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Vidéo de la leçon : Égalité de matrices Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les conditions pour que deux matrices soient égales.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre ce que signifie l’égalité de deux matrices. Nous allons identifier les conditions qui doivent être remplies pour que deux matrices soient égales. Et nous utiliserons ces conditions pour résoudre des équations matricielles.

Avant d’aborder les matrices, commençons par parler de l’égalité en général car nous avons déjà vu différents types d’égalités. Par exemple, nous savons que si 𝑥 est égal à cinq et 𝑦 est égal à cinq, alors x doit être égal à 𝑦 car ils représentent tous les deux le même nombre, dans ce cas, cinq. Il est donc très facile de vérifier si deux nombres sont égaux. Il suffit de vérifier s’ils ont la même valeur.

Mais ce n’est pas le seul type d’égalité que nous connaissons. Considérons par exemple le vecteur 𝐯 égal à deux 𝐢 plus trois 𝐣 et le vecteur 𝐮 égal à deux 𝐢 plus trois 𝐣. Pour vérifier si les vecteurs sont égaux, nous devons vérifier que les coefficients de 𝐢 sont égaux et que les coefficients de 𝐣 sont égaux. Dans ce cas, les coefficients de 𝐢 sont tous les deux égaux à deux et les coefficients de 𝐣 sont tous les deux égaux à trois. Donc 𝐯 est égal à 𝐮. Mais cela implique plus de vérifications que pour des nombres. Par exemple, pour le vecteur 𝐰 égal à deux 𝐢 plus quatre 𝐣, comme les coefficients de 𝐣 de 𝐯 et 𝐰 sont différents, les vecteurs 𝐰 et 𝐯 ne peuvent pas égaux.

Mais on peut en plus rencontrer un autre problème avec les vecteurs. Supposons que le vecteur 𝐰 est maintenant égal à deux 𝐢 plus trois 𝐣 plus 𝐤. On voit à présent que son coefficient de 𝐢 est égal à deux et que son coefficient de 𝐣 est égal à trois. Mais nous savons que le vecteur 𝐰 n’est tout de même pas égal au vecteur 𝐯. Le vecteur 𝐰 est en effet exprimé en fonction d’un troisième vecteur unitaire orthogonal. 𝐯 est un vecteur en deux dimensions et 𝐰 est un vecteur en trois dimensions, ils ne peuvent donc pas être égaux. Vérifier l’égalité n’est donc pas toujours aussi simple que de simplement vérifier si deux nombres sont égaux.

Passons maintenant à l’égalité de deux matrices. Rappelez-vous que les matrices, tout comme les vecteurs, ont plusieurs coefficients. Il y a donc beaucoup de similitudes entre la définition de l’égalité de deux matrices et la définition de l’égalité de deux vecteurs.

Voici donc la définition de l’égalité de deux matrices. Soient 𝐴 et 𝐵 des matrices décrites par leurs coefficients telles que, pour la matrice 𝐴, le coefficient de la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 est désigné par 𝑎 𝑖𝑗 et pour la matrice 𝐵, le coefficient de la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 est désigné par 𝑏 𝑖𝑗. Si 𝑎 𝑖𝑗 est égal à 𝑏 𝑖𝑗 pour toutes les valeurs de 𝑖 et 𝑗, alors on dit que la matrice 𝐴 est égale à la matrice 𝐵. En d’autres termes, tous les coefficients correspondants doivent être identiques pour que deux matrices soient égales.

Il convient de noter que si seulement deux coefficients ne sont pas identiques - par exemple, si les coefficients de la ligne 𝑖 et de la colonne 𝑗 ne sont pas égaux, alors il existe un 𝑖 et un 𝑗 tels que 𝑎 𝑖𝑗 est différent de 𝑏 𝑖𝑗 - alors la matrice 𝐴 n’est pas égale à la matrice 𝐵. Donc, comme pour les vecteurs, tout ce que nous devons faire est de vérifier si tous les coefficients sont égaux. Passons maintenant à quelques exemples.

Sachant que 𝐴 est la matrice de première ligne trois, trois, trois et de deuxième ligne trois, trois, trois, et que 𝐵 est la matrice de première ligne trois, trois et deuxième ligne trois, trois, est-il vrai que la matrice 𝐴 est égale à la matrice 𝐵 ?

