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Vidéo de question : Trouver le ratio entre les aires de deux triangles en utilisant le théorème de la bissectrice d’un angle d’un triangle Mathématiques

Sachant que 𝐴𝐵 = 30 cm, 𝐵𝐶 = 40 cm et 𝐴𝐶 = 45 cm, déterminez le rapport entre les aires de △𝐴𝐸𝐷 et de △𝐴𝐸𝐶.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝐴𝐵 égale 30 centimètres, 𝐵𝐶 égale 40 centimètres et 𝐴𝐶 égale 45 centimètres, déterminez le rapport entre les aires du triangle 𝐴𝐸𝐷 et du triangle 𝐴𝐸𝐶.

Nous commençons par compléter la figure avec les trois mesures de longueur qui nous sont données. 𝐴𝐵 est de 30 centimètres, 𝐵𝐶 est de 40 centimètres, et 𝐴𝐶 est de 45 centimètres. Nous devons, dans ce problème, trouver le rapport entre les aires de ces deux triangles, 𝐴𝐸𝐷 et 𝐴𝐸𝐶. Pour le moment, nous n'avons pas assez d'informations pour calculer les aires, mais voyons comment nous allons procéder. Rappelons que l'aire d'un triangle correspond à la moitié de la base 𝑏 multipliée par la hauteur ℎ. Si nous avions créé une droite perpendiculaire entre le sommet 𝐴 et le segment de droite 𝐸𝐶 et que nous l'avions définie comme étant ℎ, cela correspondrait à la hauteur perpendiculaire des deux triangles 𝐴𝐸𝐷 et 𝐴𝐸𝐶.

Pour déterminer l'aire du triangle 𝐴𝐸𝐷, il faut multiplier la base, qui est le segment 𝐸𝐷, par un demi et la multiplier par la hauteur ℎ. Pour le triangle 𝐴𝐸𝐶, la longueur de la base est 𝐸𝐶 et donc l'aire du triangle 𝐴𝐸𝐶 est la moitié de 𝐸𝐶 fois ℎ. Pour exprimer les aires sous la forme d'un rapport, nous pourrions écrire qu’il s’agit de la moitié de 𝐸𝐷 fois ℎ sur la moitié de 𝐸𝐶 fois ℎ. La moitié de ℎ étant un facteur commun à ces deux aires, ce rapport peut s'écrire 𝐸𝐷 sur 𝐸𝐶. Nous n'avons pas d'informations sur la longueur pour déterminer le rapport entre 𝐸𝐷 et 𝐸𝐶. Notons donc cela en haut de la page et libérons de l'espace pour déterminer ces longueurs.

Revenons à la figure donnée. Nous observons que l'angle intérieur du triangle 𝐴𝐵𝐶 a été divisé en deux car l'angle 𝐵𝐴𝐷 est congru à l'angle 𝐷𝐴𝐶. Nous savons aussi qu'un angle extérieur du même triangle a été divisé en deux car l'angle 𝐹𝐴𝐸 est congru à l'angle 𝐸𝐴𝐵. Nous pouvons donc utiliser deux théorèmes de la bissectrice d'un angle, ce qui nous donnera un rapport entre les segments relatifs aux bissectrices intérieures et extérieures d'un triangle. Par le théorème de la bissectrice intérieure, nous pouvons écrire que 𝐷𝐶 sur 𝐷𝐵 égale 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐵. Par le théorème de la bissectrice extérieure, on a que 𝐸𝐵 sur 𝐸𝐶 égale 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐶.

Sachant que 𝐴𝐵 mesure 30 centimètres et 𝐴𝐶, 45 centimètres, nous pouvons substituer par ces longueurs. Nous obtenons ainsi que 𝐷𝐶 sur 𝐷𝐵 égale 45 sur 30, ce qui se simplifie en trois sur deux. De la même manière, 𝐸𝐵 sur 𝐸𝐶 égale à 30 sur 45, ce qui se simplifie en deux tiers. Nous avons maintenant deux équations. Examinons de plus près la deuxième équation. En observant la figure, nous savons que le segment 𝐸𝐶 est égal au segment 𝐸𝐵 plus le segment 𝐵𝐶. Nous pouvons substituer ce résultat dans la deuxième équation, ainsi que le fait que la longueur de 𝐵𝐶 est de 40 centimètres, pour obtenir 𝐸𝐵 sur 𝐸𝐵 plus 40 est égal à deux tiers.

Il ne reste plus qu'une inconnue dans cette équation, nous pouvons faire un produit en croix pour calculer 𝐸𝐵. Nous obtenons ainsi que trois fois 𝐸𝐵 égale deux fois 𝐸𝐵 plus 40, donc trois fois 𝐸𝐵 égale deux fois 𝐸𝐵 plus 80. Ensuite, en soustrayant deux fois 𝐸𝐵 des deux côtés, nous obtenons que 𝐸𝐵 égale 80 centimètres. Puisque nous connaissons cette longueur de 80 centimètres, reprenons le fait que nous essayions de calculer le rapport de 𝐸𝐷 à 𝐸𝐶. Nous pourrions observer que nous avons assez d'informations pour déterminer la longueur de 𝐸𝐶, mais il faut aussi déterminer la longueur de 𝐸𝐷. Pour cela, nous avons vraiment besoin de connaître la longueur du segment 𝐷𝐵.

Nous allons voir si nous pouvons maintenant utiliser l'équation une que nous avons déterminée précédemment. D'après la figure, nous pouvons remarquer que 𝐷𝐵 plus 𝐷𝐶 est égale à 𝐵𝐶, donc 𝐷𝐶 est égale à 𝐵𝐶 moins 𝐷𝐵. Puisque nous savons que la longueur de 𝐵𝐶 est 40 centimètres, nous pouvons dire que 𝐷𝐶 égale 40 moins 𝐷𝐵. Nous pouvons alors substituer ce résultat dans l'équation une pour obtenir 40 moins 𝐷𝐵 sur 𝐷𝐵 égale trois sur deux. En réalisant un produit en croix, nous avons deux fois 40 moins 𝐷𝐵 égale trois fois 𝐷𝐵. En simplifiant, nous obtenons 80 moins deux fois 𝐷𝐵 égale trois fois 𝐷𝐵. En ajoutant deux fois 𝐷𝐵 aux deux côtés, nous obtenons que 80 égale cinq fois 𝐷𝐵. Enfin, nous divisons par cinq pour que 80 plus cinq soit égal à 𝐷𝐵. Cela signifie que 𝐷𝐵 doit être de 16 centimètres.

Nous avons maintenant assez d'informations pour calculer le rapport entre 𝐸𝐷 et 𝐸𝐶. 𝐸𝐷 égale 80 centimètres plus 16 centimètres, soit 96 centimètres. La longueur de 𝐸𝐶 égale 80 centimètres plus 40 centimètres, soit 120 centimètres. En prenant soin d'écrire les valeurs dans le bon ordre dans le rapport, nous pouvons dire que le rapport de 𝐸𝐷 à 𝐸𝐶 est de 96 à 120. Ce qui se simplifie en un rapport de quatre à cinq. Bien sûr, même si nous avons calculé le rapport entre 𝐸𝐷 et 𝐸𝐶, rappelez-vous que nous avons déterminé au début de que le rapport entre les aires des deux triangles 𝐴𝐸𝐷 et 𝐴𝐸𝐶 est le même que ce rapport. Par conséquent, la réponse est un rapport de quatre à cinq.

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