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Vidéo de question : Déterminer les points d’inflexion d’une fonction polynomiale Mathématiques

Déterminez les points d’inflexion de la courbe représentative de la fonction définie par 𝑓 (𝑥) = (𝑥⁴ / 2) - 3𝑥² + 4.

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Transcription de vidéo

Déterminez les points d’inflexion de la courbe représentative de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 à la puissance quatre sur deux moins trois 𝑥 au carré plus quatre.

Commençons par rappeler ce que nous savons des points d’inflexion d’une fonction. Ce sont les points sur la courbe représentative de la fonction où il y a un changement dans la direction de la courbure. La fonction passe de convexe à concave ou vice-versa. Au point d’inflexion lui-même, la dérivée seconde, qui, dans ce cas, sera 𝑓 double prime de 𝑥, est égale à zéro. Mais ceci peut également être vrai pour certains minima locaux et maxima locaux. Il doit donc être également vrai que la dérivée seconde subisse un changement de signe autour de la valeur de l’abscisse du point d’inflexion.

Ceci reflète le fait que la dérivée seconde d’une fonction est positive lorsque la fonction est convexe et négative lorsque la fonction est concave. Donc s’il y a un changement dans la concavité de la fonction, il y aura également un changement dans le signe de la dérivée seconde. Il convient également de noter que les points d’inflexion peuvent se produire lorsque la dérivée seconde de la fonction n’existe pas. Mais comme notre fonction est un polynôme, toutes ses dérivées seront des polynômes et, par conséquent, elles seront définies pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Pour trouver les points d’inflexion de cette fonction, nous devons d’abord trouver une expression pour sa dérivée seconde, ce que nous pouvons faire en dérivant deux fois.

Nous voyons que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est un polynôme. Et donc afin de trouver sa dérivée, nous pouvons appliquer la règle générale de dérivation des puissances, qui nous dit que la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 pour des valeurs réelles de 𝑎 et 𝑛 est égale à 𝑎𝑛 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous la multiplions par l’exposant initial 𝑛, puis nous réduisons l’exposant de un. Avant de dériver, nous pouvons trouver utile de rappeler que la constante quatre peut être écrite comme quatre multiplié par 𝑥 à la puissance zéro. Nous pouvons maintenant, trouver la dérivée première de notre fonction, en appliquant la règle de dérivation des puissances.

Nous avons un demi multiplié par quatre multiplié par 𝑥 au cube, pour la dérivée du premier terme, moins trois multiplié par deux 𝑥, pour la dérivée du second, plus quatre multiplié par zéro multiplié par 𝑥 à la puissance moins un, pour la dérivée du troisième terme. Mais bien sûr, multiplier par zéro donne zéro. Nous voyons donc que la dérivée d’une constante est simplement zéro. Notre dérivée première se simplifie alors en deux 𝑥 au cube moins six 𝑥. Pour trouver la dérivée seconde, nous dérivons à nouveau. Et vous trouverez peut-être utile de penser à moins six 𝑥 comme étant moins six 𝑥 à la puissance un. En appliquant la règle de dérivation des puissances, nous avons que 𝑓 double prime de 𝑥 est égale à deux multiplié par trois multiplié par 𝑥 au carré moins six.

Maintenant, ce moins six est aussi moins six multiplié par un multiplié par 𝑥 à la puissance zéro. Mais comme 𝑥 à la puissance zéro est juste égal à un, c’est moins six multiplié par un multiplié par un, qui est simplement moins six. Notre dérivée seconde se simplifie alors en six 𝑥 au carré moins six. Rappelez-vous maintenant, que pour les points d’inflexion d’une fonction, nous cherchons tout d’abord où cette dérivée seconde est égale à zéro. L’étape suivante consiste donc à écrire cette expression comme égale à zéro et à résoudre l’équation résultante. Nous avons donc l’équation six 𝑥 au carré moins six est égal à zéro. Nous pouvons diviser par six puis ajouter un à chaque membre de l’équation, ce qui donne que 𝑥 au carré est égal à un.

La dernière étape consiste à prendre la racine carrée de chaque membre de l’équation, en se souvenant que nous devons prendre plus ou moins la racine carrée. Nous avons donc que 𝑥 est égal à plus ou moins la racine carrée de un, qui est simplement plus ou moins un. Nous avons donc résolu notre équation et trouvé les valeurs de 𝑥. Mais rappelez-vous, que ce sont les abscisses 𝑥 de points d’inflexion possibles car ces points pourraient également être des minima locaux ou des maxima locaux. Il y a deux autres choses que nous devons faire. Premièrement, nous devons déterminer la valeur de la fonction elle-même pour chacune de ces valeurs de 𝑥. Tout d’abord, en déterminant la valeur de la fonction lorsque 𝑥 est égal à un, nous avons un à la puissance quatre sur deux moins trois multipliée par un au carré plus quatre, ce qui est égal à trois sur deux.

En déterminant la valeur de la fonction lorsque 𝑥 est égal à moins un, nous obtenons également trois sur deux car notre fonction 𝑓 de 𝑥 est en fait une fonction paire. Donc 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑓 de moins 𝑥. Nous avons trouvé les valeurs de la fonction en chacun de nos points d’inflexion possibles. Elles sont toutes les deux égales à trois sur deux. La dernière étape consiste à calculer la dérivée seconde un peu de chaque côté des valeurs d’abscisse de chaque point d’inflexion possible, afin de pouvoir déterminer si la dérivée seconde subit un changement de signe. Nous pouvons choisir comme valeurs de 𝑥 moins deux, zéro et plus deux, car elles sont un peu de chaque côté de chacun de nos points d’inflexion possibles.

Nous savons déjà maintenant, que la dérivée seconde est égale à zéro lorsque 𝑥 est égal à moins un et lorsque 𝑥 est égal à un. Nous devons maintenant déterminer sa valeur pour chacune de ces autres valeurs de 𝑥. Lorsque 𝑥 est égal à moins deux, nous avons que 𝑓 double prime de moins deux est égale à six multiplié par moins deux au carré moins six. Ceci égale six multiplié par quatre, soit 24 moins six, ce qui donne 18. Et le point clé ici est que la dérivée seconde est positive lorsque 𝑥 égale moins deux. Lorsque 𝑥 est égal à deux, la dérivée seconde est à nouveau égale à 18. Et en fait, notre dérivée seconde est également une fonction paire. 𝑓 double prime de 𝑥 est égale à 𝑓 double prime de moins 𝑥.

Nous disons donc que lorsque 𝑥 est égal à deux, la dérivée seconde est positive. Cependant, lorsque 𝑥 est égal à zéro, soit entre nos points d’inflexion possibles, la dérivée seconde est égale à six multipliée par zéro au carré moins six, ce qui est moins six. Et donc la dérivée seconde est négative pour cette valeur de 𝑥. Nous constatons, donc, que la dérivée seconde passe en effet de positive à nulle à négative autour de la valeur de 𝑥 égale à moins un. Ceci correspond donc bien à un point d’inflexion.

Nous trouvons également que la dérivée seconde passe de négative à nulle à positive autour de la valeur de 𝑥 égale à un. Ceci correspond donc également à un point d’inflexion. Ainsi en trouvant d’abord les points en lesquels la dérivée seconde de notre fonction est égale à zéro puis en déterminant si la dérivée seconde subit également un changement de signe autour de ces valeurs de 𝑥, nous avons constaté que notre fonction avait deux points d’inflexion. Ce sont les points de coordonnées un, trois sur deux et moins un, trois sur deux.

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