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Vidéo de question : Déterminer les intervalles où une fonction polynomiale est croissante ou décroissante Mathématiques

Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 (𝑥) = 𝑥³ - 3𝑥 - 2 est croissante ou décroissante.

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Transcription de vidéo

Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 cube moins trois 𝑥 moins deux est croissante ou décroissante.

Premièrement, nous rappelons qu’une fonction 𝑓 de 𝑥 croît lorsque sa pente, qui est donnée par la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥, est positive et décroissante lorsque sa pente, 𝑓 prime de 𝑥, est négative. Nous devrons utiliser la dérivation pour trouver une expression pour 𝑓 prime de 𝑥, puis trouver les intervalles sur lesquels elle est positive ou négative. Seulement, nous pouvons également envisager un trace de ce à quoi 𝑓 de 𝑥 pourrait ressembler.

Notre fonction 𝑓 de 𝑥 est une fonction cubique. Elle a un coefficient dominant positif. Ainsi, notre fonction 𝑓 de 𝑥 ressemble un peu à ceci. De notre tracé, nous pouvons voir que nous nous attendons à ce que 𝑓 de 𝑥 soit croissante sur deux intervalles, intervalles maintenant indiqués en orange. Nous nous attendons aussi à ce que 𝑓 de 𝑥 soit décroissante sur un intervalle, intervalle maintenant indiqué en rose. Nous pouvons utiliser ce tracé pour vérifier ce que nous trouvons en utilisant la dérivation.

Tout d’abord, trouvons une expression pour la dérivée première de 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons le faire en utilisant la règle de puissance de la dérivation. Nous dérivons terme par terme. La dérivée de 𝑥 au cube est trois 𝑥 au carré. La dérivée de moins trois 𝑥 est moins trois. Enfin, la dérivée d’une constante, ici moins deux, est zéro. Nous constatons donc que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré moins trois.

Pour déterminer les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 de 𝑥 croît, nous devons considérer l’endroit où sa dérivée première est positive. Ainsi, nous pouvons prendre notre expression de la dérivée première et former une inégalité, trois 𝑥 au carré moins trois est strictement supérieur à zéro. Nous pouvons diviser les deux côtés de cette inéquation par trois, puis ajouter un de chaque côté pour donner l’inéquation équivalente 𝑥 au carré est strictement supérieur à un.

Maintenant, nous devons être un peu prudents ici car il s’agit d’une inégalité du second degré. Il n’est pas correct de simplement prendre la racine carrée de chaque côté et de dire que 𝑥 est strictement supérieur à la racine carrée de un ou même que 𝑥 est strictement supérieur à plus ou moins la racine carrée de un.

Au lieu de cela, considérons une droite numérique. Pour que 𝑥 au carré soit strictement supérieur à un, 𝑥 peut être positif ou négatif. Ici, nous sommes dans le cas où la valeur absolue de 𝑥 est strictement supérieure à un, ce qui signifie que 𝑥 doit être strictement inférieur à moins un ou strictement supérieur à plus un. Nous avons donc deux régions distinctes sur lesquelles notre fonction croît, l’intervalle des 𝑥 strictement inférieurs à moins un et l’intervalle des 𝑥 strictement supérieures à plus un. Cela est cohérent avec ce que nous avons vu dans notre tracé.

Pour trouver où notre fonction 𝑓 de 𝑥 décroît, nous pouvons passer par un processus presque identique. Il suffit juste d’inverser le sens de l’inéquation. 𝑓 de 𝑥 sera décroissante lorsque trois 𝑥 au carré moins trois - notre première dérivée - est strictement inférieur à zéro, ce qui conduit à 𝑥 au carré est strictement inférieur à un. Pour que 𝑥 au carré soit strictement inférieur à un, la valeur absolue de 𝑥 doit également être strictement inférieure à un, ce qui signifie que 𝑥 lui-même doit être compris entre moins un et un.

Nous avons donc un seul intervalle sur lequel notre fonction décroît. Encore une fois, cela est cohérent avec ce que nous avons vu sur notre tracé de la courbe de 𝑓 de 𝑥. Notez que les valeurs moins un et un ne sont incluses dans aucun des deux intervalles. En effet, à chacune de ces valeurs, 𝑓 prime de 𝑥 est égal à zéro. Ce sont des points critiques de la fonction 𝑓 de 𝑥.

En considérant le signe de la dérivée première de notre fonction, nous avons vu que la fonction croît sur les intervalles ouverts moins ∞ à moins un et un à ∞ et décroît sur l’intervalle ouvert moins un à un.

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