Vidéo : Déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs en 3D

Soit 𝐕 = 𝐢 et 𝐖 = 3𝐢 + 2𝐣 + 4𝐤. Calcule 𝐕 × 𝐖.

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Transcription de vidéo

Soit 𝐕 égal 𝐢 et 𝐖 égal trois 𝐢 plus deux 𝐣 plus quatre 𝐤. Calcule 𝐕 croix 𝐖.

Nous voulons calculer le produit vectoriel des vecteurs 𝐕 et 𝐖. Nous pouvons écrire ce produit vectoriel comme déterminant d’une matrice trois fois trois. Les entrées de la première ligne de la matrice sont les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Ce sont les mêmes 𝐢, 𝐣 et 𝐤 que les vecteurs 𝐕 et 𝐖 sont écrits en fonction de: 𝐢, 𝐣 et 𝐤 sont perpendiculaires et pointent respectivement dans les directions 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Nous trouvons les entrées de la deuxième ligne de cette matrice à partir du premier vecteur du produit vectoriel, qui est 𝐕. Les entrées de la deuxième ligne sont les coefficients de 𝐢, 𝐣 et 𝐤 lorsque 𝐕 est écrit en fonction de 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Nous avons déjà 𝐕 écrit de cette façon. 𝐕 est juste égal à 𝐢. Nous pouvons écrire cela d’une manière qui rend les coefficients plus évidents. 𝐕 est égal à un 𝐢 plus zéro 𝐣 plus zéro 𝐤. Et nous entrons ces coefficients - un zéro et zéro - dans notre déterminant.

Les entrées de la troisième et dernière ligne de notre déterminant proviennent du deuxième vecteur du produit vectoriel, qui est 𝐖. On nous dit dans la question que 𝐖 est trois 𝐢 plus deux 𝐣 plus quatre 𝐤. Ainsi, les entrées de la troisième ligne sont trois, deux et quatre. Nous dégageons maintenant un espace pour évaluer ce déterminant. Nous développons le long de la première ligne, en obtenant un terme de chaque entrée.

Nous obtenons un terme contenant 𝐢, un terme contenant 𝐣 et un terme contenant 𝐤. Le coefficient de 𝐢 est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne et la colonne contenant 𝐢. De même, le coefficient de 𝐣 est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne et la colonne contenant 𝐣. Nous devons également soustraire ce moyen terme. Et enfin, le coefficient de 𝐤 est le déterminant que tu obtiens en supprimant la ligne et la colonne contenant 𝐤.

Nous pouvons utiliser une formule pour évaluer les déterminants deux fois deux. C’est le produit des termes sur la diagonale principale moins le produit des termes sur l’autre diagonale. Et nous pouvons simplifier pour obtenir zéro 𝐢 moins quatre 𝐣 plus deux 𝐤. Nous pouvons écrire ceci sous forme de coordonnée sous la forme zéro, moins quatre, deux. Les produits vectoriels de 𝐕 et 𝐖 devraient être un autre vecteur orthogonal à la fois à 𝐕 et à 𝐖.

Il est difficile de voir que le vecteur que nous avons produit est orthogonal à 𝐖. Nous devrions pouvoir voir que c’est orthogonal à 𝐕. La coordonnée 𝑥 de notre vecteur est zéro, il est donc orthogonal à 𝐕 qui pointe dans la direction 𝑥.

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