 𝑣 au carré égale 𝑣 zéro au carré plus deux fois 𝑎 fois Δ𝑥. Remplaçons dans cette équation les valeurs connues sur le mouvement de la particule. On obtient que 𝑣 au carré est égal à 60 au carré plus deux fois deux fois 1500. 60 au carré égale 3600. Et deux fois deux fois 1500 égale 6000. Donc, 𝑣 au carré égale 9600.

On peut donc en déduire 𝑣 en prenant la racine carrée de chaque côté de l’équation. 𝑣 est donc égal à la racine carrée de 9600. Soit 97,97 et quelques. Soit 98, arrondi à l’entier le plus proche. Ainsi, la vitesse du corps à 15 mètres du point de départ est de 98 centimètres par seconde.

Dans cette vidéo, on a appris à utiliser les équations cinématiques pour modéliser un mouvement à accélération constante et rectiligne. Ce sont ces quatre équations. Dans ces équations, 𝑣 zéro est la vitesse initiale, 𝑣 est la vitesse à l’instant 𝑡, 𝑎 est l’accélération constante, et Δ𝑥 est le déplacement de l’objet. Nous avons également vu qu’il est très important de vérifier que toutes les unités concordent.

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