Commençons par rappeler ce que l’on entend quand on dit que deux matrices sont égales. Soient 𝑎 𝑖𝑗 le coefficient de la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de la matrice 𝐴 et 𝑏 𝑖𝑗 le coefficient de la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de la matrice 𝐵 ; si 𝑎 𝑖𝑗 est égal à 𝑏 𝑖𝑗 pour toutes les valeurs de 𝑖 et 𝑗, alors on dit que la matrice 𝐴 est égale à la matrice 𝐵. Sinon, on dit que ces matrices ne sont pas égales. Pour vérifier que les deux matrices sont égales, nous devons donc vérifier que tous leurs coefficients sont identiques.

Commençons par la matrice 𝐴. On voit qu’elle a deux lignes et trois colonnes. Donc quelles sont les valeurs des 𝑎 𝑖𝑗 ? La matrice 𝐴 a deux lignes et trois colonnes, donc les valeurs de 𝑖 vont de un à deux et les valeurs de 𝑗 vont de un à trois. Et on peut faire une observation similaire pour la matrice 𝐵. Si 𝑏 𝑘𝑙 est le coefficient de la ligne 𝑘 et de la colonne 𝑙 de la matrice 𝐵, comme 𝐵 n’a que deux lignes et deux colonnes, les valeurs de 𝑘 vont de un à deux et les valeurs de 𝑙 vont aussi de un à deux. Nous voyons alors un problème émerger par rapport à la définition de l’égalité. Les coefficients doivent être égaux pour toutes les lignes et toutes les colonnes possibles. La matrice 𝐴 a trois colonnes. Mais la matrice 𝐵 n’a que deux colonnes. Donc, ces matrices ne peuvent pas être égales.

Par exemple, pour les deux coefficients de la matrice 𝐴 de la troisième colonne, il devrait y avoir une troisième colonne dans la matrice 𝐵 égale à cette colonne d’après notre définition de l’égalité. Ce n’est pas le cas donc la matrice 𝐴 n’est pas égale à la matrice 𝐵.

On peut en fait montrer de cette manière que si deux matrices sont de dimensions différentes, elles ne peuvent pas être égales. En d’autres termes, si elles n’ont pas le même nombre de lignes ou de colonnes, elles ne peuvent pas être égales. Nous avons ainsi montré que pour que deux matrices soient égales, elles doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes. C’est-à-dire être de même dimension.

Bien sûr, ce n’est pas parce que deux matrices sont de même dimension qu’elles sont égales, comme nous allons le voir dans le prochain exemple.

Sachant que 𝐴 est la matrice moins cinq, trois, moins sept, moins trois et que 𝐵 est la matrice moins cinq, moins trois, moins sept, trois, peut-on dire que la matrice 𝐴 est égale à la matrice 𝐵 ?

On rappelle que pour que deux matrices soient égales, elles doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes et tous leurs coefficients doivent être identiques. On peut voir que la matrice 𝐴 a deux lignes et deux colonnes et que la matrice 𝐵 a également deux lignes et deux colonnes. Cela signifie que pour vérifier si 𝐴 est égale à 𝐵, nous devons vérifier si leurs coefficients sont identiques. Une autre façon de le dire est que nous avons montré que la matrice 𝐴 et la matrice 𝐵 sont de même dimension. Donc, pour vérifier que ces deux matrices sont égales, nous devons maintenant vérifier si tous leurs coefficients sont égaux. N’oubliez pas que nous comparons uniquement les coefficients correspondants de chaque matrice. Et si seulement deux coefficients ne sont pas égaux, alors les matrices ne seront pas égales.

Commençons par le coefficient de la première ligne et de la première colonne des deux matrices. Le coefficient de la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐴 est moins cinq et le coefficient de la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐵 est également moins cinq. Donc, ces coefficients sont égaux. N’oubliez pas que nous devons vérifier cela pour tous les coefficients. Passons maintenant à la deuxième ligne et première colonne. Cette fois, le coefficient de la deuxième ligne et la première colonne de la matrice 𝐴 est moins sept et le coefficient de la deuxième ligne et la première colonne de la matrice 𝐵 est aussi moins sept. Encore une fois, ces deux coefficients sont égaux.

