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Vidéo de question : Calcul de la longueur d’onde de Broglie d’une particule Physique

Un électron a une masse au repos de 9,11 × 10⁻³¹ kg. Si l’électron a une énergie cinétique de 1,14 × 10⁻²⁷ J, quelle est sa longueur d’onde de Broglie ? Utilisez une valeur de 6,63 × 10⁻³¹ J⋅s pour la constante de Planck. Donnez la réponse en notation scientifique arrondie à deux décimales près.

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Transcription de vidéo

Un électron a une masse au repos de 9,11 fois 10 à moins 31 kilogrammes. Si l’électron a une énergie cinétique de 1,14 fois 10 puissance moins 27 joules, quelle est sa longueur d’onde de Broglie ? Utilisez une valeur de 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule-secondes pour la constante de Planck. Donnez la réponse en notation scientifique arrondie à deux décimales près.

Dans cette question, on cherche une longueur d’onde de Broglie. La première chose à laquelle on pense est donc la relation de Broglie qui relie la longueur d’onde d’une particule à sa quantité de mouvement. Cette relation dit que 𝜆, la longueur d’onde, est égale à ℎ, la constante de Planck, divisée par 𝑝, la quantité de mouvement de la particule. Ici, on connait la constante de Planck et on recherche la longueur d’onde. Mais on ne connait pas la quantité de mouvement de notre électron. Tout ce que l’on connait est sa masse au repos, 9,11 fois 10 puissance moins 31 kilogrammes, et son énergie cinétique, 1,14 fois 10 puissance moins 27 joules.

On doit donc calculer la quantité de mouvement à partir de la masse au repos et de l’énergie cinétique. Puisque l’énergie cinétique de l’électron est très petite, on peut supposer qu’elle est non relative et nous pouvons écrire que l’énergie cinétique est égale à la moitié de la masse multipliée par la vitesse au carré. En fait, si on utilisait cette formule pour calculer la vitesse, on obtiendrait que l’électron se déplace à seulement environ 50 mètres par seconde, soit beaucoup, beaucoup plus lentement que la vitesse de la lumière. Et donc, notre hypothèse non relativiste est justifiée. Mais on n’a pas besoin de la vitesse de l’électron. On a besoin de sa quantité de mouvement, qui pour les vitesses non relatives peut être écrite comme 𝑝 est égale à 𝑚𝑣: la quantité de mouvement est égale à la masse multipliée par la vitesse.

En regardant notre formule de l’énergie cinétique, on remarque que si on avait un facteur de masse supplémentaire du côté droit, on aurait 𝑚 au carré fois 𝑣 au carré, soit 𝑚𝑣 au carré, soit 𝑝 au carré. Pour obtenir ce facteur de 𝑚, il suffit de multiplier les deux côtés de cette équation par la masse. Ainsi, la masse fois l’énergie cinétique est égale à la moitié de 𝑚 au carré 𝑣 au carré, ce qui équivaut à un demi 𝑚𝑣 au carré, c’est-à-dire, la moitié du carré de la quantité de mouvement de la particule. Maintenant, on multiplie les deux côtés par deux pour obtenir que deux fois la masse multipliée par l’énergie cinétique de la particule est égale au carré de la quantité de mouvement de la particule.

On prend la racine carrée des deux côtés pour isoler 𝑝. 𝑝 est égale à la racine carrée de deux fois 𝑚 fois l’énergie cinétique. Cela nous donne la quantité de mouvement en fonction de la masse au repos et de l’énergie cinétique, c’est-à-dire les deux grandeurs données dans la question. En substituant cette formule à la relation de Broglie, on a 𝜆 égal à ℎ divisé par la racine carrée de deux fois 𝑚 fois EC, ce qui nous donne la longueur d’onde en fonction des grandeurs données dans la question. Ici, tout ce qui reste à faire est de substituer 𝑚 par 9,11 fois 10 puissance moins 31 kilogrammes, EC par 1,14 fois 10 puissance moins 27 joules et h par 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule-secondes.

On fait de la place pour faire ce calcul. Lorsque l’on tape tous ces nombres sur une calculatrice, on obtient 1,4547 et plusieurs autres décimales multipliées par 10 puissance moins cinq. En ce qui concerne les unités, on pourrait calculer directement joules fois secondes divisé par le carré de kilogrammes fois joules. Mais on pourrait également s’apercevoir que notre résultat final doit avoir des unités de longueur puisque notre résultat final est une longueur d’onde. Et joules et secondes et kilogrammes sont toutes des unités de base du système international. Le résultat sera donc l’unité de base du système international de la longueur, qui est le mètre.

On a maintenant une réponse numérique exprimée en notation scientifique avec les bonnes unités. Il ne reste plus qu’à arrondir à deux décimales près. 1,454 etcetera, arrondi à seulement deux décimales près donne 1,45. La longueur d’onde de Broglie de notre électron est donc de 1,45 fois 10 à la puissance moins cinq mètres.

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