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Vidéo question :: Appliquer le principe additif pour le dénombrement Mathématiques • Troisième année secondaire

Chloé veut acheter 8 nouveaux livres pour sa bibliothèque. Elle a le choix entre 20 livres de fiction et 30 livres de non-fiction. Elle va choisir les 8 livres au hasard et elle veut qu'au moins 6 d'entre eux soient des livres de non-fiction. Elle placera les livres dans l'ordre précis suivant lequel ils ont été sélectionnés sur une étagère de la bibliothèque. Lequel des calculs suivants permet d'obtenir le nombre total d'ordres possibles pour les 8 nouveaux livres ? [A] ₃₀𝐴₆ × ₂₀𝐴₂ + ₃₀𝐴₇ × ₂₀𝐴₁ + ₃₀𝐴₈ [B] ₃₀𝐶₆ × ₂₀𝐶₂ + ₃₀𝐶₇ × ₂₀𝐶₁ [C] ₃₀𝐶₆ × ₂₀𝐶₂ + ₃₀𝐶₇ × ₂₀𝐶₁ + ₃₀𝐶₈ [D] ₃₀𝐴₂ + ₂₀𝐴₆ + ₃₀𝐴₁ + ₂₀𝐴₇ + ₃₀𝐴₈ [E] ₃₀𝐴₆ × ₂₀𝐴₂ × ₃₀𝐴₇ × ₂₀𝐴₁ × ₃₀𝐴₈

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Transcription de la vidéo

Chloé veut acheter huit nouveaux livres pour sa bibliothèque. Elle a le choix entre 20 livres de fiction et 30 livres de non-fiction. Elle va choisir les huit livres au hasard, et elle veut qu'au moins six d'entre eux soient des livres de non-fiction. Elle placera les livres dans l'ordre précis suivant lequel ils ont été sélectionnés sur une étagère de la bibliothèque. Lequel des calculs suivants permet d'obtenir le nombre total d'ordres possibles pour les huit nouveaux livres ? Est-ce (A) 30 𝐴 six fois 20 𝐴 deux plus 30 𝐴 sept fois 20 𝐴 un plus 30 𝐴 huit ? Est-ce (B) 30 𝐶 six fois 20 𝐶 deux plus 30 𝐶 sept fois 20 𝐶 un ? Option (C) 30 𝐶 six fois 20 𝐶 deux plus 30 𝐶 sept fois 20 𝐶 un plus 30 𝐶 huit. (D) 30 𝐴 deux plus 20 𝐴 six plus 30 𝐴 un plus 20 𝐴 sept plus 30 𝐴 huit. Ou (E) 30 𝐴 six fois 20 𝐴 deux fois 30 𝐴 sept fois 20 𝐴 un fois 30 𝐴 huit.

Dans cette question, nous allons choisir huit livres parmi un total de 20 ouvrages de fiction et 30 ouvrages de non-fiction. On nous donne une limitation sur le nombre de livres de non-fiction mais aussi que les livres seront placés suivant un ordre. C'est une indication utile pour ce que nous devrons faire ensuite.

Pour sélectionner des objets dans une collection, nous devons penser aux combinaisons et aux arrangements. En particulier, si nous voulons choisir 𝑟 objets sur un total de 𝑛 et que l'ordre n'a pas d'importance, il s'agit d'une combinaison. En fait, le calcul que nous effectuons est 𝑛𝐶𝑟, parfois prononcé 𝑟 parmi 𝑛, qui peut être saisi dans une calculatrice ou calculé à l'aide de la formule factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Cependant, si nous voulons choisir 𝑟 éléments sur un total de 𝑛 et que l'ordre est important, il s'agit d'un arrangement. Le calcul que nous utilisons cette fois est 𝑛 𝐴 𝑟, et sa formule est juste factorielle 𝑛 divisée par factorielle 𝑛 moins 𝑟.

Dans cette question, on sait donc que les livres vont être dans l'ordre, ce qui signifie que nous devons utiliser des arrangements. Commençons donc par examiner les façons dont nous pourrions choisir les livres. Puisque nous voulons qu'au moins six des huit livres soient des livres de non-fiction, cela signifie que nous pourrions avoir soit six livres de non-fiction et deux romans, soit sept livres de non-fiction et un roman, soit huit livres de non-fiction uniquement.

En commençant par la première option, on sait que l'on doit choisir six livres de non-fiction sur un total de 30. Selon notre formule de l’arrangement, le nombre de façons pour réaliser ce choix lorsque l'ordre est important est de 30 𝐴 six. Mais nous devons aussi choisir les deux livres de fiction restants dans le groupe de 20 que nous avons. Cela doit faire 20 𝐴 deux.

Mais alors, comment combiner ces deux résultats ? Rappelez-vous, le principe multiplicatif du dénombrement, ou le principe fondamental du dénombrement, stipule que s’il existe 𝑎 façons de faire quelque chose et 𝑏 façons de faire autre chose, alors il y a 𝑎 fois 𝑏 façons d'effectuer les deux actions. Il doit donc y avoir 30 𝐴 six fois 20 𝐴 deux façons de choisir six livres de non-fiction et deux de fiction.

D'accord, et qu’en est-il de l'option suivante ? Il s'agit de choisir sept livres de non-fiction et un livre de fiction, ce qui fait 30 𝐴 sept et 20 𝐴 un, respectivement. Encore une fois, on multiplie ces nombres pour trouver le nombre total de façons de choisir sept ouvrages de non-fiction et un ouvrage de fiction.

Enfin, considérons le troisième choix. Il s'agit simplement du nombre de façons de choisir huit ouvrages de non-fiction sur un total de 30, soit 30 𝐴 huit.

Nous avons donc maintenant les différents éléments, mais comment les combiner ? Le principe additif est un autre principe du dénombrement. Il nous dit que si nous avons 𝑎 façons de faire quelque chose et 𝑏 façons de faire autre chose et que nous ne pouvons pas faire les deux en même temps, alors il y a 𝑎 plus 𝑏 façons de choisir une des actions. Par conséquent, on peut trouver le nombre de façons de choisir six livres de non-fiction et deux fictions ou sept livres de non-fiction et un fiction ou huit livres de non-fiction en additionnant tous nos résultats. Cela correspond à l'option (A), 30 𝐴 six fois 20 𝐴 deux plus 30 𝐴 sept fois 20 𝐴 un plus 30 𝐴 huit.

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