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Vidéo de question : Déterminer si une valeur est comprise dans l'ensemble image d'une fonction trigonométrique Mathématiques

Est-ce possible que tan 𝜃 égale à -125 ?

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Transcription de vidéo

Est-il possible que tan de 𝜃 soit égale à moins 125 ?

Afin de répondre à cette question, on rappelle ce que nous savons sur le domaine de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝜃 égale à tan 𝜃. Le domaine de définition est l'ensemble des entrées de la fonction qui donneront une sortie réelle. On sait que 𝜃 peut prendre toutes les valeurs réelles sauf 90 degrés plus les multiples de 180 degrés. On pourrait alors dire que le domaine de définition est l'ensemble des nombres réels excluant 90 plus 180𝑛, où 𝑛 est un entier relatif. On pourrait dire que, en radians, c'est 𝜋 sur deux plus 𝑛𝜋, où 𝑛 est un entier relatif. Alors, l'ensemble image est la sortie que nous obtenons lorsque nous entrons toutes les valeurs de notre domaine de définition. Tant que nous n'incluons pas 𝜋 sur deux plus les multiples de 𝜋, notre ensemble image sera constitué de tous les nombres réels.

Pour clarifier cela, regardons la représentation graphique de la fonction 𝑓 de 𝜃 égale à tan 𝜃 ou encore la représentation graphique de 𝑦 égale à tan de 𝑥. Ça ressemble un peu à ça. Elle est périodique et sa période est de 180 degrés. Que se passe-t-il au niveau des asymptotes ? Lorsque la courbe se rapproche de 90 plus des multiples de 180 degrés, la valeur de tan de 𝑥 se rapproche de l’∞. Nous voyons donc que notre domaine de définition est constitué de toutes les valeurs réelles sans inclure les emplacements de ces asymptotes, alors que l'ensemble image est la sortie. Elle peut aller jusqu'à plus l’∞ et descendre jusqu'à moins l’∞.

Alors peut-elle être égale à moins 125 ? Et bien oui, moins 125 est bien sûr supérieur à moins l’∞ et inférieur à plus l’∞. Il est dans notre ensemble image. Donc on dit oui, il est possible que tan de 𝜃 soit égale à moins 125.

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