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Vidéo de la leçon : Équations cinématiques Mathématiques

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment appliquer les lois du mouvement d’accélération uniforme d’une particule en droite.

15:38

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment appliquer les lois du mouvement d’accélération uniforme d’une particule en droite. Jusqu’à présent, nous avons utilisé la formule vitesse-distance-temps. La vitesse est la distance divisée par le temps. Cette formule est applicable lorsque l’accélération de l’objet est égale à zéro. Nous aurions également pu considérer l’accélération en termes de gradient ou de pente de la droite sur un graphique vitesse-temps. Maintenant, nous cherchons à introduire de nouvelles équations. Ces équations sont parfois appelées équations d’accélération constante ou uniforme, ainsi appelées parce qu’elles sont appliquées lorsque vous travaillez avec une accélération uniforme, c’est-à-dire une accélération qui ne change pas. Voyons donc d’où viennent ces équations.

Nous commençons par considérer un graphique vitesse-temps. 𝑣 zéro ou 𝑣 indice zéro est la vitesse initiale ou la vitesse d’origine de notre objet. 𝑣, alors, est la vitesse après un temps 𝑡. Soit 𝑎 égal à l’accélération. Et Δ𝑥 ou variation de 𝑥 est le déplacement de l’objet, parfois donné comme 𝑠. Maintenant, nous savons que l’accélération est donnée par la pente de la droite sur un graphique vitesse-temps. Puisque l’accélération est constante, nous avons une droite. Et pour trouver la pente ou le gradient d’une droite, nous utilisons la formule montée sur course ou variation de 𝑦 sur variation de 𝑥.

Dans notre diagramme, la variation de 𝑦 est cette longueur ici. C’est la différence entre la vitesse initiale et la vitesse après 𝑡 unités de temps. C’est 𝑣 moins 𝑣 zéro. La variation de 𝑥 est la longueur de cette droite. C’est 𝑡 moins zéro ou juste 𝑡. Et donc, la pente de notre droite qui représente l’accélération 𝑎, dans ces conditions, est donnée par 𝑣 moins 𝑣 zéro sur 𝑡. Si nous multiplions les deux côtés de l’équation par 𝑡, nous obtenons 𝑎𝑡 égal à 𝑣 moins 𝑣 zéro. Et puis si nous ajoutons 𝑣 zéro aux deux côtés, nous obtenons 𝑣 est égal à 𝑣 zéro plus 𝑎𝑡. Donc 𝑣 est égal à 𝑣 zéro plus 𝑎𝑡. C’est notre première équation cinématique.

Nous allons maintenant considérer notre deuxième. Cette fois, nous revenons à notre graphique et rappelons que le déplacement est trouvé en calculant l’aire entre la droite et l’axe des 𝑥. Nous pouvons diviser cette zone en un rectangle et un triangle. L’aire du rectangle est le produit de ses dimensions. Donc, c’est 𝑣 zéro fois 𝑡. Et l’aire d’un triangle est la moitié de la base fois la hauteur. Donc ici, c’est un demi fois 𝑣 moins 𝑣 zéro fois 𝑡. Et donc, cela signifie que le déplacement Δ𝑥, qui est bien sûr l’aire entre la droite et l’axe des 𝑥, est 𝑣 zéro 𝑡 plus un demi fois 𝑣 moins 𝑣 zéro 𝑡. Mais auparavant, nous avons défini 𝑣 moins 𝑣 zéro comme étant égal à 𝑎𝑡. Donc, nous remplaçons cela par 𝑎𝑡 dans notre équation, et nous obtenons Δ𝑥 égal à 𝑣 zéro 𝑡 plus un demi fois 𝑎𝑡 fois 𝑡 ou demi 𝑎𝑡 au carré. Et ceci est notre deuxième équation cinématique.

