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Vidéo de question : Déterminer une composante manquante sachant le produit vectoriel de deux vecteurs dans le plan Mathématiques

Étant donnés 𝐀 = 3𝐢 - 5𝐣, 𝐁 = 𝑚𝐢 + 5𝐣 et sachant que 𝐀 × 𝐁 = 50𝐤, déterminez la valeur de 𝑚.

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Transcription de vidéo

Si le vecteur 𝐀 est égal à trois 𝐢 moins cinq 𝐣, 𝐁 est égal à 𝑚𝐢 plus cinq 𝐣 et le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 est égal à 50𝐤, déterminez la valeur de 𝑚.

Afin de répondre à cette question, il convient de rappeler ce que signifie le produit vectoriel de deux vecteurs. En gros, il s'agit d'une façon de multiplier deux vecteurs. À l'opposé du produit scalaire, qui donne une valeur scalaire, le produit vectoriel de deux vecteurs nous donne un vecteur. Ainsi, si 𝐚 est le vecteur tridimensionnel donné par 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois et 𝐛 est le vecteur 𝑏 un, 𝑏 deux, 𝑏 trois. Alors le produit vectoriel de 𝐚 et 𝐛 est égal au vecteur 𝑎 deux 𝑏 trois moins 𝑎 trois 𝑏 deux, 𝑎 trois 𝑏 un moins 𝑎 un 𝑏 trois, et 𝑎 un 𝑏 deux moins 𝑎 deux 𝑏 un.

Il ne s'agit pas d'une formule particulièrement facile à retenir. Si vous avez du mal à vous en souvenir, rappelez-vous qu'il s'agit en fait du déterminant d'une matrice trois par trois. À présent, nous avons une formule. On définit 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois et 𝑏 un, 𝑏 deux, 𝑏 trois. 𝑎 un est la composante horizontale de 𝐚. C’est trois. 𝑎 deux est la composante verticale. Elle vaut moins cinq. Il n'y a pas de composante 𝐤. Donc, 𝑎 trois vaut zéro. 𝑏 un égale 𝑚. 𝑏 deux égale cinq. Et là encore, 𝑏 trois égale à zéro.

Ainsi, le premier élément du produit vectoriel de ces deux vecteurs est : 𝑎 deux 𝑏 trois moins 𝑎 trois 𝑏 deux. Cela correspond donc à moins cinq fois zéro moins 𝑎 trois 𝑏 deux, soit zéro multiplié par cinq. Le deuxième élément est 𝑎 trois 𝑏 un, soit zéro fois 𝑚, moins 𝑎 un 𝑏 trois, soit trois fois zéro. Et le troisième élément est 𝑎 un 𝑏 deux, soit trois fois cinq, moins 𝑎 deux 𝑏 un, soit moins cinq fois 𝑚. Les deux premiers éléments se réduisent à zéro. Le troisième élément du produit vectoriel de nos deux vecteurs vaut 15 plus cinq 𝑚. Et cela parce que nous avons moins moins cinq. Donc on obtient plus cinq.

Si on revient à la question, on voit que le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 est donné. On nous indique que c'est 50𝐤. Une autre manière de représenter cela est par composantes. Le produit vectoriel de 𝐚 et 𝐛 vaut zéro, zéro, 50. On constate alors que, pour que les vecteurs soient égaux, 50 doit être égal à 15 plus cinq 𝑚. Nous allons résoudre ça en soustrayant 15 des deux côtés. Ce qui nous donne 35 égale cinq 𝑚. On divise ensuite les deux côtés de cette équation par cinq. On obtient sept égale 𝑚.

Par conséquent, si 𝐀 est égal à trois 𝐢 moins cinq 𝐣, 𝐁 est égal à 𝑚𝐢 plus cinq 𝐣, et que le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 est 50𝐤, 𝑚 doit être égale à sept.

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