Mais que se passe-t-il lorsque l’on regarde la première ligne et la deuxième colonne des deux matrices ? Dans la matrice 𝐴, ce coefficient est égal à trois. Mais dans la matrice 𝐵, il est égal à moins trois. Les coefficients de la première ligne et la deuxième colonne ne sont donc pas égaux. Et rappelez-vous que pour que deux matrices soient égales, tous leurs coefficients doivent être identiques. Par conséquent, pour la matrice 𝐴 égale à moins cinq, trois, moins sept, moins trois et la matrice 𝐵 égale à moins cinq, moins trois, moins sept, trois, nous avons montré que 𝐴 n’est pas égale à 𝐵 parce que leurs coefficients de la première ligne et la deuxième colonne sont différents.

Jusqu’à présent, nous n’avons vu que des matrices avec au plus trois lignes et trois colonnes. Le même principe s’étend cependant aux matrices de plus grande dimension. Il suffit de vérifier que les deux matrices sont de même dimension et que tous leurs coefficients sont identiques. On peut en réalité aller plus loin que la simple vérification de l’égalité de deux matrices, comme nous allons le voir avec le prochain exemple.

Sachant que la matrice moins quatre, trois, 𝑥, moins sept est égale à la matrice moins quatre, trois, huit, 𝑦 moins six, calculez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Nous avons donc deux matrices égales. Et nous devons utiliser cette information pour calculer les valeurs de 𝑥 et 𝑦. On rappelle que pour que deux matrices soient égales, leurs coefficients de la même ligne et de la même colonne doivent être égaux. Par exemple, les coefficients de la première ligne et la première colonne doivent être égaux. Dans ce cas, ils sont tous les deux égaux à moins quatre. Cela ne nous aide pas vraiment à trouver les valeurs de 𝑥 ou 𝑦. Que se passe-t-il maintenant si nous regardons les coefficients de la deuxième ligne et la première colonne ? On rappelle que ceux-ci doivent être égaux. Dans la première matrice, le coefficient de la deuxième ligne et la première colonne est 𝑥. Et dans la deuxième matrice, ce coefficient est égal à huit. Pour que les matrices soient égales, ces deux coefficients doivent donc être égaux. C’est-à-dire que 𝑥 doit être égal à huit.

Essayons de faire quelque chose de similaire pour trouver la valeur de 𝑦. On voit que 𝑦 apparaît uniquement dans la deuxième matrice à la deuxième ligne et la deuxième colonne. Comme ces deux matrices sont égales, leurs coefficients de la deuxième ligne et la deuxième colonne doivent être égaux. On peut donc simplement poser l’égalité de ces coefficients. Cela donne alors moins sept égale 𝑦 moins six. Et nous pouvons alors résoudre cette équation pour calculer 𝑦. On ajoute six aux deux membres de l’équation. Ce qui nous donne 𝑦 égale moins un.

Pour de tels problèmes, il est toujours utile de remplacer la valeur de 𝑦 dans la matrice pour vérifier qu’elle est correcte. Dans ce cas, nous devrions obtenir le coefficient moins sept. On substitue donc 𝑦 égale moins un dans l’expression du coefficient de la deuxième ligne et la deuxième colonne de la deuxième matrice. Cela nous donne moins un moins six. En le calculant, on confirme que cela fait bien moins sept comme attendu. Cela nous aide à confirmer que notre réponse est correcte. Par conséquent, sachant que la matrice moins quatre, trois, 𝑥, moins sept est égale à la matrice moins quatre, trois, huit, 𝑦 moins six, nous avons montré que 𝑥 est égal à huit et que 𝑦 est égal à moins un.

Nous avons ainsi vu que l’égalité de deux matrices peut nous permettre de trouver des informations sur des coefficients inconnus de ces matrices. Voyons maintenant un autre exemple de cela.

Calculez les valeurs de 𝑥 et 𝑦, sachant que la matrice 10𝑥 au carré plus 10, deux, moins trois, neuf est égale à la matrice 20, deux, deux 𝑦 plus neuf, neuf.

Nous devons trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦 qui rendent ces deux matrices égales. Rappelez-vous que pour que deux matrices soient égales, elles doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes et tous leurs coefficients correspondants doivent être égaux. On remarque d’abord que les matrices de cette question ont toutes les deux deux lignes et deux colonnes. Mais cela ne nous aide pas à trouver les valeurs de 𝑥 ou 𝑦. Utilisons plutôt le fait que les coefficients de la même ligne et de la même colonne doivent être égaux.