Maintenant, il est hors de portée de cette vidéo de dériver toutes nos équations. Mais en réorganisant les deux que nous avons ou en envisageant une autre approche graphique, nous pouvons obtenir deux autres formules. Ce sont Δ𝑥 égal à un demi fois 𝑣 zéro plus 𝑣 fois 𝑡 et 𝑣 au carré est égal à 𝑣 zéro au carré plus deux fois 𝑎 fois Δ𝑥. Alors, comment appliquons-nous ces formules ? Nous commençons par énumérer toutes les mesures que nous connaissons. Nous identifions ensuite celui que nous ne connaissons pas et que nous n’essayons pas de trouver. Cela éliminera toutes les équations qui ne nous intéressent pas, en laissant une seule derrière. Voyons à quoi ça ressemble.

Si une particule a commencé à se déplacer en droite avec une vitesse initiale de 25.1 centimètres par seconde et une accélération uniforme de 2.4 centimètres par seconde carrée, déterminez sa vitesse après neuf secondes.

La question indique que la particule a une accélération uniforme. C’est une bonne indication pour nous que nous allons devoir utiliser les équations d’accélération uniforme ou constante. Ce sont les quatre équations cinématiques. Donc, nous commençons par énumérer les équations. Notre travail consiste à éliminer toutes ces équations sauf une. Et nous le faisons en énumérant les mesures qui nous ont été données dans la question. On nous donne la vitesse initiale 𝑣 zéro. Cela représente 25.1 centimètres par seconde. Nous avons une accélération de 2.4 centimètres par seconde carrée et un temps de neuf secondes.

Nous cherchons à calculer la vitesse après neuf secondes. Notez que cela signifie que nous ne sommes vraiment pas intéressés par Δ𝑥, le déplacement de notre objet. Et donc, nous passons en revue et éliminons toutes les équations qui contiennent Δ𝑥. Ce sont deux, l’équation trois et quatre. Et donc, nous nous retrouvons avec une équation ; c’est 𝑣 est égal à 𝑣 zéro plus 𝑎𝑡. Ensuite, nous remplaçons tout ce que nous savons de nos particules dans cette formule. Nous cherchons à calculer 𝑣, donc nous disons que 𝑣 est égal à 𝑣 zéro, qui est 25.1, plus 𝑎 fois 𝑡, soit 2.4 fois neuf. 2.4 multiplié par neuf est 21.6. Ainsi, la vitesse est donnée par 25.1 plus 21.6, ce qui est 46.7.

Notez que nous avons travaillé en centimètres par seconde, en centimètres par seconde carrée et en secondes. Et donc, les unités de notre vitesse après neuf secondes sont des centimètres par seconde. La vitesse de la particule est donc de 46.7 centimètres par seconde.

Dans notre prochain exemple, nous verrons comment calculer la distance parcourue par un objet.

Une petite balle a commencé à se déplacer horizontalement à 16.3 mètres par seconde. Il se déplaçait en droite avec une décélération uniforme de trois mètres par seconde carrée. Déterminez la distance parcourue par le ballon dans les deux premières secondes.

Le ballon a une décélération uniforme. En d’autres termes, il a une accélération négative uniforme. Cela nous indique que nous allons utiliser les équations cinématiques, les équations d’accélération uniforme. Et donc, la première chose que nous faisons est d’énumérer ces quatre équations. Pour une vitesse initiale 𝑣 zéro, une accélération de 𝑎, une vitesse de 𝑣 à l’instant 𝑡 unités de temps et un déplacement de Δ𝑥, ils sont comme indiqué.

Notre prochaine étape consiste à éliminer toutes ces équations sauf une, et nous le faisons en listant tout ce que nous savons sur le mouvement de notre objet. On nous dit que la petite balle commence à se déplacer à 16.3 mètres par seconde, c’est donc sa vitesse initiale. Elle a une décélération uniforme de trois mètres par seconde carrée. En d’autres termes, elle ralentit. Donc, nous disons que son accélération est moins trois. Le temps 𝑡 est de deux secondes, et nous cherchons à trouver la distance que la balle couvre.

Nous rappelons que la distance est simplement la norme du déplacement. Donc, la distance ici est Δ𝑥. C’est le variation dans 𝑥. Et cela signifie que nous ne sommes pas intéressés par 𝑣, la vitesse finale de l’objet. Donc, nous passons par nos équations et nous éliminons chaque équation qui contient 𝑣. C’est un, trois et quatre, ce qui nous laisse, bien sûr, avec juste l’équation deux.

