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Vidéo de question : Déterminer l’écart-type d’une variable aléatoire discrète Mathématiques

La variable aléatoire 𝑋 peut prendre les valeurs suivantes : 0, 2, 5. Sachant que 𝑋 a pour fonction de probabilité 𝑓(𝑥)= 𝑎/(6𝑥+6), calculez l’écart-type de 𝑋. Donnez votre réponse au centième près.

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Transcription de vidéo

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs zéro, deux et cinq. Sachant que 𝑋 a une distribution de probabilité définie par la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 sur six 𝑥 plus six, déterminez l’écart-type de 𝑋. Donnez votre réponse au centième près.

L'écart-type d'une variable aléatoire discrète est une mesure de la dispersion de sa distribution de probabilité. On nous donne la distribution de probabilité 𝑓 de 𝑥 pour cette variable aléatoire discrète, qui correspond à la probabilité que 𝑋 soit égale à chaque valeur de son ensemble image, mais celle-ci est exprimée en termes d'une valeur inconnue 𝑎. Pour pouvoir calculer l'écart-type de 𝑋, on doit d'abord déterminer la valeur de 𝑎.

Nous rappelons à cet effet que la somme de toutes les probabilités d'une distribution de probabilité doit être égale à un. Autrement dit, si on trouve les expressions suivantes : 𝑓 de zéro, 𝑓 de deux, et 𝑓 de cinq, qui correspondent aux probabilités de chacune des valeurs de l’ensemble image de cette variable aléatoire discrète, on peut ensuite les additionner et former une équation que l'on peut résoudre pour trouver la valeur de 𝑎.

En substituant d'abord zéro dans la distribution de probabilité, nous avons 𝑓 de zéro égale à 𝑎 sur six multipliée par zéro plus six, soit 𝑎 sur six. 𝑓 de deux est égale à 𝑎 sur six multiplié par deux plus six, soit 𝑎 sur 18. Enfin, 𝑓 de cinq est 𝑎 sur six multiplié par cinq plus six, soit 𝑎 sur 36. La somme de ces trois valeurs doit être égale à un. On peut écrire chaque terme du côté gauche avec un dénominateur commun de 36. En additionnant ces trois termes, on obtient neuf 𝑎 sur 36 égale à un. Ce qui donne : 𝑎 sur quatre égale un. Et en multipliant les deux côtés de l'équation par quatre, on trouve que 𝑎 égale quatre.

On peut maintenant trouver la probabilité que 𝑋 soit égale à chaque valeur de son ensemble image et écrire explicitement la fonction de probabilité. On obtient les probabilités quatre sixièmes, quatre dix-huitièmes et quatre trente-sixièmes, où chacune peut être simplifiée. On va écrire la distribution de probabilité sous forme de tableau. Voilà donc la distribution de probabilité de 𝑋. On a les valeurs de l’ensemble image de la variable aléatoire discrète dans la première ligne, qui sont zéro, deux et cinq, puis les probabilités correspondantes dans la deuxième ligne, qui sous forme simplifiée sont deux tiers, deux neuvièmes et un neuvième.

Nous devons déterminer l'écart-type de 𝑋. On le désigne par la lettre grecque 𝜎, ou on l'écrit parfois avec un indice 𝑋 majuscule s'il y a plusieurs variables dans le même problème. L'écart-type est égal à la racine carrée de la variance, que l'on écrit soit sous la forme 𝜎 au carré, soit 𝜎 avec l'indice 𝑋 au carré, ou encore var de 𝑋. Pour calculer la variance d'une variable aléatoire discrète, la formule est la suivante : elle est égale à l'espérance de 𝑋 au carré moins l'espérance de 𝑋 le tout au carré. Il faut bien comprendre la différence de notation ici, les deux parties de la formule semblant assez similaires.

D'abord, le premier terme est l'espérance de 𝑋 au carré. Nous mettons d'abord au carré les valeurs de 𝑋, puis nous déterminons leur espérance, alors que le deuxième terme est l'espérance de 𝑋, que nous mettrons ensuite au carré. Comme il y a beaucoup de travail à faire ici, on va le décomposer en plusieurs étapes. Premièrement, nous devons déterminer l'espérance de 𝑋, en multipliant chaque valeur 𝑥 par sa valeur 𝑓 de 𝑥, puis en calculant la somme.

On peut ajouter une ligne supplémentaire à notre tableau pour cela. La première valeur est zéro fois deux tiers, ce qui est juste zéro. La deuxième valeur est deux fois deux neuvième ; cela fait quatre neuvième. Et la troisième valeur est cinq fois un neuvième. La somme de ces valeurs est égale à zéro plus quatre neuvième plus cinq neuvième, ce qui donne neuf sur neuf. Cela se simplifie à un. Ainsi, on a trouvé l'espérance de 𝑋. Il s’agit de la moyenne de la variable aléatoire discrète.

Nous devons ensuite calculer l'espérance de 𝑋 au carré. Celle-ci correspond à la somme de chaque valeur de 𝑥 au carré multipliée par sa valeur 𝑓 de 𝑥. Maintenant, la distribution de probabilité de 𝑋 au carré découle directement de celle de 𝑋. En effet, si les valeurs de l'ensemble image de 𝑋 sont zéro, deux et cinq, alors les valeurs de l’ensemble image de 𝑋 au carré sont les carrés de ces valeurs, soit zéro, quatre et 25. Pour chacune de ces valeurs, les probabilités sont identiques à celles de la deuxième ligne de notre tableau. Cela est dû au fait que, par exemple, la probabilité que 𝑋 au carré soit égale à quatre est la même que la probabilité que 𝑋 lui-même soit égale à deux.

On rajoute donc une ligne pour multiplier chaque valeur de 𝑥 au carré par 𝑓 de 𝑥. On a ainsi zéro multiplié par deux tiers, quatre multiplié par deux neuvièmes et 25 multiplié par un neuvième. On obtient en simplifiant ces valeurs : zéro, huit neuvièmes et 25 sur neuf. Et la somme de ces trois valeurs est 33 sur neuf. Voilà donc l'espérance de 𝑋 au carré.

On calcule ensuite la variance de 𝑋, qui est l'espérance de 𝑋 au carré moins l'espérance de 𝑋 que l'on met ensuite au carré. Ça fait donc 33 sur 9 moins un au carré. Donc, 33 sur neuf moins un au carré, ça fait 33 sur neuf moins un ou 33 sur neuf moins neuf sur neuf. Cela donne 24 sur neuf, ce qui se simplifie en huit tiers.

On a trouvé la variance de 𝑋, mais ce n'est pas tout à fait fini. Nous devons maintenant prendre la racine carrée de cette valeur pour obtenir l'écart-type de 𝑋. 𝜎 est donc égale à la racine carrée de huit sur trois, ce qui en écriture décimale est 1,6329 et ainsi de suite. Or, il est demandé dans la question de donner notre réponse au centième près. Comme le chiffre de la troisième décimale est deux, on va donc arrondir au chiffre inférieur. Ainsi, l'écart-type de 𝑋 au centième près est de 1,63. Cela signifie qu'en moyenne, les résultats de la variable aléatoire discrète 𝑋 s'éloignent de 1,63 unité de son espérance ou moyenne.

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