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Laquelle des représentations graphiques ci-dessous correspond à la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré lorsque est inférieur à deux et moins deux 𝑥 plus 10 lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à deux ?
La fonction traitée dans cette question est définie de manières différentes sur les différentes parties de son ensemble de définition. Lorsque 𝑥 est inférieur à deux, 𝑓 de 𝑥 est égale à la fonction du second degré, 𝑥 au carré, alors que lorsque 𝑥 est supérieur ou égale à deux, 𝑓 de 𝑥 est égale à la fonction linéaire moins deux 𝑥 plus 10. 𝑓 de 𝑥 est donc une fonction définie par morceaux, c’est-à-dire une fonction constituée de plusieurs sous-fonctions, chacune s’appliquant à un sous-ensemble de définition donné. Nous devons identifier la représentation graphique de cette fonction par morceaux. Alors, essayons de la tracer nous-mêmes.
Comme nous l’avons déjà dit, pour des valeurs de 𝑥 inférieures à deux, 𝑓 de 𝑥 est égale à la fonction du second degré, 𝑥 au carré. Nous pouvons tracer cela soit à partir de notre connaissance des représentations graphiques du second degré, soit en substituant quelques valeurs de 𝑥 inférieures à deux. Par exemple, lorsque 𝑥 est égal à moins deux, 𝑥 au carré est égal à quatre. Lorsque 𝑥 est égal à plus ou moins un, 𝑥 au carré est égal à un. Et lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑥 au carré est aussi égal à zéro. Nous obtenons donc cette partie de la représentation graphique. Maintenant, comme cette partie de l’expression de la fonction n’est vraie que pour les valeurs de 𝑥 strictement inférieures à deux et non lorsque 𝑥 égale deux, plaçons un cercle ouvert à l’extrémité droite de cette courbe du second degré pour indiquer que nous excluons le point deux, quatre.
Nous avons alors tracé une partie de la représentation graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥. Pensons maintenant à ce qui se passe lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à deux. 𝑓 de 𝑥 est égale à moins deux 𝑥 plus 10, c’est-à-dire une fonction linéaire, la représentation graphique est donc une droite. La méthode la plus simple de tracer cela est peut-être de substituer certaines valeurs de 𝑥. Lorsque 𝑥 est égal à deux, 𝑓 de 𝑥 est égale à moins deux multiplié par deux plus 10. Cela donne moins quatre plus 10, qui est égal à six, nous avons donc le point de coordonnées deux, six. Lorsque 𝑥 est égal à quatre, 𝑓 de 𝑥 est égale à moins deux multiplié par quatre plus 10. C’est moins huit plus 10, ce qui est égal à deux. Nous avons donc le point quatre, deux.
Repérer ces points, puis les relier avec une droite donne la seconde partie de la représentation graphique. Et cette fois, vu que cette partie de l’expression de la fonction inclut 𝑥 est égal à deux, nous avons un cercle fermé au point où 𝑥 est égal à deux.
Comparons maintenant ce que nous avons tracer avec les cinq représentations graphiques qui nous ont été donnés. Nous constatons qu’ils sont tous très semblables. Les cinq représentations graphiques ont toutes une partie représentant une fonction du second degré lorsque 𝑥 est inférieure à deux, puis une partie linéaire avec une pente négative. Si nous observons les représentations graphiques (A), (B) et (E), nous pouvons voir que les parties linéaires tracées ici ne correspondent pas à la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins deux 𝑥 plus 10. Nous savons que cette fonction comprend le point de coordonnées deux, six. Et en fait, il devrait y avoir un écart vertical entre les deux parties de la représentation graphique. Nous pouvons donc éliminer les options (A), (B) et (E). Et il nous reste donc les choix (C) et (D). Ceux-ci sont très, très similaires. La seule différence concerne le point pour 𝑥 égal à deux. Dans (C), il y a un cercle fermé sur la partie du second degré et un cercle ouvert sur la section linéaire, alors que l’inverse se trouve en (D).
En regardant notre représentation graphique, nous pouvons voir que le cercle fermé doit être sur la partie linéaire car 𝑥 égal à deux est inclus dans la deuxième partie du sous-ensemble de définition de la fonction. Donc, la représentation graphique (D) est celle qui correspond à cette fonction définie par morceaux. Il comprend la bonne fonction du second degré lorsque 𝑥 est inférieur à deux, la bonne fonction linéaire lorsque 𝑥 est supérieure ou égale à deux, et la bonne combinaison de cercles fermés et ouverts à la valeur de 𝑥 où l’expression de la fonction change.