Notre prochain travail consiste à substituer ce que nous savons de notre balle à cette équation. Δ𝑥 est ce que nous essayons de calculer. Alors, 𝑣 zéro 𝑡 est 16.3 fois deux. Un demi 𝑎𝑡 carré devient un demi fois moins trois fois deux au carré. Ensuite, 16.3 fois deux est 32.6. Et un demi fois moins trois fois deux au carré est moins six. Donc, Δ𝑥 est 32.6 moins six, ce qui est 26.6, et nous le mesurons en mètres. Ainsi, le ballon couvre une distance de 26.6 mètres dans les deux premières secondes de son mouvement.

Maintenant, il peut sembler que les informations sur la balle se déplaçant en droite sont quelque peu superflues. Cependant, c’est vraiment très important. Il nous permet simplement de considérer une seule direction de mouvement. Si nous devions considérer deux directions, cela compliquerait un peu plus les choses.

Passons à un autre exemple.

Une particule se déplaçant en droite accélérait à une vitesse de 22 centimètres par seconde carrée dans la même direction que sa vitesse initiale. Si l’amplitude de son déplacement 10 secondes après qu’il a commencé à se déplacer était de 29 mètres, calculez la valeur absolue de sa vitesse initiale 𝑣 zéro et de sa vitesse 𝑣 à la fin de cette période.

On nous donne que la particule accélère à un rythme constant de 22 centimètres par seconde carrée. Cela signifie que pour répondre à cette question, nous allons devoir utiliser les équations cinématiques. Ce sont, bien sûr, des équations d’accélération constante. Pour une vitesse de départ 𝑣 zéro, une vitesse 𝑣 après 𝑡 unités de temps, une accélération 𝑎 et un déplacement Δ𝑥, ils sont comme indiqué.

Nous commençons par énumérer tout ce que nous savons de notre motion. Nous avons déjà dit que nous savons que l’accélération est constante et qu’elle est de 22 centimètres par seconde carrée. C’est dans la même direction que sa vitesse initiale. Maintenant, nous ne connaissons pas sa vitesse initiale, mais en supposant qu’ils sont dans la même direction, nous pouvons considérer que l’accélération et 𝑣 zéro sont positifs. On nous dit également que la norme du déplacement 10 secondes après qu’il a commencé à se déplacer était de 29 mètres. N’oubliez pas que le déplacement peut avoir une direction. Donc, en ne considérant que la norme, nous pensons à la distance ; c’est 29 mètres. Le temps 𝑡 est de 10 secondes.

Maintenant, la question nous demande en fait de calculer l’amplitude de la vitesse initiale et sa vitesse à la fin de la période. Commençons par calculer sa vitesse initiale - rien. Dans ce cas, nous ne sommes pas intéressés par 𝑣, donc nous parcourons nos équations et éliminons celles contenant 𝑣. Ce sont un, trois et quatre. Notre prochaine étape serait normalement de remplacer tout ce que nous savons sur le mouvement de notre particule dans cette deuxième équation. Nous avons cependant un petit problème. On remarque que les unités de notre accélération et de notre déplacement sont différentes. Nous avons besoin qu’ils soient les mêmes. Donc, nous multiplions le déplacement par 100 et nous constatons qu’il est en fait égal à 2900 centimètres.

Ensuite, en remplaçant tout ce que nous savons dans cette formule, et nous obtenons 2900 est égal à 10 𝑣 zéro plus un demi fois 22 fois 10 au carré. Un demi fois 22 fois 10 au carré est 1100. Donc, nous soustrayons 1100 des deux côtés, et nous constatons que 1800 est égal à 10 fois 𝑣 zéro. Notre dernière étape consiste à diviser par 10. 1800 divisé par 10 est 180. Maintenant, nous travaillons en centimètres. Ainsi, notre vitesse, notre vitesse initiale - 𝑣 zéro est de 180 centimètres par seconde. Nous pourrions choisir de donner notre réponse en mètres par seconde en divisant par 100. Et lorsque nous le faisons, nous constatons que 𝑣 zéro est de 1.8 mètres par seconde.

