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Vidéo de question : Déterminer un système de deux équations à partir d’une équation matricielle Mathématiques

Lequel des systèmes d’équations ci-dessous peut être représenté par la forme matricielle suivante : [11, 2, −3, 4] [𝑥, 𝑦] = [−5, 6] ? [A] 4𝑦 = −5 + 3𝑥, 11𝑥 + 2𝑦 = 6 [B] 11𝑥 + 2𝑦 = −5, 4𝑦 = 6 + 3𝑥 [C] 11𝑦 = −5 + 3𝑥, 4𝑥 + 2𝑦 = 6 [D] 4𝑦 = −5 + 2𝑥, 11𝑥 + 3𝑦 = 6 [E] 11𝑦 = -2 𝑥, 4𝑥 + 3𝑦 = 6

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Transcription de vidéo

Lequel des systèmes d’équations ci-dessous peut être représenté par la forme matricielle suivante : la matrice deux deux, 11, deux, moins trois, quatre fois la matrice deux un, 𝑥, 𝑦 égale la matrice deux un, moins cinq, six ? Est-ce l’option (A) quatre 𝑦 égale moins cinq plus trois 𝑥 et 11𝑥 plus deux 𝑦 égale six ? Est-ce l’option (B) 11𝑥 plus deux 𝑦 est égale à moins cinq et quatre 𝑦 est égale à six plus trois 𝑥 ? Est-ce l’option (C) 11𝑦 est égale à moins cinq plus trois 𝑥 et quatre 𝑥 plus deux 𝑦 est égal à six ? Est-ce l’option (D) quatre 𝑦 égale moins cinq plus deux 𝑥 et 11𝑥 plus trois 𝑦 égale six ? Est-ce l’option (E) 11𝑦 égale moins cinq plus deux 𝑥 et quatre 𝑥 plus trois 𝑦 égale six ?

Dans cette question, on nous donne la forme matricielle d’un système d’équations linéaires, nous devons déterminer lequel des cinq systèmes donnés est représenté par cette forme matricielle. Cela nous donne deux méthodes différentes pour répondre à cette question. Une façon de le faire est de réécrire les cinq systèmes d’équations donnés sous forme matricielle. Nous le ferions en écrivant les cinq options sous forme standard, en trouvant la matrice de coefficients, la matrice variable et la matrice constante. Cependant, nous devrons suivre ce processus pour les cinq options données. Au lieu de cela, développons la forme de matrice qui nous est donnée en un système d’équations linéaires.

Pour ce faire, nous devons évaluer le produit matriciel au côté gauche de l’équation. Nous pourrions le faire en rappelant que pour multiplier deux matrices ensemble, nous devons multiplier les entrées correspondantes des lignes de la première matrice avec celles des colonnes de la deuxième matrice et additionner les résultats. En particulier, nous savons que la première matrice doit avoir le même nombre de colonnes que le nombre de lignes de la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est une matrice deux deux ; elle a deux lignes et deux colonnes. La deuxième matrice est une matrice deux un ; elle a deux lignes et une colonne.

Ainsi, le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième matrice. Nous pourrions également conclure que la matrice résultante, lorsque nous multiplierons ces deux matrices ensemble, sera une matrice deux un, c’est-à-dire une matrice avec deux lignes et une colonne, ce que nous aurions dû espérer car rappelez-vous que nous savons que ce produit doit être égal à la matrice constante donnée dans la question. Nous pouvons maintenant évaluer le produit de ces deux matrices. Nous devons le faire ligne par ligne. Si nous commençons par la première ligne, nous pouvons voir que nous aurons 11𝑥 plus deux 𝑦. Nous pouvons faire la même chose avec la deuxième ligne de la première matrice. Nous obtenons moins trois multiplié par 𝑥 plus quatre fois 𝑦. Cela nous donne la matrice deux par un 11𝑥 plus deux 𝑦 et moins trois 𝑥 plus quatre 𝑦.

Maintenant que nous avons réécrit le côté gauche de l’équation de la matrice donnée, nous pouvons le définir égal au côté droit de cette équation. Cela nous donne la matrice deux par un 11𝑥 plus deux 𝑦 et moins trois 𝑥 plus quatre 𝑦 doit être égal à la matrice deux par un moins cinq, six. Nous pouvons rappeler que pour que deux matrices soient égales, elles doivent avoir la même dimension et elles doivent également avoir des entrées correspondantes égales. Nous savons que ces deux matrices sont des matrices deux un. Ainsi, pour que ces deux matrices soient égales, leurs entrées correspondantes doivent être égales.

Si nous définissons donc les entrées correspondantes égales entre elles, nous obtenons 11𝑥 plus deux 𝑦 doit être égal à moins cinq et moins trois 𝑥 plus quatre 𝑦 doit être égal à six. Il convient de noter ici que ce n’est pas tout à fait égal à l’une des cinq options données. Cependant, nous pouvons voir que l’option (B) contient l’équation 11𝑥 plus deux 𝑦 égale moins cinq. Notre deuxième équation n’est pas tout à fait sous la même forme que la réponse donnée dans l’option (B), nous allons donc ajouter trois 𝑥 aux deux côtés de notre deuxième équation. Si nous faisons cela, nous obtenons quatre 𝑦 est égal à six plus trois 𝑥, ce qui correspond à notre réponse dans l’option (B).

Par conséquent, nous avons pu montrer que l’équation de la matrice deux deux : 11, deux, moins trois, quatre fois la matrice deux un : 𝑥, 𝑦 est égale à la matrice deux un : moins cinq, six représente le système d’équations linéaires 11𝑥 plus deux 𝑦 est égal à moins cinq et quatre 𝑦 est égal à six plus trois 𝑥, qui est l’option (B).

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