Transcription de la vidéo
Une bulle d’air qui monte dans une colonne d’eau a un certain volume à la base de la colonne et un volume plus grand près du sommet de la colonne, comme le montre le schéma. Déterminez la hauteur de la bulle par rapport la base de la colonne lorsque son volume est 1,55 fois supérieur à celui qu’elle avait à la base de la colonne. Utilisez une valeur de 101 kilopascals pour la pression atmosphérique et une valeur de 1000 kilogrammes par mètre cube pour la masse volumique de l’eau. La température de l’eau est uniforme. Donnez la réponse arrondie à une décimale près.
Dans cette question, on considère une bulle d’air qui monte le long d’une colonne d’eau. Nous devons calculer la hauteur de la bulle par rapport à la base de la colonne lorsque son volume est 1,55 fois plus grand que son volume initial. Pour répondre à cette question, nous devrons utiliser la loi des gaz parfaits pour un gaz de masse constante. 𝑃 un 𝑉 un divisé par 𝑇 un est égal à 𝑃 deux 𝑉 deux divisé par 𝑇 deux, où 𝑃 un, 𝑉 un et 𝑇 un sont la pression, le volume et la température du gaz à l’état initial et 𝑃 deux, 𝑉 deux, et 𝑇 deux sont la pression, le volume et la température du gaz à l’état final.
Comme on nous dit que la température de l’eau est uniforme, nous savons que 𝑇 un est égal à 𝑇 deux. Cela signifie que les termes de température se simplifient, ce qui nous donne une expression plus simple. 𝑃 un 𝑉 un est égal à 𝑃 deux 𝑉 deux. Commençons par calculer ces grandeurs pour la bulle.
Tout d’abord, réfléchissons à la pression initiale de la bulle, 𝑃 un. Lorsque la bulle est en bas de la colonne d’eau, elle subit une pression venant de deux sources. Il y a la pression due au poids de l’eau au-dessus, que nous appellerons 𝑃 eau. Et elle subit également la pression atmosphérique, 𝑃 𝑎, qui exerce une pression sur toute l’eau de la colonne. Donc, la valeur de 𝑃 un est égale à 𝑃 𝑎 plus 𝑃 eau On nous dit que la pression atmosphérique, 𝑃 𝑎, a une valeur de 101 kilopascals.
Rappelons que la pression due à un fluide est donnée par la formule 𝑃 égal à 𝜌𝑔ℎ, où 𝜌 est la masse volumique du fluide, 𝑔 est l’intensité du champ gravitationnel et ℎ est la hauteur du fluide au-dessus du point où l’on mesure la pression. Ainsi, la pression exercée par l’eau sur la bulle d’air, 𝑃 eau, est égale à la masse volumique de l’eau, 𝜌 eau, multipliée par l’intensité du champ gravitationnel 𝑔 multipliée par la hauteur de l’eau au-dessus de la bulle. Comme la bulle est à la base de la colonne, la pression est égale à la hauteur de la colonne, que nous appellerons grand H. Donc, la pression exercée sur la bulle quand elle est à la base de la colonne est donnée par 𝑃 un qui est égal à 𝑃 𝑎 plus 𝜌 eau 𝑔𝐻.
On ne nous donne pas le volume de la bulle à ce stade, nous allons donc l’appeler 𝑉 un. Lorsque la bulle monte le long de la colonne, la hauteur d’eau au-dessus diminue. Cela signifie que la pression exercée par l’eau sur la bulle diminue. Et ainsi, le volume de la bulle augmente. La figure représente la bulle lorsqu’elle atteint le sommet de la colonne, ce qui signifie qu’il y a une quantité d’eau négligeable au-dessus d’elle. Donc, la seule pression significative subie par la bulle est la pression atmosphérique, 𝑃 𝑎. Donc, nous savons que 𝑃 deux est égal à 𝑃 𝑎. Même si on ne nous donne pas une valeur exacte pour le volume de la bulle, nous savons qu’il est 1,55 fois plus grand que son volume à la base de la colonne. Donc, nous pouvons encore une fois noter que 𝑉 deux est égal à 1,55 fois 𝑉 un.
Maintenant que nous avons établi les expressions de 𝑃 un, 𝑃 deux et 𝑉 deux, nous pouvons les remplacer dans l’équation simplifiée des gaz parfaits, ce qui donne 𝑃 𝑎 plus 𝜌 eau 𝑔𝐻 le tout multiplié par 𝑉 un est égal à 𝑃 𝑎 multiplié par 1,55 𝑉 un.
Pour répondre à cette question, nous devons déterminer la hauteur de la bulle par rapport à la base de la colonne d’eau. Comme la bulle est très près du haut de la colonne, cela équivaut à déterminer la hauteur de la colonne, 𝐻. Pour cela, nous devons modifier cette équation pour exprimer 𝐻. Premièrement, nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par 𝑉 un et simplifier ces termes. Cela nous donne l’équation 𝑃 𝑎 plus 𝜌 eau 𝑔𝐻 est égal à 1,55𝑃 𝑎. Ensuite, nous pouvons soustraire 𝑃 𝑎 des deux côtés. Il nous reste 𝜌 eau 𝑔𝐻 égal à 1,55𝑃 𝑎 moins 𝑃 𝑎, ce qui se simplifie en 𝜌 eau 𝑔𝐻 égal à 0,55𝑃 𝑎. Enfin, nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par 𝜌 eau 𝑔 pour obtenir l’expression de 𝐻. 𝐻 est égal à 0,55𝑃 𝑎 divisé par 𝜌 e 𝑔.
Maintenant, il suffit de remplacer les valeurs de 𝑃 𝑎, 𝜌 eau et 𝑔. Nous savons que la pression atmosphérique, 𝑃 𝑎, est égale à 101 kilopascals. Il faut faire attention avec les unités ici. Cette valeur nous est donnée en kilopascals, mais nous en avons besoin de l’unité SI, le pascal. Pour convertir des kilopascals en pascals, il faut simplement multiplier la valeur par 1000. Donc, la pression atmosphérique 𝑃 𝑎 est égale à 101000 pascals. On nous dit que la masse volumique de l’eau, 𝜌 eau, est égale à 1000 kilogrammes par mètre cube et nous pouvons rappeler que l’intensité du champ gravitationnel de la Terre, 𝑔, est égale à 9,8 mètres par seconde au carré. En remplaçant ces valeurs dans l’expression de 𝐻, nous obtenons que 𝐻 est égal à 0,55 fois 101000 pascals divisé par 1000 kilogrammes par mètre cube fois 9,8 mètres par seconde au carré.
En effectuant ce calcul, nous obtenons que 𝐻 est égal à 5,668 mètres. En arrondissant à une décimale, cela fait 5,7 mètres. Nous avons donc obtenu que la bulle a atteint une hauteur de 5,7 mètres par rapport à la base de la colonne. C’est la réponse finale à cette question.