Nous n’avons pas tout à fait fini. Nous cherchons toujours à calculer sa vitesse 𝑣 à la fin de la période. Maintenant que nous savons 𝑣 zéro, nous pouvons réellement utiliser nos équations. Alors, utilisons le premier. Nous remplaçons tout ce que nous savons sur le mouvement de nos particules dans cette formule, en continuant à travailler en centimètres et en centimètres par seconde. Quand nous le faisons, nous obtenons 𝑣 est 180 plus 22 fois 10. 22 fois 10 est 220. Et 180 plus 220 est 400. Nous travaillons toujours, bien sûr, en centimètres par seconde. Pour donner notre réponse en mètres par seconde, nous allons diviser par 100. Et lorsque nous le faisons, nous constatons que la vitesse 𝑣 à la fin du mouvement est de quatre mètres par seconde.

Dans notre dernier exemple, nous chercherons à trouver la vitesse finale du corps.

Une particule se déplaçait en droite avec une accélération constante de deux centimètres par seconde carrée. Étant donné que sa vitesse initiale était de 60 centimètres par seconde, trouvez la vitesse du corps à 15 mètres du point de départ.

Nous avons une accélération constante, nous allons donc utiliser nos équations cinématiques. Pour une vitesse de départ 𝑣 zéro, une accélération 𝑎 et une vitesse 𝑣 après 𝑡 unités de temps, la première équation est 𝑣 égale à 𝑣 zéro plus 𝑎𝑡. Nous introduisons Δ𝑥 pour représenter le déplacement des objets. Et nous obtenons Δ𝑥 égal à 𝑣 zéro 𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré. Notre troisième équation Δ𝑥 est égale à un demi 𝑣 zéro plus 𝑣 fois 𝑡. Et puis nous avons une autre équation. C’est-à-dire que 𝑣 au carré est égal à 𝑣 zéro au carré plus deux fois 𝑎 fois Δ𝑥.

Énumérons ce que nous savons du mouvement de notre particule. Nous avons une accélération de deux centimètres par seconde carrée, une vitesse initiale de 60 centimètres par seconde et un déplacement Δ𝑥 de 15 mètres. Maintenant, en fait, notre accélération et notre vitesse sont données en centimètres par seconde et en centimètres par seconde carrée. Donc, nous voulons que les unités soient les mêmes pour Δ𝑥. On multiplie 15 par 100 et on voit que ça fait 1500 centimètres. Nous cherchons à trouver la vitesse du corps quand il est à cette distance du point de départ. Notez que cela signifie que nous ne sommes pas intéressés par le temps que cela prend.

Donc, nous passons à nos quatre équations cinématiques et nous nous débarrassons de celles qui contiennent 𝑡. Eh bien, c’est l’équation un, deux et trois. Cela nous laisse avec une seule équation, 𝑣 au carré est égal à 𝑣 zéro au carré plus deux fois 𝑎 fois Δ𝑥. Nous allons remplacer tout ce que nous savons sur le mouvement de notre particule dans cette équation. Lorsque nous le faisons, nous obtenons 𝑣 au carré est égal à 60 au carré plus deux fois deux fois 1500. 60 au carré est 3600. Et deux fois deux fois 1500 est 6000. Ainsi, 𝑣 au carré est égal à 9600.

Il s’ensuit que nous pouvons résoudre pour 𝑣 en trouvant la racine carrée des deux côtés de notre équation. 𝑣 est donc égal à la racine carrée de 9600. C’est 97.97 et ainsi de suite. Arrondi au nombre entier le plus proche, c’est 98. Et nous pouvons donc dire que la vitesse du corps à 15 mètres du point de départ est de 98 centimètres par seconde.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons utiliser des équations cinématiques pour modéliser le mouvement impliquant une accélération constante en droite. Les quatre équations que nous utilisons sont présentées. Dans ces équations, 𝑣 zéro n’est la vitesse initiale, 𝑣 est la vitesse après 𝑡 unités de temps, 𝑎 est l’accélération constante et Δ𝑥 est le déplacement de l’objet. Nous avons également vu qu’il est très important de travailler avec ces équations pour s’assurer que toutes les unités sont identiques.

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