Et commençons par la première ligne et la première colonne. Dans la première matrice, ce coefficient est 10𝑥 au carré plus 10. Dans la deuxième matrice, il est égal à 20. Pour que ces deux matrices soient égales, ces deux coefficients doivent aussi être égaux. En posant donc l’égalité des coefficients de la première ligne et la première colonne de ces matrices, on obtient 10𝑥 au carré plus 10 égale 20. Et on peut ensuite résoudre cette équation pour calculer 𝑥. On commence par soustraire 10 aux deux membres de l’équation. Cela nous donne 10𝑥 au carré égale 10. On divise ensuite les deux membres de l’équation par 10. Ce qui nous donne 𝑥 au carré égale un.

Enfin, on prend la racine carrée des deux membres. Rappelez-vous que l’on doit trouver une racine carrée positive et une racine carrée négative. On trouve donc que 𝑥 est égal à plus ou moins un. Donc, peu importe si 𝑥 est égal à plus ou moins un. Dans ces cas, les coefficients de la première ligne et de la première colonne des matrices seront égaux. Mais nous ne pouvons pas nous arrêter là. Nous devons vérifier si 𝑥 apparaît dans les autres coefficients des matrices, car l’une de ces solutions pourrait ne pas être valide si c’était le cas. Après un contrôle rapide, on constate qu’aucun coefficient ne contient la variable 𝑥, donc leurs valeurs sont indépendantes de 𝑥. Par conséquent 𝑥 peut bien être égal à un ou moins un pour que ces matrices soient égales. Les coefficients seront égaux dans les deux cas. Nous pouvons donc conclure que 𝑥 peut être égal à plus ou moins un.

Vérifions maintenant les autres coefficients des deux matrices. Dans la première ligne et la deuxième colonne, les deux coefficients sont égaux à deux. Et on trouve quelque chose de similaire à la deuxième ligne et la deuxième colonne. Les deux coefficients sont ici égaux à neuf. Les variables 𝑥 et 𝑦 n’apparaissent pas dans ces coefficients, ils seront donc égaux quelles que soient les valeurs des variables.

Les derniers coefficients que nous devons vérifier sont ceux de la deuxième ligne et la première colonne. Encore une fois, on rappelle que comme ces deux matrices sont égales, leurs coefficients de la deuxième ligne et la première colonne doivent être égaux. En posant l’égalité de ces coefficients, on obtient moins trois égale deux 𝑦 plus neuf. Et on peut résoudre cette équation pour calculer 𝑦. On commence par soustraire neuf aux deux membres de l’équation. Cela nous donne moins 12 égale deux 𝑦. Et la dernière chose qu’il nous reste à faire est de diviser les deux membres de l’équation par deux. On obtient alors 𝑦 égale moins six. Par conséquent, sachant que la matrice 10𝑥 au carré plus 10, deux, moins trois, neuf est égale à la matrice 20, deux, deux 𝑦 plus neuf, neuf, nous avons montré que 𝑥 doit être égal à plus ou moins un et que 𝑦 doit être égal à moins six.

Voyons maintenant un dernier exemple d’utilisation de l’égalité de matrices pour trouver les valeurs de variables.

Soient la matrice 𝐴 égale à moins 10𝑥, 𝑥 plus trois 𝑦, deux 𝑥 moins 𝑧 et la matrice 𝐵 égale à moins 30, 27, 10. Sachant que la matrice 𝐴 est égale à la matrice 𝐵, calculez les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Cette question nous donne deux matrices 𝐴 et 𝐵. Et nous pouvons voir que les coefficients de la matrice 𝐴 dépendent des trois variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Nous savons de plus que ces deux matrices sont égales. Et nous devons utiliser ces informations pour calculer les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧. On rappelle qu’une matrice 𝐴 est égale à une matrice 𝐵 si tous leurs coefficients correspondants sont égaux. Et cela nous indique également que les matrices doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes.

Dans ce cas, la matrice 𝐴 est moins 10𝑥, 𝑥 plus trois 𝑦, deux 𝑥 moins 𝑧 et la matrice 𝐵 est moins 30, 27, 10. Comme ces deux matrices sont égales, leurs coefficients de la même ligne et de la même colonne doivent être égaux. Par exemple, le coefficient de la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐴 est moins 10𝑥 et le coefficient de la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐵 est moins 30. Pour que ces deux matrices soient égales, ces deux coefficients doivent donc être égaux et on a moins 10𝑥 égale moins 30. On peut résoudre cette équation pour calculer 𝑥. On divise simplement les deux membres par moins 10. Et on trouve que 𝑥 doit être égal à trois.

