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Vidéo de question : Comparaison des accélérations centripètes en différents points Physique

Une corde uniforme est mise en rotation horizontalement autour de l’une de ses extrémités, comme indiqué sur la figure. L’extrémité de la corde opposée à l’extrémité fixe revient à sa position toutes les 0,65 s. L’extrémité libre de la corde se déplace à vitesse constante d’un point 𝐴 à un point 𝐵. Quel est le rapport entre la valeur de l’accélération centripète au point 𝐴 et la valeur de l’accélération centripète au point 𝐵 ? Quel est le rapport entre la valeur de l’accélération centripète du point 𝐴 et la valeur de l’accélération centripète au point 𝐷 ?

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Transcription de vidéo

Une corde uniforme est mise en rotation horizontalement autour de l’une de ses extrémités, comme indiqué sur la figure. L’extrémité de la corde opposée à l’extrémité fixe revient à sa position toutes les 0,65 secondes. L’extrémité libre de la corde se déplace à vitesse constante d’un point 𝐴 à un point 𝐵. Quel est le rapport entre la valeur de l’accélération centripète au point 𝐴 et la valeur de l’accélération centripète au point 𝐵 ?

Sur notre figure, nous voyons cette corde à deux positions différentes. La corde est en rotation de sorte qu’elle se déplace en cercle avec son extrémité fixe située ici. En tournant, l’extrémité libre de la corde passe par ces points 𝐵 et 𝐴. Ces deux points se trouvent à la même distance radiale de 0,22 mètres de l’extrémité fixe de la corde.

Pour répondre à cette première partie de notre question qui parle d’accélération centripète, commençons par noter que si nous avons un objet qui se déplace suivant une trajectoire circulaire, cet objet bleu ici, et si l’objet se déplace à une vitesse linéaire 𝑣, autour d’un cercle de rayon 𝑟, alors l’accélération centripète de cet objet, nous l’appellerons 𝑎 indice c, est égale à 𝑣 au carré divisé par 𝑟. C’est l’accélération que l’objet subit vers le centre de son arc de cercle. En effet, le mot « centripète » signifie vers le centre. Chaque fois qu’un objet se déplace suivant une trajectoire circulaire, par exemple, l’extrémité de notre corde, il subit une accélération centripète. Nous voulons comparer l’accélération centripète de la corde au point 𝐴 à celle au point 𝐵.

Dans l’énoncé de notre problème, on nous dit que l’extrémité libre de la corde se déplace à une vitesse constante entre ces deux points. On peut alors écrire que la vitesse de la corde lorsqu’elle passe par le point 𝐴 est égale à la vitesse de la corde lorsqu’elle passe par le point 𝐵. Puisque ces vitesses sont égales, nous les appellerons simplement 𝑣. On peut donc écrire l’accélération centripète de l’extrémité de la corde au point 𝐴 comme 𝑣 au carré divisé par 𝑟 indice 𝐴, où 𝑟 indice 𝐴 est la distance entre l’extrémité fixe de la corde et le point 𝐴. De même, l’accélération centripète de la corde lorsqu’elle passe le point 𝐵 est 𝑣 au carré sur 𝑟 indice 𝐵.

Nous avons vu précédemment que la distance entre l’extrémité fixe de la corde et les points 𝐴 et 𝐵 est la même. On peut alors écrire que 𝑟 indice 𝐴 est égal à 𝑟 indice 𝐵. Et ces valeurs étant les mêmes, nous pouvons les nommer simplement 𝑟. En utilisant ces symboles, nous voyons que l’accélération centripète de la corde au point 𝐴 est la même qu’elle est au point 𝐵. Cela signifie que lorsque nous calculons le rapport de la valeur de l’accélération centripète au point 𝐴 sur celui au point 𝐵, ce rapport est un. Cela doit être le cas car l’accélération centripète de la corde aux deux points 𝐴 et 𝐵 est la même.

Faisons maintenant un peu d’espace à l’écran et examinons la deuxième partie de notre question.

Quel est le rapport entre la valeur de l’accélération centripète au point 𝐴 et la valeur de l’accélération centripète au point 𝐷 ?

Nous voyons que le point 𝐷 est un peu plus proche de l’extrémité fixe de la corde que les points 𝐴 ou 𝐵. Plus tôt, nous avions écrit que la valeur de l’accélération centripète de la corde au point 𝐴 est égale à 𝑣 au carré sur 𝑟 indice 𝐴. Maintenant, pour rendre cette expression complètement spécifique au point 𝐴, appelons la vitesse 𝑣 indice 𝐴. Ainsi, lorsque l’extrémité de notre corde est au point 𝐴, cette extrémité se déplace avec une vitesse 𝑣 indice 𝐴, et c’est à une distance 𝑟 indice 𝐴 de l’extrémité fixe de la corde. Pour la partie de la corde qui passe par le point 𝐷 cependant, ce point se déplacera avec une vitesse 𝑣 indice 𝐷. Et ce sera à une distance 𝑟 indice 𝐷 de l’extrémité fixe de la corde.

À ce stade, rappelons la relation entre la vitesse linéaire 𝑣 d’un objet qui se déplace en cercle et sa vitesse angulaire 𝜔. Lorsque le rayon du cercle décrit par l’objet est 𝑟, 𝑣 est égal à 𝑟 fois 𝜔. Nous évoquons cela parce que cela nous aidera à écrire l’accélération centripète d’un objet d’une manière différente. Si nous remplaçons 𝑣 par 𝑟 fois 𝜔, alors l’équation de l’accélération centripète devient 𝑟 au carré 𝜔 au carré sur 𝑟 ou, puisqu’un facteur de 𝑟 est annulé au numérateur et au dénominateur, 𝑟 fois 𝜔 au carré.

En pensant à la rotation de notre corde autour de l’une de ses extrémités, nous pouvons réaliser que la vitesse angulaire de n’importe quel point de la corde est la même. Autrement dit, il faut le même temps à un point, disons ici sur la corde, pour faire le tour du cercle une fois qu’il faut pour un point, disons ici ou ici ou en tout autre point de la corde, pour terminer une révolution complète. La vitesse angulaire 𝜔 d’un point de la corde est indépendante de la distance de ce point à l’extrémité fixe de la corde.

Tout cela signifie que nous pouvons réécrire nos expressions pour l’accélération centripète de la corde aux points 𝐴 et 𝐷. Au lieu d’utiliser les vitesses linéaires 𝑣 indice 𝐴 et 𝑣 indice 𝐷, nous pouvons exprimer l’accélération centripète en fonction de la vitesse angulaire 𝜔, qui est la même aux deux points. Lorsque nous considérons alors le rapport que notre question pose, il est égal à 𝑟 indice 𝐴 fois 𝜔 carré divisé par 𝑟 indice 𝐷 fois 𝜔 carré. Notez que la vitesse angulaire 𝜔 s’annule au numérateur et au dénominateur. Le rapport d’accélération centripète en ces deux points est alors simplement égal au rapport de ces rayons, 𝑟 indice 𝐴 et 𝑟 indice 𝐷.

Notre figure nous montre que 𝑟 indice 𝐴 est de 0,22 mètres. 𝑟 indice 𝐷 est de 0,16 mètres. Dans cette fraction, les mètres seront supprimés au numérateur et au dénominateur. 0,22 divisé par 0,16 est exactement égal à 1,375. Il s’agit du rapport entre la valeur de l’accélération centripète du point 𝐴 et celle du point 𝐷.

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