Passons maintenant à la première ligne et la deuxième colonne des deux matrices. Dans la matrice 𝐴, le coefficient de la première ligne et la deuxième colonne est égal à 𝑥 plus trois 𝑦. Et dans la matrice 𝐵, le coefficient de la première ligne et la deuxième colonne est égal à 27. Comme ces deux matrices sont égales, ces coefficients doivent être égaux. Cela nous donne 𝑥 plus trois 𝑦 égale 27. Mais nous avons déjà montré que 𝑥 doit être égal à trois, donc on peut remplacer sa valeur dans l’équation. Cela nous donne trois plus trois 𝑦 égale 27. On peut alors résoudre cette équation pour calculer 𝑦. On commence par soustraire trois aux deux membres de l’équation. Ce qui nous donne trois 𝑦 égale 24. Pour résoudre à présent cette équation, on divise les deux membres de l’équation par trois. Et on obtient 𝑦 égale 24 divisé par trois, ce qui est bien sûr égal à huit.

Nous pouvons faire de même avec le dernier coefficient de chaque matrice, le coefficient de la première ligne et la troisième colonne. Dans la matrice 𝐴, ce coefficient est deux 𝑥 moins 𝑧. Et dans la matrice 𝐵, ce coefficient est 10. Et rappelez-vous que la matrice 𝐴 est égale à la matrice 𝐵, donc ces deux coefficients doivent être égaux. Cela nous donne deux 𝑥 moins 𝑧 égale 10. Or nous avons déjà montré que si les deux matrices sont égales, alors 𝑥 doit être égal à trois. Pour trouver la valeur de 𝑧, on remplace donc 𝑥 par trois dans cette équation. En substituant 𝑥 égale trois, on obtient deux fois trois moins 𝑧 égale 10. Et on peut à présent simplement résoudre cette équation pour calculer 𝑧. On ajoute 𝑧 aux deux membres, puis on soustrait 10 aux deux membres de l’équation. Cela nous donne 𝑧 égale moins quatre. Nous avons ainsi trouvé que 𝑥 est égal à trois, 𝑦 est égal à huit et 𝑧 est égal à moins quatre.

Mais rappelez-vous qu’il peut être utile de remplacer ces valeurs dans la matrice pour vérifier que notre réponse est correcte. On remplace 𝑥 par trois, 𝑦 par huit et 𝑧 par moins quatre dans la matrice 𝐴. En substituant ces valeurs, la matrice 𝐴 est égale à moins 10 fois trois, trois plus trois fois huit, deux fois trois moins moins quatre. Et en calculant chacun de ces coefficients, on trouve moins 30, 27, 10. Chacun de ces coefficients est alors exactement le même que dans la matrice 𝐵, nous savons donc que nous avons la bonne réponse.

Par conséquent, si la matrice 𝐴 : moins 10𝑥, 𝑥 plus trois 𝑦, deux 𝑥 moins 𝑧 est égale à la matrice 𝐵 : moins 30, 27, 10, alors 𝑥 est égal à trois, 𝑦 est égal à huit et 𝑧 est égal à moins quatre.

Passons maintenant en revue les points clés de cette vidéo. Pour une matrice 𝐴 telle que le coefficient de la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 est 𝑎 𝑖𝑗 et une matrice 𝐵 telle que le coefficient de la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 est 𝑏 𝑖𝑗, alors les deux matrices A et B sont égales si 𝑎 𝑖𝑗 est égal à 𝑏 𝑖𝑗 pour toutes les valeurs de 𝑖 et 𝑗. Une autre façon de le dire est que tous les coefficients correspondants des matrices doivent être identiques. Et cette définition nous a donné des propriétés intéressantes.

Par exemple, s’il existe un 𝑖 et un 𝑗 tels que 𝑎 𝑖𝑗 n’est pas égal à 𝑏 𝑖𝑗, alors la matrice 𝐴 n’est pas égale à la matrice 𝐵. Il suffit donc que deux coefficients correspondants des matrices soient différents pour que les matrices ne soient pas égales. Une autre conséquence de cette définition est que si les matrices 𝐴 et 𝐵 sont de dimensions différentes, alors la matrice 𝐴 ne peut être égale à la matrice 𝐵. Ce qui revient à dire que si les matrices n’ont pas le même nombre de lignes ou de colonnes, alors elles ne peuvent pas être égales.

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